კომენტარები

ალგებრის ისტორია (მიმოხილვა)


წყარო: მათემატიკის ისტორიის თემები - ჯონ კ. ბაუმგარტი

უცნაური და დამაინტრიგებელი არის სიტყვა "ალგებრის" სათავე. იგი არ ექვემდებარება მკაფიო ეტიმოლოგიას, როგორიცაა სიტყვა "არითმეტიკა", რომელიც ბერძნულიდან მომდინარეობს არითმიები ("ნომერი"). ალგებრა არაბული სიტყვის ლათინური ვარიანტია ალ-ჯაბრი (ზოგჯერ ითარგმნება ალ-ჯებრი), რომელიც გამოყენებულია წიგნის სათაურში, Hisab al-jabr w’al-mukabalah, რომელიც დაწერა ბაღდადში, დაახლოებით 825 წელს, არაბმა მათემატიკოსმა მუჰამედ იბნ-მუსა ალ ხოვარიზმმა (მუჰამედ ხუარიზმის მოსეს ძე). ალგებრის ამ ნამუშევარს ხშირად უწოდებენ შემოკლებით, როგორც ალ-ჯაბრი.

წიგნის სრული სათაურის პირდაპირი თარგმანია "მეცნიერების აღდგენა (ან გაერთიანება) და შემცირება", მაგრამ მათემატიკურად უკეთესი იქნება "მეცნიერების ტრანსპოზიციისა და გაუქმების მეცნიერება" - ან, ბოჰერის თანახმად, "გამოკლება ტერმინების გადაცემა წიგნის სხვა წევრზე. განტოლება "და" განტოლების საპირისპირო წევრებში მსგავსი (თანაბარი) ტერმინების გაუქმება ". ამრიგად, განტოლების გათვალისწინებით:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3
ალ-ჯაბრი უზრუნველყოფს
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3
და ალ-მუყაბალა უზრუნველყოფს
x2 + 7x = 5x3
ალბათ საუკეთესო თარგმანი იყო უბრალოდ ”განტოლების მეცნიერება”.
მიუხედავად იმისა, რომ თავდაპირველად "ალგებრა" ეხება განტოლებებს, სიტყვას დღეს გაცილებით ფართო მნიშვნელობა აქვს, ხოლო დამაკმაყოფილებელი განმარტება მოითხოვს ორფაზიან მიდგომას:
(1) უძველესი (ელემენტარული) ალგებრა არის განტოლებისა და მათი გადაჭრის მეთოდების შესწავლა.
(2) თანამედროვე (აბსტრაქტული) ალგებრა არის ისეთი მათემატიკური სტრუქტურების შესწავლა, როგორიცაა ჯგუფები, ბეჭდები და სხეულები - დასახელდეს, მაგრამ რამდენიმე.
მართლაც, მოსახერხებელია ალგებრის განვითარების კვალი ამ ორი ეტაპის გათვალისწინებით, რადგან დაყოფა არის როგორც ქრონოლოგიური, ისე კონცეპტუალური.

ალგებრული განტოლებები და ნოტაცია

უძველესი (ელემენტარული) ფაზა, რომელიც მოიცავს ძვ.წ. 1700 – დან 1700 წლამდე პერიოდს, ხასიათდებოდა სიმბოლიზმის თანდათანობითი გამოგონებით და განტოლებების (ზოგადად რიცხვითი კოეფიციენტების) დადგენით სხვადასხვა მეთოდით, რაც მცირე პროგრესს აჩვენებს გამოსვლამდე. კუბური და კვარტალური განტოლებების "ზოგადი" და ზოგადად პოლინომიური განტოლებების ინსპირირებული მოპყრობა ფრანსუა ვიეტეს მიერ, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც ვიეტა (1540-1603).

ალგებრული ნოტაციის განვითარება განვითარდა სამ ეტაპზე: რიტორიკა (ან სიტყვიერი), სინქრონიზებული (რომელშიც გამოყენებული იქნა სიტყვების აბრევიატურა) და სიმბოლური. ბოლო ეტაპზე, ნოტაციამ განიცადა მრავალი ცვლილება და ცვლილება, სანამ ის ისაკ ნიუტონის დროს გონივრულად სტაბილური გახდა. საინტერესოა ის ფაქტი, რომ დღესაც კი, არ არსებობს სრული ერთიანობა სიმბოლოების გამოყენებისას. მაგალითად, ამერიკელები წერენ "3.1416", როგორც მიახლოებითი პიდა ბევრი ევროპელი წერს "3.1416". ევროპის ზოგიერთ ქვეყანაში სიმბოლო "÷" ნიშნავს "მინუს". მას შემდეგ, რაც ალგებრა წარმოიშვა ბაბილონში, როგორც ჩანს, მიზანშეწონილი იქნება ამ რეგიონიდან მაგალითის ილუსტრაცია. შემდეგი პრობლემა გვიჩვენებს ბაბილონური ალგებრის დახვეწილობის შედარებით ხარისხს. ეს არის ლურსმული დამწერლობის პრობლემების ტიპიური მაგალითი, თიხის ტაბლეტებზე, რომელიც დათარიღებულია მეფე ჰამურაბის დროიდან. განმარტება, რა თქმა უნდა, გაკეთებულია პორტუგალიურ ენაზე; და ინდოურ-არაბული ათობითი ნოტაცია გამოიყენება ლურსმული ფორმის სქესობრივი ნიშნის ნაცვლად. მარჯვენა სვეტი უზრუნველყოფს შესაბამის პასაჟებს თანამედროვე ნოტაციაში. აი მაგალითი:

1 სიგრძე, სიგანე. გავამრავლე სიგრძე სიგანეზე, რითაც მივაღწიე ფართობს: 252. დავამატე სიგრძე და სიგანე: 32. ერთი იკითხავს: სიგრძე და სიგანე.

2 მოცემულია 32 თანხა; 252 ფართობი.x + y = კ

xy = P}… (A)

3 პასუხი 18 სიგრძეზე; 14 სიგანე.
4 შემდეგია ეს მეთოდი: აიღეთ 32 – ის ნახევარი, რაც არის 16.კ / 2
16 x 16 = 256(კ / 2)2
256 - 252 = 4(კ / 2)2 - P = ტ2 }… (B)
კვადრატული ფესვი 4 არის 2.
16 + 2 = 18 სიგრძე.(კ / 2) + ტ = x.
16 - 2 = 14 სიგანე(კ / 2) - ტ = წ.
5 მტკიცებულება I გავამრავლე 18 სიგრძე 14 სიგანეზე.

18 x 14 = 252 ფართობი

((კ / 2) + ტ) ((კ / 2) -ტ)

= (კ2/ 4) - ტ2 = P = xy.

გაითვალისწინეთ, რომ 1 – ე ეტაპზე პრობლემა ჩამოყალიბებულია, 2 – ში მოცემულია მონაცემები, 3 – ში მოცემულია პასუხი, 4 – ში მოცემულია გამოსავლის მეთოდი. რიცხვებით და ბოლოს 5-ზე ტესტირება ხდება პასუხის გაცემით.

ზემოაღნიშნული "რეცეპტი" არაერთხელ გამოიყენება მსგავსი პრობლემებისთვის. მას აქვს ისტორიული მნიშვნელობა და ახლანდელი ინტერესი რამდენიმე მიზეზის გამო.

აგრძელებს რეკლამირების შემდეგ

უპირველეს ყოვლისა, ეს არ არის ის გზა, რომლითაც ჩვენ დღეს მოაგვარებთ სისტემას (A). მიმდინარე ალგებრის სასკოლო ტექსტებში სტანდარტული პროცედურა არის, ვთქვათ, პირველი განტოლების ამოხსნა (თვალსაზრისით x), შეცვალეთ მეორე განტოლებაში და შემდეგ გადაწყვიტეთ შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლება in x; ჩვენ გამოვიყენებთ ჩანაცვლების მეთოდს. ბაბილონელებმა ასევე იცოდნენ როგორ მოაგვარონ სისტემები ჩანაცვლებით, მაგრამ ხშირად ამჯობინეს თავიანთი პარამეტრული მეთოდის გამოყენება. ისინი, თანამედროვე ნოტაციის გამოყენებით, ჩაფიქრდნენ x და ახალი უცნობი (ან პარამეტრის) თვალსაზრისით აკეთებს x = (კ / 2) + ტ და y = (კ / 2) -ტ.

შემდეგ პროდუქტი:

xy = ((კ / 2) + ტ) ((კ / 2) - ტ) = (კ / 2)2 - ტ2 = გვ

მათ ურთიერთობამდე მიიყვანა:

(კ / 2)2 - P = ტ2

მეორე, ზემოთხსენებულ პრობლემას აქვს ისტორიული მნიშვნელობა, რადგან ბერძნული (გეომეტრიული) ალგებრა პითაგორელთა და ევკლიდს მიჰყვებოდა გამოსავლის იგივე მეთოდი - თარგმნა, თუმცა, ხაზების სეგმენტების და ტერიტორიების თვალსაზრისით და ილუსტრირებულია გეომეტრიული ფიგურებით. რამდენიმე საუკუნის შემდეგ კიდევ ერთმა ბერძენმა დიოფანტუსმა აგრეთვე გამოიყენა პარამეტრული მიდგომა თავის ნაშრომში "დიოფანტინის" განტოლებებით. მან თანამედროვე სიმბოლიზმი დაიწყო სიტყვების შემოკლების შემოღებით და გეომეტრიული ალგებრის გარკვეულწილად რთული სტილის თავიდან აცილებით.

მესამე, არაბმა მათემატიკოსებმა (მათ შორის ალ-ხოვარიზმმა) არ გამოიყენეს მეთოდი, რომელიც გამოიყენეს ზემოთ აღნიშნულ პრობლემაში; მათ უპირატესობა მიანიჭეს ერთ-ერთი უცნობის შეცვლას და ყველაფერი გამოხატონ სიტყვებისა და რიცხვების მიხედვით.

ბაბილონის ალგებრაზე წასვლის წინ, აღვნიშნოთ, რომ მათ შეძლეს განესაზღვრა გასაკვირი მრავალფეროვანი განტოლებები, მათ შორის, კუბიკებისა და კვარცის გარკვეული განსაკუთრებული ტიპების ჩათვლით - ეს ყველაფერი რიცხვითი კოეფიციენტით იყო.

ალგებრა ეგვიპტეში

ალგებრა წარმოიშვა ეგვიპტეში დაახლოებით იმავე დროს, როგორც ბაბილონში; მაგრამ ეგვიპტურ ალგებრას არ გააჩნდა ბაბილონური ალგებრის დახვეწილი მეთოდები, ისევე როგორც მრავალრიცხოვანი გადაჭრილი განტოლებები, რომლებიც ვიმსჯელებთ პაპირუს მოსკოვთან და პაპირუს რაინდთან - ეგვიპტურ დოკუმენტებში, რომლებიც დათარიღებულია დაახლოებით 1850 წლიდან და ძვ. ადრეული პერიოდი. ხაზოვანი განტოლებისათვის, ეგვიპტელებმა გამოიყენეს რეზოლუციის მეთოდი, რომელიც შედგება საწყისი შეფასების საფუძველზე, რასაც მოჰყვა საბოლოო შესწორება - მეთოდი, რომელსაც ევროპელებმა მოგვიანებით დაარქვეს ეს როგორც აბსტრაქტული “მცდარი პოზიციის წესი”. ეგვიპტის ალგებრა, ბაბილონის მსგავსად, რიტორიკული იყო.

ეგვიპტური ალგებრის დახვეწილობის ნაკლებობას ახსნის ეგვიპტური ნუმერაციის შედარებით პრიმიტიული სისტემა შედარებით ბაბილონელებთან შედარებით. მეთექვსმეტე საუკუნის ევროპელმა მათემატიკოსებმა უნდა გააფართოონ ინდოურ-არაბული ცნება, სანამ მათ მნიშვნელოვნად შეეძლოთ წინ აღედგინათ განტოლების ამოხსნის ბაბილონური შედეგები.

ბერძნული გეომეტრიული ალგებრა

ბერძნული ალგებრა, როგორც პითაგორელთა და ევქლიდების მიერ ჩამოყალიბებული, გეომეტრიული იყო. მაგალითად, ის, რასაც ჩვენ ვწერთ:

(ა + ბ)2 = ა2 + 2ab + b2

ბერძნები ჩაფიქრებული იყო დიაგრამა 1-ში წარმოდგენილი დიაგრამის თვალსაზრისით და საინტერესოა ევკლიდის მიერ ელემენტები, წიგნი II, წინადადება 4:

თუ სწორი ხაზი დაყოფილია რომელიმე ორ ნაწილად, მთლიანი ხაზის კვადრატი ტოლია კვადრატზე ორი ნაწილის თავზე, ორჯერ ოთხკუთხედთან ერთად, რომელსაც ნაწილები შეიცავს. რომ არის (ა + ბ)2 = ა2 + 2ab + b2.

ჩვენ ცდუნებით ვამბობთ, რომ ევკლიდის ბერძნების დროისთვის2 ეს მართლაც კვადრატი იყო.

ეჭვგარეშეა, რომ პითაგორელებმა კარგად იცოდნენ ბაბილონური ალგებრა და მართლაც მიჰყვნენ ბაბილონის განტოლების ამოხსნის სტანდარტულ მეთოდებს. ევკლიდმა დაწერა პითაგორელთა ეს შედეგები. ამის საილუსტრაციოდ ჩვენ ავირჩიეთ ზემოთ განხილული ბაბილონის პრობლემის შესაბამისი თეორემა.

VI წიგნიდან ელემენტებიჩვენ გვყავს წინადადება 28 (გამარტივებული ვერსია):

მოცემულია სწორი ხაზის AB რომ არის, x + y = k, ამ ხაზის გასწვრივ ააწყეთ მართკუთხედი მოცემული ფართობით xy = Pთუ ვიმსჯელებთ მართკუთხედის "მცირედით" AB- ში სხვა ოთხკუთხედის მიერ "შევსებული" ოდენობით მოედანი BF ნახაზში 2, მსგავსი მართკუთხედის მსგავსი რაც აქ ვაღიარებთ, რომ ნებისმიერი კვადრატია.

ამ მოთხოვნილ კონსტრუქციის გადაწყვეტაში (ნახ. 2) ევკლიდის შრომა თითქმის პარალელურად მიმდინარეობს ექვივალენტური პრობლემის ბაბილონის გადაწყვეტასთან. როგორც T.L.Heath / EUCLID- ით მითითებულია: II, 263 /, ნაბიჯები შემდეგია:

Bisecte AB in M:კ / 2
მოაწყვეთ მოედანი MBCD:(კ / 2)2
VI, 25 – ის გამოყენებით ააწყვეთ DEFG მოედანი, რომელიც უდრის MBCD– ის ჭარბი რაოდენობას მოცემულ უბანზე P:2 = (კ / 2)2 - გვ
რა თქმა უნდაy = (კ / 2) - ტ

როგორც ამას ხშირად აკეთებდა, ევკლიდმა სტუდენტს სხვა შემთხვევა დაუტოვა - ამ შემთხვევაში x = (k / 2) + t, რომელიც ევქლიდმა რა თქმა უნდა გააცნობიერა, მაგრამ არ ჩამოაყალიბა.

მართლაც აღსანიშნავია, რომ ბაბილონური სტანდარტული პრობლემების უმეტესობა ევკლიდის მიერ ამ გზით "გამოსწორდა". რატომ? რა აიძულა ბერძნებმა თავიანთი ალგებრის ამ უხერხული ფორმულირების გაკეთება? პასუხი არის ძირითადი: მათ ჰქონდათ კონცეპტუალური სირთულეები ირაციონალური ფრაქციების და რიცხვების გამო.

მაშინაც კი, თუ ბერძენ მათემატიკოსებს შეეძლოთ წილადების გარშემოწერილობა, მათი რიცხვების მთლიან რიცხვად მიქცევით, მათ გადაულახავი სირთულეები აქვთ ისეთი ციფრებით, როგორებიცაა მაგალითად კვადრატული ფესვი 2. ვიხსენებთ პითაგორელთა "ლოგიკურ სკანდალს", როდესაც მათ დაადგინეს, რომ ერთეული კვადრატის დიაგონალი გვერდით შეუთავსებელია (ანუ, დიაგი / მხარე განსხვავდება ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობისაგან).

ამრიგად, მათმა მათემატიკურმა სიმკაცრემ აიძულა მათ გამოიყენონ ხაზების სეგმენტები, როგორც ელემენტების ხელსაყრელი დომენი. მიუხედავად იმისა, რომ კვადრატული ფესვი 2 არ შეიძლება გამოიხატოს მთელი რიცხვების ან მათი კოეფიციენტების თვალსაზრისით, იგი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ხაზის სეგმენტი, რომელიც ზუსტად არის დიაგონალი ერთეულის მოედანზე. ალბათ, მხოლოდ ხუმრობა არ არის იმის თქმა, რომ ხაზოვანი კონტინუმი პირდაპირი მნიშვნელობით სწორხაზოვანი იყო.

აგრძელებს რეკლამირების შემდეგ

წარსულში უნდა აღვნიშნოთ აპოლონიუსი (ძვ. წ. 225), რომელმაც გამოიყენა გეომეტრიული მეთოდები კონუსის მონაკვეთების შესასწავლად. ფაქტობრივად, მისი შესანიშნავი ტრაქტატი კონუსური განყოფილებები ის შეიცავს უფრო მეტ ანალიტიკურ კონუსურ გეომეტრიას - ეს ყველაფერი გამოხატულია გეომეტრიული ტერმინოლოგიით - ვიდრე დღევანდელი საუნივერსიტეტო კურსები.

ბერძნული მათემატიკა მოულოდნელად შეჩერდა. რომაელთა ოკუპაცია დაწყებული იყო და არ უწყობს ხელს მათემატიკური სტიპენდია, თუნდაც ეს სტიმული ყოფილიყო ბერძნული კულტურის ზოგიერთ სხვა დარგში. გეომეტრიული ალგებრის მძიმე სტილის გამო, იგი ვერ გადარჩებოდა მხოლოდ წერილობითი ტრადიციით; მჭირდებოდა ცოცხალი, ზეპირი საშუალო საშუალება. შესაძლებელია დაიცვას იდეების ნაკადი, სანამ ინსტრუქტორი მიუთითებს დიაგრამებზე და ახსნა; მაგრამ პირდაპირი სკოლები არ გადარჩნენ.

ალგებრა ევროპაში

ალგებრა, რომელიც შემოვიდა ევროპაში (ლიბერ აბაჩის დე ფიბონაჩის საშუალებით და თარგმანებით) შეიცვალა როგორც სტილით, ასევე შინაარსით. დიოფანტუსა და ბრაჰმაგუპას ნახევრად სიმბოლიზმი (სინქროპაცია) და მათი შედარებით მოწინავე მიღწევები არ იყო გამიზნული ალგებრის საბოლოო ამოფრქვევაში.

ალგებრის რენესანსი და სწრაფი აყვავება ევროპაში განპირობებული იყო შემდეგი ფაქტორებით:

  1. ინდოურ-არაბული ნუმერაციის სისტემის საშუალებით ციფრული სამუშაოების მანიპულირება, ბევრად აღემატებოდეს სისტემებს (მაგალითად რომაულს), რომლებიც საჭიროებდნენ აბაკუსის გამოყენებას;

  2. მოძრავი ტიპის პრესის გამოგონება, რომელმაც დააჩქარა სიმბოლიზმის სტანდარტიზაცია კომუნიკაციების გაუმჯობესებით, ფართო გავრცელების საფუძველზე;

  3. ეკონომიკის აღორძინება, ინტელექტუალური საქმიანობის შენარჩუნება; კომერციისა და მოგზაურობის განახლება, იდეების, აგრეთვე საქონლის გაცვლა.

კომერციულად ძლიერი ქალაქები პირველად გაჩნდა იტალიაში და სწორედ იქ დაიწყო ევროპაში ალგებრული რენესანსის ეფექტიანობა.

შემდეგი: ბიზნესის და ფინანსური მათემატიკის ისტორია <