მალე

სიმეტრია, ანტისეტრია და სიმეტრიის დარღვევა I


სამყაროს ნიმუშების ინტერპრეტაციისას, ცოცხალ ნივთებს სჭირდება დათვლა. ის უნიკალური არ არის Homo sapiens sapiens (Hoss) - სთვის, მაგრამ ეს სახეობა ერთადერთია, რომელიც ცნობილია იმის გაცნობიერებით, რომ არსებობს უსასრულო შესაძლებლობები უმარტივესი ნივთებისთვის.

ნატურალური რიცხვები N არის მარტივი ათვლის ნიმუში:

N = {0, 1, 2, 3,….

მარტივი დათვლის პროცესი მოიცავს ორ ოპერაციას ბუნებრივი რიცხვებით, კერძოდ, "+" დამატებით და "გამრავლებით".×” ანუ, ძირითადი დათვლის სისტემა ორი სისტემისგან შედგება. დანამატის სისტემას აქვს გამორჩეული ელემენტი "0" (ნულოვანი), ხოლო გამრავლების სისტემას აქვს გამორჩეული ელემენტი "1" (ერთი).

ჩვენ ვამბობთ, რომ áN, +, 0ñ და áN, ×, 1ñ არის მონოიდი, ანუ ორივე აქვთ ნეიტრალური ელემენტი მათი მოქმედებისთვის.

+ 0 = = 0 +,

×1 = = 1×

ნებისმიერი ელემენტისთვის ნ.

დამატებით ოპერაცია ბუნებრივად მოდის ჰოსის სახეობების მიერ შესრულებული დათვლებით, მაგრამ გამრავლების ოპერაცია გაცილებით ნაკლებად ბუნებრივია. განმეორებითი ტერმინების დამატების გასამარტივებლად, ანუ აზრის, დროის, სივრცის და ა.შ. დაზოგვის ღონისძიებად, ჰოსის ნიმუშებმა გამოიგონეს გამრავლება. ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ არსებობს ასიმეტრია დამატებასა და გამრავლებას შორის. ამასთან, დანამატი და მრავლობითი მონოიდები áN, +, 0ñ და áN, ×, 1ñ– ს აქვს გარკვეული მსგავსება.

მაგალითად, ორივე ნახევარ ჯგუფია, ანუ ორივე აკმაყოფილებს ასოციაციულ საკუთრებას:

+ ( + ) = ( + ) + ,

× ( ×) = ( ×) ×

ნებისმიერი ელემენტები , და ნ.-დან

გარდა ამისა, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ დამატებისა და გამრავლების ოპერაციები კარგად თანაარსებობს, ანუ გამრავლება ბუნებრივად განაწილებს გამრავლებასთან დაკავშირებით:

× ( +) = × + ×

ბუნებრივია, რომ ვიკითხოთ, არ შეიძლებოდა თუ არა ამ ორი სემიტრის გაერთიანება ერთიან და უფრო დიდ სემინარს.

კიდევ ერთი კითხვა, რომელიც დაუყოვნებლივ ჩნდება, არის: არსებობს თუ არა სამყაროში რაიმე სხვა ბუნებრივი სემი?

თუ ჰოსის რომელიმე ნიმუშს სურდა ამ კვლევის გაკეთება, მაშინ რა შეეძლო მას?

ძნელია გამოძიების საშუალება მხოლოდ აბსტრაქტულად იპოვოთ. მოდით, მივყვეთ ერთ-ერთ შესაძლო გზას, რომელიც ისტორიული გზაა.

ჰოს მათემატიკოსებმა ვერ გადაჭრეს განტოლება x + = 0 semigroup áN, +, 0ñ. მათ დაადგინეს, რომ პრობლემა ამ სემიტრებში სიმეტრიის არარსებობა იყო. მისი დანახვა შესაძლებელია გეომეტრიულად, ხაზების მიხედვით, ბუნებრივი რიცხვების წარმოდგენით. წერტილები ყველა ერთ მხარეზეა მხოლოდ ნულიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნახევრად სწორი ხაზი შეიძლება შეიცავდეს ყველა ბუნებრივ რიცხვს და ამრიგად პირდაპირ ხაზს აქვს ზედმეტი ნახევარი.

იდეა გაჩნდა მოულოდნელად, რომ გაგრძელებულიყო სამყაროში სხვა ნახევარგანგების არსებობის გამოძიება. შეგიძლიათ სცადოთ განტოლების ამოხსნა და გეომეტრიულად წარმოადგინოთ მიღებული რიცხვების ახალი ნაკრები, როგორც სამყაროში მეტი სემიგრუპის აღმოჩენის საშუალება.

ასე შეიქმნა ჰოსის ე.წ. მათემატიკური ნიმუშები ნატურალური რიცხვების უარყოფითად. ბუნებრივი რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა გახდა სიმეტრიული და ტიპის ყველა განტოლება x + = 0 შეიძლება მოგვარდეს უარყოფითი ბუნებით.

ყველა ბუნებრივი”ახლა უარყოფითი აქვს” - ”და ამიტომ ჩვენ გვაქვს:

x + = 0 Þ (x + ) + (-) = 0 + (-) Þ x + ( + (-)) = - Þ x + 0 = - Þ x = -.

ახალ სემიგურს წარმოადგენს z, +, 0ñ, სადაც Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} დაერქვა მთელი რიცხვების სიმრავლე. ასო Z- ით ნასესხები იყო გერმანული სიტყვიდან "zahlen".

ჰოსის სახეობების გონება ფუნქციონირებს არაწრფივად და უკიდურესად დინამიურად. დაუყოვნებლივ უნდა ვიკითხოთ, თუ იგივე ფენომენი არ გვხვდება მულტიპლიკაციური სემიგრაფის ,N, ×, 1-ლი. ანუ, ანალოგიური განტოლება x× = 1 ასევე არ აქვს გამოსავალი, გარდა ყველა შემთხვევაში = 1. როგორც კი კითხვის ნიშნის ქვეშ ჩნდება რამდენიმე ბუნებრივი და საინტერესო პრობლემა.

გავამრავლოთ მულტიპლიკაციური სემიგრუპული semN, ×, 1ñ to AZ, ×მათემატიკოსებს სჭირდებოდათ შემდეგი საინტერესო პრობლემების მოგვარება.

ა) როგორ გავამრავლოთ უარყოფითი მთელი რიცხვები? გაგრძელდებოდა გამრავლება აზროვნების, დროისა და სივრცის ეკონომიკაზე დაყრდნობით? მაგალითად, გამოიწვევს თუ არა უარყოფითს ხუთჯერ შეჯამებული ნეგატიური თანხა, ამიტომ დადებითი რიცხვი რამდენჯერმე უარყოფითს გამოიღებს უარყოფით პროდუქტს?

(ბ) როგორ შეიძლება თანაარსებობდნენ ორი ნახევარი ჯგუფი ერთ სტრუქტურაში, ვთქვათ, AZ, +, 0, ×, 1ñ?

გ) ისევ ღირს ასოციაციული საკუთრება?

ჰოსის სახეობათა შემოქმედებითობამ გამოიგონა მარტივი გამოსავალი: ისევე, როგორც áN, +, 0ñ და semN სემიჯგუფები, ×, 1ñ ბუნებრივად შეიძლება თანაარსებობდეს დისტრიბუციული ქონების, ახალი სტრუქტურის AZ, +, 0, ×1ñ– ს პრობლემა არ ექნება ერთნაირი წესის აღიარებას, ხოლო გამრავლება გაგრძელდებოდა აზრის, დროისა და სივრცის დაზოგვაში.

ამასთან, ფასი იყო გადასახდელი. მაგალითად, განვიხილოთ თანასწორობა (1 - 1) × (1 - 1) = 0. თუ ის ასოციაციურ და დისტრიბუტორულ თვისებებს ეხება, მაშინ გვაქვს:

(1 - 1) × (1 - 1) = 0 Þ (1)×(1) + (1)×(-1) + (-1) ×(1) + (-1)×(-1) = 0 Þ 1 - 1 - 1 + (-1)×(-1) = 0

Þ - 1 + (-1)×(-1) = 0.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფასი, რომელიც უნდა გადაიხადოს, ბუნებრივი გაცილების ჯგუფის გაფართოების და განტოლების გადასაჭრელად სურვილის მისაღწევად უნდა აღიაროს, რომ (-1)×(-1) უნდა იყოს მთელი რიცხვი საპირისპიროდ -1.

ახლა კი (-1)×(-1) უნდა იყოს 1. გადასახდელი დავალიანების დარჩენილი ნაწილია დაშვება, რომ

(-)×(-) = ×,

როგორც ჩანს ზემოთ მოცემული იგივე მსჯელობიდან. ამიტომ, "უარყოფითი ჯერ უარყოფითი უნდა იყოს პოზიტიური".

ყველა ახალშობილს სახელი იმსახურებს. ახალი სტრუქტურა z, +, 0, ×, 1, distributivañ, რომელიც იმავე გარემოში მოთავსებულია დანამატის და მრავლობითი ბუნებრივი სემიგრაფების ჯგუფში, მიიღო ბეჭდის სახელი. მიუხედავად იმისა, რომ გაცილებით უფრო სიმეტრიულია, ვიდრე ბუნებრივი სემიგრუპი, იგი არ არის საკმარისი განტოლების გადასაჭრელად. x× = .

ჰოსის უსაზღვრო ცნობისმოყვარეობამ შემდეგ გამოიგონა ინვერსიული მთელი რიცხვები: ყოველი მთელი რიცხვი გარდა ნულისა აქვს მრავლობითი ინვერსიული -1. ამრიგად, გაჩნდა ფართო ბეჭედი: áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ, ფრაქციების ბეჭედი.

ასო Q მოვიდა სიტყვიდან კოზენტიდან, რადგან გამოთქმა ×-1 განმარტეს, როგორც ” იყოფა ”, ანუ ფრაქცია /.

ასე რომ, ყველა განტოლება x× = ერთად ¹ 0, ახლა აქვს გამოსავალი ბეჭედი ringQ, +, 0, ×, 1, დისტრიბუტიული:

x× = Þ (x×)×-1 = Þ x×(×-1) = ×-1 Þ x×1 = ×-1 Þ x = ×-1.

მათემატიკური ნიმუშები ხშირად ამბობენ, რომ semigroup az, +, 0ñ არის ჯგუფი, რადგან ყველა აქვს ინვერსიული დანამატი -ა, ან პირიქით . ანალოგიურად, ჯგუფურია ასევე igrQ, +, 0ñ სემინარი.

რაც შეეხება semigroup igrQ- ს, ×, 1ñ, იგივე არ შეიძლება ითქვას, რადგან 0– ს არ აქვს მრავლობითი ინვერსია. განტოლება 0× = 1 არ არის გამოსავალი უნივერსტეტებში, სადაც 0 ¹ 1, რადგან 0× = 0 ყველასათვის .

ეს ასიმეტრია, შესაბამისად, არ შეიძლება დაფიქსირდეს, რადგან 0 არ შეიძლება ჰქონდეს მრავლობითი ინვერსიული, თუმცა მისი დანამატი ინვერსიული, ანუ მისი საპირისპიროა, თავისთავად.

ახლა, რა თქმა უნდა, ჩნდება კითხვა: რა არის წევის რგოლის სიმძლავრე q, +, 0, ×, 1, distributivañ გადაჭრას განტოლებები, რადგან მათი გეომეტრიული წარმოდგენა სიმეტრიულია და ხაზს ავსებს ბევრად უკეთესი?

უკან სვეტები

<