სტატიები

1.8: რიცხვების გეომეტრია - მათემატიკა


ჩვენ უკვე ვნახეთ, რომ გეომეტრიული ცნებები ზოგჯერ სასარგებლოა რიცხვების თეორიული მოსაზრებების გასანათებლად. ბოლო 20 წლის განმავლობაში მათემატიკის ეს დარგი მნიშვნელოვან მოდაში იყო, განსაკუთრებით ინგლისში, სადაც იგი აქტიურად ვითარდებოდა და ვითარდება მორდელმა, დევენპორტმა, მალერმა და მათმა სტუდენტებმა.

ჩვენ განვიხილავთ ამ საკითხის ძალიან მოკლე შესავალს. პირველი, ჩვენ შეისწავლით ჰაინოსის გამო მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის მტკიცებულებას (1934), შემდეგ განვიხილავთ ამ თეორემის ზოგად განზოგადებებს და გამოყენებებს და ბოლოს გამოვიძიებთ ახალ შედეგებსა და ვარაუდებს, რომლებიც მჭიდრო კავშირშია.

უმარტივესი ფორმით მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემა შემდეგია.

მოდით (R ) იყოს რეგიონი (x-y ) ფართობის (A> 4 ) სიბრტყეში, სიმეტრიული წარმოშობის შესახებ და ამოზნექილი. მაშინ R შეიცავს წარმოქმნის გარდა სხვა გისოსურ წერტილს.

პირველი, რამდენიმე წინასწარი შენიშვნა. მდგომარეობაში (A> 4 ), 4-ის ჩანაცვლება არ შეიძლება რაიმე უფრო მცირე რიცხვით. ეს შეიძლება დავინახოთ გვერდის კვადრატის (2 - epsilon ) გათვალისწინებით, რომელიც წარმოშობილია ცენტრში. მართლაც, ამ მაგალითში შეიძლება თავიდან ვიგულისხმოთ, რომ თეორემა საკმაოდ ინტუიტიურია, რადგან შეიძლება ჩანდეს, რომ ამ რეგიონის ნებისმიერი მიმართულებით გაწურვა და მისი არეალის დაფიქსირება აუცილებლად უნდა აიძულოს რეგიონი დაფაროს რაიმე ბადის წერტილი. თუმცა საქმე არც ისე მარტივია, რადგან სხვა მაგალითები ცხადყოფს, რომ არც ცენტრალური სიმეტრია და არც ამოზნექვა არ არის აუცილებელი. რაც შეეხება ამოზნექილობას, სინამდვილეში საჭიროა ის, რომ ვექტორებით ( vec {V_1} ) და ( vec {V_2} ) რეგიონი ასევე შეიცავდეს ( dfrac {1} {2} ( vec {V_1} + vec {V_2}) ). სიმეტრია ნიშნავს, რომ ( vec {V_1} ) ვექტორით (- vec {V_1} ) ასევე უნდა იყოს (R ). ამრიგად, სიმეტრია და ამობურცულობა გულისხმობს იმას, რომ თუ ( vec {V_1} ) და ( vec {V_2} ) არის (R ), ასევე არის ( dfrac {1} {2} ( vec {V_1} - vec {V_2}) ). ეს ბოლო პირობა ნამდვილად საკმარისია ჩვენი მიზნისთვის და შეიძლება ჩაანაცვლოს სიმეტრიისა და ამოზნექვის პირობებში. ამას გულისხმობს სიმეტრია და ამოზნექილობა, მაგრამ არ გულისხმობს არც ამ პირობებს.

კიდევ ერთი მაგალითი, რომელიც შესაძლოა ანათებს მინკოვსკის თეორემის მნიშვნელობას, შემდეგია. განვიხილოთ წრფე (O ) - ით, რომელსაც აქვს ირაციონალური დახრილი ( თან თეტა ); იხილეთ სურათი 4. ეს სტრიქონი წარმოშობის გარდა არცერთ ქსელის წერტილში არ გადის. თუ ამ ხაზის გრძელ სეგმენტს ავიღებთ, ვთქვათ სიგრძის გაფართოება (R ) ორივე მხარეს (O ), მაშინ იქნება ყველაზე ახლოს მდებარე გისოსების წერტილი და მანძილი (r ) - დან,

ამ სეგმენტს. აქედან გამომდინარე, რაც არ უნდა დიდი იყოს (R ), ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ მართკუთხედი, რომელიც შეიცავს ამ წრფის სეგმენტს, რომელიც არ შეიცავს ქსელის წერტილს, გარდა (O ). მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით ამ მართკუთხედის ფართობი (4rR ) არ აღემატება 4. ამრიგად (r le dfrac {1} {R} ). გაითვალისწინეთ, რომ თუ ((p, q) ) არის მართკუთხედის საზღვარზე გისოსების წერტილი, მაშინ ( dfrac {p} {q} დაახლ. თან თეტა ), ასე რომ მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემა მიეცით გარკვეული ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ რამდენად ახლოსაა ირაციონალური რიცხვის რაციონალური მნიშვნელობით.

მოდით, დავუბრუნდეთ ჰაჯოსს მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის მტკიცებულებას. განვიხილოთ (x-y ) სიბრტყე, რომელიც მოჭრილია უსასრულო ჭადრაკის დაფაზე, რომლის ფართობის ძირითადი კვადრატია 4 განსაზღვრული (| x | le 1 ), (| y | le 1 ). ახლა მოჭრილი გვაქვს ჭადრაკის დაფა კვადრატების კიდეების გასწვრივ და დავაყენებთ ყველა სკვერს, რომელიც შეიცავს რეგიონის ნაწილებს (R ). ახლა ჩვენ კომპრესირებული გვაქვს ფართობი> 4 რეგიონის 4 რეგიონში. ეს გულისხმობს, რომ მოხდება გადაფარვები, ანუ კვადრატის საშუალებით შეიძლება ჩხირის ჩამაგრება ისე, რომ (R ) ორ წერტილში გახვრეტს (V_1 ) და (V_2 ). ახლა ისევ ააწყეთ რეგიონი და მიეცით წერტილები (V_1 ) და (V_2 ) ვექტორები ( vec {V_1} ) და ( vec {V_2} ). გაითვალისწინეთ ის ფაქტი, რომ (V_1 ) და (V_2 ) (x ) და (y ) კოორდინატები განსხვავდება 2 – ის ნამრავლით. ჩვენ ვწერთ (V_1 ეკვივალენტური V_2 ) (mod 2) , რაც გულისხმობს ( dfrac {1} {2} (V_1 - V2) ekv 0 ) (მოდი 1). ამრიგად, ( dfrac {1} {2} (V_1 - V_2) ) არის კრისტრული წერტილი, განსხვავებული O– სგან (ვინაიდან (V_1 n V_2 )) (R ).

მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემა შეიძლება განზოგადდეს (n ) - განზომილებიანი სივრცეზე. სინამდვილეში, ჩვენ მხოლოდ 4-ის ჩანაცვლება გვჭირდება მინკოვსკის ფუნდამენტურ თეორემაში 2n- ით და ჰაჯოს მტკიცებულება გადის. მოცემულია მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის მრავალი გაფართოება და განახლება. ზოგიერთ მათგანს მოგვიანებით დავუბრუნდები.

პოლიას ერთ-ერთ ადრეულ ნაშრომს აქვს გრძელი და ცნობისმოყვარე სათაური "Zahlhlentheoretisches und Wahrscheinlichkeitstheoretisches ( ddot {u} ) ber die Sichtweite in Walde und durch Schneefall". პოლიაში მთავარი შედეგის მტკიცებულება ამ ნაშრომში შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს და გარკვეულწილად დაიხვეწოს მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის გამოყენებით. პრობლემა ისაა.

დავუშვათ, რომ (O ) - ის გარდა ყველა სხვა ქსელის წერტილი გარშემორტყმულია რადიუსის წრით (r le dfrac {1} {2} ) (ხე ტყეში). კაცი დგას (O ) - ზე. მიმართულებით ( theta ) მას შეუძლია დაინახოს მანძილი (f (r, theta) ). მანძილი f (r, θ). რა არის ყველაზე შორს, რომლითაც ის ხედავს რომელიმე მიმართულებით? ანუ განსაზღვრეთ

(F (r) = text {max} _ { theta} f ( theta, r) ​​)

წრის გასწვრივ (1, 0) ორიენტირებული (სურათი 5), ვხედავთ თითქმის მანძილს ( dfrac {1} {r} ). მეორეს მხრივ, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ (F (r) le dfrac {1} {r} ). ვთქვათ, რომ ჩვენ ვხედავთ მანძილს (F (r) ) θ მიმართულებით. ამ ხედვის ხაზის შესახებ ააშენეთ მართკუთხედი გვერდით (2r ). ეს მართკუთხედი არ შეიცავს ბადის წერტილს, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ხე, რომელიც ასეთ ბადის წერტილზეა ორიენტირებული, ხელს უშლის ჩვენს ხედვას; იხილეთ სურათი 6.

შესაბამისად, მინკოვსკის (4F (r) r le 4 ) და (F (r) le dfrac {1} {r} ) ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით. გაითვალისწინეთ, რომ დიაგრამაზე ვერანაირი ბადის წერტილი არ შეიძლება იყოს არც ნახევარწრეში. ეს საშუალებას გვაძლევს ოდნავ გავაუმჯობესოთ პოლიას შედეგი. დეტალებს სავარჯიშოდ დავტოვებ.

მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის უფრო მნიშვნელოვანი გამოყენება ეხება მთელი რიგი ხაზოვანი უტოლობების ამოხსნის შესაძლებლობას.

გაითვალისწინეთ უთანასწორობა

(| a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdot cdot cdot + a_ {1n} x_ {n} | le lambda_1, )
(| a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdot cdot cdot + a_ {2n} x_ {n} | le lambda_2, )
.
.
.
(| a_ {n1} x_ {1} + a_ {n2} x_ {2} + cdot cdot cdot + a_ {nn} x_ {n} | le lambda_n, )

სადაც (a_ {ij} ) რეალური ციფრებია და ( lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n ) დადებითი რიცხვებია. პრობლემა ისაა, რომ იპოვოთ საკმარისი პირობები მთელი რიცხვების (x_1, ..., x_n ) არსებობისთვის, ყველა 0 არ აკმაყოფილებს სისტემას. მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმის დასადასტურებლად, რომ ამოხსნა იარსებებს, თუ კოეფიციენტების განმსაზღვრელი დეტალი (aij), აბსოლუტური მნიშვნელობით, ნაკლებია ვიდრე პროდუქტი cdot cdot lambda_n ). ეს ხდება შემდეგნაირად. გეომეტრიულად, უტოლობები განსაზღვრავს (n ) - განზომილებიან პარალელეპიპედს, რომლის მოცულობა (ან შინაარსი) არის

( dfrac {1} { text {det} (a_ {ij})} cdot 2 ^ n cdot lambda_1 cdot lambda_2 cdot cdot cdot cdot cdot lambda_n. )

თუ ( lambda_1 cdot lambda_2 cdot cdot cdot cdot cdot lambda_n> text {det} (a_ {ij}) ) მაშინ შინაარსი აღემატება (2 ^ n ) და ასე შეიცავს ქსელის წერტილი განსხვავებულია (O ) - სგან.

მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის ძალიან ახლახანს გაკეთებული ანალოგი შემდეგია. მოდით, (R ) იყოს ამოზნექილი რეგიონი, სულაც არ არის სიმეტრიული O– ს შესახებ, მაგრამ მისი ცენტროიდი აქვს (O ) - ზე. თუ მისი ფართობი აღემატება ( dfrac {9} {2} ) - ს, ის შეიცავს ბადის წერტილს არა (O ). მუდმივი ( dfrac {9} {2} ) ისევ საუკეთესოდ არის შესაძლებელი, მაგრამ ამ შედეგის n- განზომილებიანი ანალოგი უცნობია.

ქვემოთ მოცემულია მინკოვსკის ფუნდამენტური თეორემის სავარაუდო განზოგადება, რომლის დამტკიცება სამწუხაროდ ვერ შევძელით. ალბათ შეძლებთ ამის დამტკიცებას ან უარყოფას. მოდით (R ) იყოს ამოზნექილი რეგიონი, რომელიც შეიცავს წარმოშობას და განისაზღვრება (r = f ( theta) ), (0 le theta <2 pi ). თუკი

( int_0 ^ { pi} f ( theta) f ( theta + pi) d theta> 4 )

მაშინ (R ) შეიცავს არატრივიალურ ქსელის წერტილს. სიმეტრიული რეგიონებისთვის (f ( theta) = f ( theta + pi) ), და ვარაუდი ამცირებს მინკოვსკის ფუნდამენტურ თეორემას.

აქ გარკვეულწილად დაკავშირებული და მხოლოდ ნაწილობრივ მოგვარებული პრობლემაა. მოდით განვსაზღვროთ (M (n) ) როგორც ყველაზე მცირე რიცხვი, ისე რომ ნებისმიერი ამობურცული რეგიონი (M (n) ) შეიძლება განთავსდეს ისე, რომ დაფაროს (n ) ქსელის წერტილები. აშკარად (M (1) = 0 ). ძნელი არ არის იმის ჩვენება, რომ (M (2) = dfrac { pi} {4} ), ანუ ნებისმიერი ამოზნექილი რეგიონი, რომლის ფართობი აღემატება 1 დიამეტრის წრეს, შეიძლება გამოყენებულ იქნას 2 ქსელის წერტილის დასაფარავად. (M (3) ) განსაზღვრა უკვე რთულია. ის, რისი დამტკიცებაც მარტივია, არის ის, რომ (M (n) le n -1 ) და ჩვენ გამოვთქვამთ პოზიტიური მუდმივის არსებობას (c ) ისეთი, რომ (M (n)

ფიბონაჩის მიმდევრობა

შემდეგი რიცხვი გვხვდება ორი რიცხვის დამატებით მის წინაშე:

  • 2 გვხვდება მასზე ორი რიცხვის დამატებით (1 + 1),
  • 3 გვხვდება ორი რიცხვის დამატებით მის წინაშე (1 + 2),
  • 5 არის (2 + 3),
  • და ასე შემდეგ!

მაგალითი: შემდეგი თანმიმდევრობის შემდეგი რიცხვი არის 21 + 34 = 55

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, .

შეგიძლიათ გაიგოთ შემდეგი რამდენიმე რიცხვი?


ქრისტიანული მსუბუქი განათლების მათემატიკა 1 - 8 კლასებისთვის

ქრისტიანული მსუბუქი განათლების (CLE) მათემატიკა პროგრამა გთავაზობთ მათემატიკის მყარ ინსტრუქციას, რომელიც ასწავლის ქრისტიანული პერსპექტივიდან ძალიან გონივრულ ფასად. თითოეული კლასის დონის კურსში შედის ერთ ან ორტომიანი მასწავლებლის სახელმძღვანელო და ათი LightUnit სტუდენტის სამუშაო წიგნი. (მესამე კლასს აქვს ერთი ტომი მასწავლებლის სახელმძღვანელოდ.) რამდენიმე სხვა საკითხი ან სავალდებულოა, ან არჩევითი, განსაკუთრებით ადრეულ კლასებში.

გაწმენდა მათემატიკა ასწავლის ახალ ცნებებს და უნარებს საქსონის მიდგომის მსგავსი ნაბიჯებით. ასევე მოსწონს საქსური მათემატიკა, CLE აშენდა უწყვეტი მიმოხილვა. პროგრამა ხაზს უსვამს მათემატიკის ფაქტების და გამოთვლის უნარ-ჩვევების დაუფლებას, რაც ხშირად მოსწავლეებს გარკვეულ სფეროებში უფრო რთულ ტერიტორიაზე ატარებს, ვიდრე სხვა მათემატიკის პროგრამებში.

იგი ხშირად იყენებს მანიპულაციებს და ვიზუალურ საშუალებებს პირველ კლასში, მაგრამ ამცირებს მათ გამოყენებას შემდეგ კლასებში. მეოთხე კლასისთვის მანიპულაციები მხოლოდ რამდენჯერმე გამოიყენება. პირველი კლასის პროგრამაში, მანიპულირება შეიძლება იყოს ბლოკების დათვლა, ხელნაკეთობების ჩხირები ან ის, რაც უმეტესწილად გამოიყენებთ, ამიტომ არ არის საჭირო ძვირადღირებული მანიპულაციები. პირველი კლასის მოსწავლეები ასევე მუშაობენ ნამდვილი მონეტებით და სასწავლო საათით. (საათის თითქმის ნებისმიერი გადაღება იმუშავებს, მაგრამ იაფია სწავლების საათები.) მათ ასევე აქვთ ორი დამატებითი სამუშაო წიგნი: ჩემი კალენდრის წიგნი, რაც სტუდენტებს ამინდის დაცვას და ზოგჯერ ტემპერატურის გაზომვას მოითხოვს და ჩემი თვლის წიგნი სათვლელი სავარჯიშოებითა და რიცხვითი თავსატეხებით. ჩემი კალენდრის წიგნი არასავალდებულოა, მაგრამ ალბათ ძალიან ღირებული იქნება მათი გამოყენება იმ ადგილებში, სადაც ცხოვრობენ ამინდის მნიშვნელოვანი ცვლილებები, განსხვავებით სამხრეთ კალიფორნიაში, სადაც მე ვცხოვრობ. ლამინირებული თვლის სქემა ასევე გამოიყენება პირველი ორი კლასის დონისთვის.

ყოველდღიური ფლეშ კარტის პრაქტიკა და სიჩქარის სწავლება ეხმარება სტუდენტებს დაეუფლონ მათემატიკის ფაქტებს. პირველ და მეორე კლასებში მოსწავლეები მუშაობენ შეკრებისა და გამოკლების ფაქტებზე. მეორე კლასის მოსწავლეები ასევე იწყებენ გამრავლების ფაქტების სწავლას. გონებრივი მათემატიკის სავარჯიშოები შედის მეორე კლასის ბოლოს და გრძელდება ყველა დონის განმავლობაში მერვე კლასის ჩათვლით.

CLE ყიდის პერსონალურად დამატებულ და გამოკლებულ ფლეშ ბარათებს, რომლებიც დაშიფრულია და აქვთ გამყოფები საბურღი სისტემის სისტემური მიდგომის დასადგენად და მიმოხილვისთვის, რომელიც ავრცელებს ბარათებს და აწყობს მათ ყოველდღიურ სავარჯიშოებზე. მიუხედავად იმისა, რომ CLE ყიდის გამრავლებისა და გაყოფის ფლეშ ბარათებს, ეს საკმაოდ სტანდარტულია, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ნაკრები, თუ უკვე გაქვთ.

სიჩქარის სავარჯიშოები გვხვდება თითოეული LightUnit წიგნის უკანა ნაწილში ერთიდან მე -5 კლასისთვის, შემდეგ კი მეექვსე კლასის პირველ LightUnit- ში.

თითოეული კურსის პირველი LightUnit პირველი კლასის შემდეგ საფუძვლიანად განიხილავს ადრე ნასწავლ კონცეფციებსა და ფაქტებს წინასწარი ტესტებისა და პრაქტიკის კომპლექტების საშუალებით. მიზანი არის "ზაფხულის არდადეგების" შემდეგ გადახედვა და დიაგნოზირება, როგორც მათთვის, ვინც შესაძლოა ახლახანს იწყებს CLE პროგრამას. თუ მოსწავლეებმა კარგად გაიარეს თითოეული წინასწარი ტესტირება, მათ შეუძლიათ გამოტოვონ სავარჯიშო ნაკრებები და განაგრძონ მოძრაობა.

პროგრამა ზოგჯერ ასწავლის მათემატიკის პრაქტიკულ გამოყენებას და ის მოიცავს გაკვეთილთა უმეტესობას რამდენიმე სიტყვის პრობლემას. მეშვიდე და მერვე კლასის კურსები ბევრად უფრო კონცენტრირებულია მათემატიკის პრაქტიკულ გამოყენებებზე, ვიდრე ადრინდელ საფეხურებზე, რადგან სტუდენტები გაეცნობიან პირად, ოჯახურ და ბიზნეს ფინანსებს.

პირველი კლასის მასწავლებლის სახელმძღვანელო ინსტრუქციები ხაზს უსვამს CLE სასწავლო გეგმის ფუნდამენტურ პრინციპს. მასწავლებლის სახელმძღვანელოებში ნათქვამია: ”პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი არის მოსწავლეებს სწრაფი მორჩილება და მოწესრიგება ასწავლოთ. ასწავლეთ თქვენს სტუდენტებს, მოუსმინონ და ყურადღებით ადევნონ თვალყური, როდესაც საქმიანობას განაგრძობთ. არ მისცეთ უფლება გააკეთონ რამეები საკუთარი მეთოდით და საკუთარი დროით “. ეს გრძელდება საქმიანობის აღწერით, რომელიც უნდა გამოიყენოთ სწრაფი მორჩილების სწავლებისთვის (მათემატიკა 1 მასწავლებლის სახელმძღვანელო, გვ. viii). ეს განსხვავებით ზოგიერთი სხვა პროგრამისაგან, რომლებიც სტუდენტებს ხელს უწყობენ შეისწავლონ და გაარკვიონ თავიანთი სტილით.

გაწმენდა მათემატიკა საჭიროა გარკვეული გაკვეთილის მომზადება, განსაკუთრებით პირველი კლასის დონისთვის, მაგრამ ამას დიდი დრო არ უნდა დასჭირდეს. პროგრამა ყველაზე ახალ დონეზე უნდა ისწავლებოდეს, მოსწავლეებმა შეიძლება მოუსმინონ მოთხრობის პრობლემას, რომელსაც მასწავლებელი კითხულობს მასწავლებლის სახელმძღვანელოდან, შემდეგ კი დაწერეთ პრობლემის მხოლოდ ციფრები მის LightUnit- ში. პირველი კლასის მიღმა, მოსწავლეებს გაცილებით მეტი სამუშაოს შესრულება შეუძლიათ დამოუკიდებლად. ამასთან, მშობლებმა მაინც უნდა შეამოწმონ მასწავლებლის სახელმძღვანელო შემთხვევითი ინსტრუქციული ინფორმაციის შესახებ, რომელიც მათ მოსწავლეებისთვის უნდა გადასცენ.

ტესტები და ტესტები მოცემულია LightUnit თითოეულ წიგნში. ტესტები, სავარაუდოდ, წინასწარ უნდა მოიხსნას, მაგრამ საჭიროების შემთხვევაში, ასევე შეგიძლიათ გაიყვანოთ ტესტები. მასწავლებლის სახელმძღვანელო შეიცავს სტუდენტის გვერდების შემცირებულ სურათებზე გადაბეჭდილ პასუხებს. ასევე შესაძლებელია პასუხის გასაღებების ცალკეული ნაკრებები, მაგრამ ისინი საჭირო არ არის. ინსტრუქციული ინფორმაციისა და პასუხების გარდა, მასწავლებლის გამოცემებში ასევე არის ალტერნატიული ტესტები, დამატებითი სავარჯიშო ფურცლები და დანართები, სასარგებლო ინფორმაციით. მასწავლებლის გამოცემების შინაარსი განსხვავდება კლასის დონის მიხედვით.

გაწმენდა მათემატიკა ზუსტად შესაბამისობაში არ არის საერთო ბირთვების სტანდარტებთან, მაგრამ ახლოს არის. მაგალითად, CLE აღემატება სტანდარტებს მეოთხე კლასში სამნიშნა გამრავლებით გამრავლების დანერგვისას, ხოლო სტანდარტებს მიჰყვება წილადების გამრავლების მთლიანი რიცხვების მეხუთე კლასამდე გადადებით. მერვე კლასის ბოლოს CLE უზრუნველყოფს მათემატიკური პროგრამების უფრო საფუძვლიან გაშუქებას, ვიდრე უმეტეს პროგრამებს. ეს მერვე კლასის ბოლოს ალგებრას და გეომეტრიას ასწავლის, ზოგიერთ ტრიგონომეტრიასაც კი მოიცავს. საერთო ჯამში, მაღალი დონის კურსები განსაკუთრებით კარგ საქმეს აკეთებს სტუდენტების მოსამზადებლად ვაჭრობის, მეურნეობისა და მეწარმეობისთვის. გაწმენდა მათემატიკა მთლიანობაში უზრუნველყოფს მათემატიკის საჭირო ცნებების სრულყოფილად გაშუქებას და გარკვეულ სფეროებში სცილდება. მიუხედავად იმისა, რომ ის მოიცავს გარკვეულ კრიტიკულ აზროვნებას, ამ სფეროში არ ხდება იმდენი აქცენტი, როგორც ამას ითვალისწინებს საერთო ძირითადი სტანდარტები.

CLE აქვეყნებს კურსების კანადურ ვერსიებს პირველი და მეორე კლასებისთვის, რომლებიც ასწავლის კანადურ ვალუტას და არა აშშ-ს. გარდა ამისა, როგორც აშშ-ს სტანდარტული, ისე მეტრული საზომი სისტემები ერთდროულად ისწავლება პროგრამის განმავლობაში, რომ სტუდენტები ფლობენ ორივემ.

Christian Light Education– ის მენონიტური ფესვები აშკარაა მთელი სერიის ილუსტრაციებში. შინაარსზე გავლენას ახდენს ის ფაქტი, რომ ბევრი მენონი ცხოვრობს სოფლად, ვიდრე ქალაქებსა და გარეუბნებში. თითოეულ კურსს აქვს თემა, რომელიც გაკვეთილებს გადის, პირველ რიგში ნაჩვენებია სიტყვის პრობლემებში. მაგალითად, მეოთხე კლასის კურსში, გეოგრაფიული თემა, თითოეულ LightUnit- ს ხაზს უსვამს მსოფლიოს სხვადასხვა სფეროს. მეშვიდე და მერვე კლასის კურსებზე, თითოეულ LightUnit– ს აქვს საქმიანობა, მოწოდება ან ბიზნესი, რომელთაგან თითოეულს მართავენ ქრისტიანები. გარკვეულ ქრისტიანულ შინაარსს მოიცავს, მაგრამ ის ძალიან სპორადულად ჩანს.

ასევე ხელმისაწვდომია საშუალო სკოლის კურსები, მაგრამ მე მათ არ გადავხედე.

ინფორმაცია ფასების შესახებ

როდესაც ფასები გამოჩნდება, გახსოვდეთ, რომ ისინი შეიძლება შეიცვალოს. დააჭირეთ ბმულებს, სადაც ეს შესაძლებელია, ფასის სიზუსტის დასადასტურებლად.

10 LightUnits– ის ნაკრები - $ 37 თითო კლასის დონეზე
მასწავლებლის სახელმძღვანელო - $ 9,50 - $ 15 თითო კლასის დონეზე
დამატებისა და გამოკლების ფლეშ ბარათები - 17 დოლარი
დათვლის დიაგრამა - 1,50 დოლარი
ჩემი კალენდრის წიგნი - 4,90 დოლარი
ჩემი თვლის წიგნი - 2,50 დოლარი


ფიის სხვა სახელები

ბერძნული არქიტექტორების გეგმების შესახებ ჯერ არ არსებობს ჩანაწერები მათი ყველაზე ცნობილი ტაძრებისა და შენობების შესახებ (მაგალითად, პართენონი). ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით, მათ განზრახ გამოიყენეს ოქროს მონაკვეთი თავიანთ არქიტექტურულ გეგმებში. ამერიკელმა მათემატიკოსმა მარკ ბარმა გამოიყენა ბერძნული ასო ფი (& phi) ოქროს თანაფარდობის გამოსახატავად, ბერძნული ფიდიასის საწყისი წერილის გამოყენებით, რომელიც თავის ქანდაკებებში ოქროს კოეფიციენტს იყენებდა.

ლუკა პაჩიოლიმ (ზოგჯერ დაწერილი როგორც პაჩიოლი), 1445-1517 წლებში დაწერა წიგნი სახელწოდებით De Divina Proportione (ღვთიური პროპორცია) 1509 წელს. იგი შეიცავს ლეონარდო და ვინჩის მიერ შესრულებულ 5 პლატონის მყარ ნახატს. ეს ალბათ ლეონარდო (და ვინჩი) იყო, ვინც პირველად უწოდა მას sectio aurea (ლათინური ოქროს მონაკვეთი).

დღეს ზოგიერთი მათემატიკოსი იყენებს phi- ს (& phi) ოქროს თანაფარდობისთვის, როგორც ამ ვებგვერდებზე, ზოგი კი ბერძნული ასოების alpha (& alpha) ან tau (& tau), ტომი რაც ბერძნულ ნაწარმოებს წარმოადგენს "მოჭრილს".

  • ოქროს ნომრის მათემატიკური ისტორია R Herz-Fischler, Dover (1998) ქაღალდის წიგნი. ეს არის ინფორმაციული წიგნი, მჭიდროდ შეფუთული ისტორიული ცნობებით ოქროს შუა და მისი სხვა სახელები.

1 & # 18361803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 .. მეტი ..


1.8: რიცხვების გეომეტრია - მათემატიკა

ეს გვერდი შენდება

სამწუხაროდ, ბევრ სკოლაში არასწორად მიიჩნევა 3 + 1/7 = 3,142857 - ზუსტი და 10000 ჩვეულებრივი შეცდომაა, რომ მხოლოდ 3 + 1/8 გამოთვლილია ქვემოთ მოცემული დაკვირვებით, რომ რადიუსის წრის ფართობი არის & quot; დახურვა გვერდით & amp; კვადრატის 8 ერთეულის ფართობი. ბოლო დრომდე, სირაკუზის არქიმედე (ძვ. წ. 250) ზოგადად ითვლებოდა პირველი ადამიანი, ვინც გარკვეულ სიზუსტეში გამოითვალა, თუმცა, როგორც ქვემოთ დავინახავთ, ეგვიპტელებმა უკვე იცოდნენ არქიმედეს (250 ბ.გ.) მნიშვნელობა = 256/81 = 3 + 1 / 9 + 1/27 + 1/81, (ვარაუდი, რომ ეგვიპტელებმა გამოიყენეს 3 + 1/13 + 1/17 + 1/160 = 3.1415 საუკეთესო შემთხვევაში, ნაგულისხმევია) მოცემულია ქვემოთ მოცემულ 50-ე პრობლემაში. ასტრონომმა პტოლემაიოსმა, ალექსანდრიის 150 წელმა, იცოდა 3 + 10/71 & lt & lt3 + 1/7, მეხუთე საუკუნეში ჩინეთში, ცუ ჩუნგ-ჩიჰმა სწორად გამოთვალა pi შვიდი ციფრი. დღეს ჩვენ ვიცით 50 მილიარდი ათობითი წერტილი.

შენიშვნა 1 ხეთი 100 წყრთაა, ხოლო 1 მეტრი დაახლოებით 2 წყრთაა. Setat არის ფართობის გაზომვა, ტოლი, რასაც ჩვენ მოვუწოდებთ კვადრატულ ხეტს.

Rhind papyrus პრობლემა 50. წრიულ ველს აქვს 9 ხეთური დიამეტრი. რა არის მისი ფართობი.

წერილობითი ხსნარში ნათქვამია, გამოაკელით დიამეტრის 1/9, რომელიც ტოვებს 8 კეტს. ფართობი 8 გამრავლებულია 8-ზე, ანუ 64 კომპლექტი. ახლა, როგორც ჩანს, რაღაც აკლია, თუ არ გამოვიყენებთ თანამედროვე მონაცემებს: d დიამეტრის წრის ფართობია (d / 2) 2 = d 2/4. ახლა ვივარაუდოთ 64 = 9 2/4 = 81/4, შემდეგ = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

3.1605. მაგრამ 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 რიცხვი, სავარაუდოდ, არსებითად ეგვიპტელებისათვის უფრო სასიამოვნოა, ვიდრე
3 + 1/13 + 1/17 + 1/160.

მოსკოვის პაპირუსის პრობლემა 10. თარგმანი რიგ-რიგ ხაზზე


[კალათის [ნახევარსფეროს] ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითი.


გეძლევათ ნახევარსფერო პირით [სიდიდე]


კალათა არის ნახევარი კვერცხი [ნახევარსფერო]. მიიღებ 1-ს.


გამოთვალეთ დარჩენილი ნაწილი [9-დან გამოკლებისას], რომელიც არის 8.


იპოვნეთ ამ 8 – ის დარჩენილი ნაწილი


2/3 + 1/6 + 1/18 გამოკლების შემდეგ. მიიღებთ 7 + 1/9.


თქვენ მიიღებთ 32. აჰა, ეს არის მისი ზედაპირი [ფართობი]!


სწორად მიაგნო.

ჩვენს ნოტაციაში და მეთოდში აი ის, რაც მოხდა.
მოდით d იყოს დიამეტრი და S იყოს ზედაპირის ფართობი.
S = 2d (8/9) (8/9) d =

პრობლემა და მისი გადაჭრა შეიძლება შემდეგნაირად განვმარტოთ: იპოვნეთ ნახევარსფეროს ფართობი (ნახევარი კვერცხის კალათი] დიამეტრი 4 + 1/2. ნახევარსფეროს ზედაპირია
= 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

5/25/97 გახსნის დღიდან, სტუმრები

მათემატიკის დეპარტამენტი
ნიუ იორკის სახელმწიფო უნივერსიტეტი ბუფალოში.

ისინი იქმნება და ინარჩუნებს მათ
სკოტ უილიამსი
მათემატიკის პროფესორი


რიცხვების მიმდევრობა

ამ გაკვეთილებზე გავეცნობით სხვადასხვა ტიპის რიცხვების მიმდევრობას და როგორ გადავჭრათ რიცხვთა მიმდევრობასთან დაკავშირებული პრობლემები.

გაკვეთილების სხვა ნაკრებში, ჩვენ გვაქვს Integer Word– ის პრობლემების რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც მოიცავს ორ უცნობს.

შემდეგ დიაგრამებზე მოცემულია არითმეტიკული მიმდევრობისა და გეომეტრიული თანმიმდევრობის ფორმულები. გადაახვიეთ გვერდზე მაგალითები და გადაწყვეტილებები.


როგორ მოვძებნოთ შემდეგი ტერმი რიცხვის თანმიმდევრობით?

რიცხვების თანმიმდევრობა არის ზედიზედ განლაგებული რიცხვების სია. მოდით გადავხედოთ ქვემოთ მოცემულ ორ მაგალითს.
(i) 4, 6, 1, 10, 14, 5,
(ii) 4, 7, 10, 13,.

რიცხვების თანმიმდევრობა (i) არის რიცხვების სია რიგისა და ნიმუშის გარეშე. ვერ გეტყვით, რა რიცხვი მოდის 5-ის შემდეგ.

რიცხვების მიმდევრობას (ii) აქვს ნიმუში. აკვირდებით, რომ თითოეული რიცხვი მიიღება 3 – ის დამატებით წინა რიცხვი (ე.ი. ნომერი მის წინაშე)?

ამ გაკვეთილზე ჩვენ მხოლოდ შეისწავლით რიცხვების მიმდევრობას შაბლონებით.

რიცხვების მიმდევრობის კიდევ რამდენიმე მაგალითია:

რიცხვების თანმიმდევრობა ნიმუში
3, 6, 9, 12, . დაამატეთ 3
12, 17, 22, 27, . დაამატე 5
70, 65, 60, 55, . გამოკლება 5
15, 19, 23, 27 და ჯოჯოხეთი დაამატე 4
81, 27, 9, 3 და ჯოჯოხეთი გაყოფა 3-ზე

როგორ შეავსოთ დაკარგული ტერმინები რიცხვების თანმიმდევრობით?

მიმდევრობის თითოეულ რიცხვს ეწოდება a ვადა. იმისათვის, რომ იპოვოთ დაკარგული ტერმინები რიცხვების მიმდევრობაში, ჯერ უნდა ვიპოვოთ რიცხვების მიმდევრობის ნიმუში.

მაგალითი:
იპოვნეთ დაკარგული ტერმინები შემდეგი თანმიმდევრობით:
8, ______, 16, ______, 24, 28, 32

გამოსავალი:
შაბლონის მოსაძებნად კარგად დაათვალიერეთ 24, 28 და 32. რიცხვების თანმიმდევრობის თითოეული ტერმინი იქმნება წინა რიცხვის 4-ის დამატებით. ასე რომ, დაკარგული ტერმინებია 8 + 4 = 12 და 16 + 4 = 20. შეამოწმეთ, რომ ნიმუში სწორია მთელი თანმიმდევრობისთვის 8 – დან 32 – მდე.

მაგალითი:
რა მნიშვნელობა აქვს n შემდეგ რიცხვთა თანმიმდევრობას?

გამოსავალი:
ჩვენ ვხვდებით, რომ მიმდევრობის რიცხვის ნიმუში არის წინა რიცხვის "დამატება 5".
ასე რომ, n = 21 + 5 = 26

როგორ მოვძებნოთ შემდეგი ტერმი რიცხვის თანმიმდევრობით?

შემდეგ ვიდეოში მოცემულია რამდენიმე მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა განისაზღვროს შემდეგი ტერმინი რიცხვითი თანმიმდევრობით.

მაგალითები:
იპოვნეთ შემდეგი ნომერი

როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული მიმდევრობის მე -9 ტერმინი

მაგალითი:
7, 9, 11, 13, 15 და ჯოჯოხეთი

როგორ მოვძებნოთ გეომეტრიული მიმდევრობის მეცხრე ვადა

მაგალითი:
5, 10, 20, 40 და ჯოჯოხეთი

სცადეთ უფასო მათემატიკის კალკულატორი და პრობლემების გადაჭრის ქვემოთ, სხვადასხვა მათემატიკის თემების სავარჯიშოდ. სცადეთ მოცემული მაგალითები, ან აკრიფეთ საკუთარი პრობლემა და შეამოწმეთ თქვენი პასუხი ეტაპობრივი განმარტებებით.

ჩვენ მივესალმებით თქვენს გამოხმაურებას, კომენტარს და კითხვებს ამ საიტის ან გვერდის შესახებ. გთხოვთ, გამოაგზავნოთ თქვენი გამოხმაურება ან შეკითხვები უკუკავშირის გვერდის საშუალებით.


რადიუსი და დიამეტრი

რადიუსი არის წრე წრის ცენტრალური წერტილიდან წრის რომელიმე ნაწილამდე. ეს ალბათ ყველაზე მარტივი კონცეფციაა, რომელიც დაკავშირებულია წრეების გაზომვასთან, მაგრამ შესაძლოა ყველაზე მნიშვნელოვანიც.

პირიქით, წრის დიამეტრი გრძელი მანძილია წრის ერთი კიდიდან მოპირდაპირე კიდემდე. დიამეტრი განსაკუთრებული ტიპის აკორდია, წრფე, რომელიც უერთდება წრის ნებისმიერ ორ წერტილს. დიამეტრი რადიუსზე ორჯერ გრძელია, ასე რომ, თუ რადიუსი 2 ინჩია, მაგალითად, დიამეტრი 4 ინჩი იქნება. თუ რადიუსი 22.5 სანტიმეტრია, დიამეტრი 45 სანტიმეტრი იქნება. დიამეტრი ისე იფიქრეთ, თითქოს სრულებით წრიულ ღვეზელს ჭრით ცენტრში ისე, რომ გქონდეთ ორი თანაბარი ღვეზელის ნახევარი. ხაზი, სადაც ტორტს ორად გაჭრით, იქნება დიამეტრი.


1.8: რიცხვების გეომეტრია - მათემატიკა

მანდელბროტის ნაკრები წარმოიქმნება განმეორებით. გამეორება ნიშნავს პროცესის განმეორებით გამეორებას. მათემატიკაში ეს პროცესი ყველაზე ხშირად მათემატიკური ფუნქციის გამოყენებაა. მანდელბროტის სიმრავლისთვის, ჩართული ფუნქცია არის უმარტივესი არაწრფივი ფუნქცია, რომელიც შეიძლება წარმოიდგინოთ, კერძოდ x 2 + გსად მუდმივია. გასწვრივ, ჩვენ ზუსტად დავაკონკრეტებთ რა მნიშვნელობას იღებს

განმეორება x 2 + გ, ჩვენ ვიწყებთ ა თესლი განმეორებისათვის. ეს არის (რეალური ან რთული) რიცხვი, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ x0. ფუნქციის გამოყენება x 2 + გ რომ x0 იძლევა ახალ ნომერს

ახლა, ჩვენ ვიმეორებთ, წინა გამოთვლის შედეგის გამოყენებით, როგორც შეყვანის შემდეგ. ესე იგი

და ასე შემდეგ. რიცხვების სია x0, x1, x2. ამ განმეორებით წარმოქმნილს აქვს სახელი: მას უწოდებენ ორბიტაზე საქართველოს x0 განმეორებით x 2 + გ. მათემატიკის ამ დარგში ერთ-ერთი მთავარი კითხვაა: რა ბედი ეწევა ტიპიურ ორბიტებს? ისინი ერთმანეთს გადავიდნენ ან დაშორდნენ? ისინი ციკლით მოძრაობენ ან იქცევიან არასწორად? რეალური გაგებით, მანდელბროტის ნაკრები ამ კითხვაზე პასუხის გეომეტრიული ვარიანტია.

დავიწყოთ რამდენიმე მაგალითით. დავუშვათ, რომ დავიწყებთ მუდმივიდან c = 1. შემდეგ, თუ თესლს ავირჩევთ 0, ორბიტა არის

როგორც კიდევ ერთი მაგალითი, ამისთვის c = 0, თესლის ორბიტა 0 საკმაოდ განსხვავებულია: ეს ორბიტა რჩება დაფიქსირდა ყველა განმეორებისთვის.

თუ ახლა ვირჩევთ c = -1, კიდევ რაღაც ხდება. თესლისთვის 0, ორბიტა არის

აქ ჩვენ ვხედავთ, რომ ორბიტა უკან და უკან ბრუნდება 0 და -1, ა ციკლის პერიოდი 2.

ორბიტების ბედის გასაგებად, ყველაზე ხშირად უმარტივესია გეომეტრიულად გაგრძელება. შესაბამისად, ორბიტის დროის სერიული მონაკვეთი ხშირად მეტ ინფორმაციას გვაწვდის ორბიტების ბედის შესახებ. ქვემოთ მოცემულ ნაკვეთებში ჩვენ ვაჩვენეთ დროის სერიები x 2 + გ სად c = -1.1, -1.3, -1.38, და 1.9. თითოეულ შემთხვევაში ჩვენ გამოვთვალეთ ორბიტა 0. გაითვალისწინეთ, რომ ორბიტის ბედი იცვლება . ამისთვის c = -1.1, ჩვენ ვხედავთ, რომ ორბიტა უახლოვდება 2 ციკლს. ამისთვის c = -1.3, ორბიტა 4 ციკლისკენ მიისწრაფვის. ამისთვის c = -1.38, ჩვენ ვხედავთ 8 ციკლს. Და როცა c = -1.9, არ არსებობს აშკარა ნიმუში, რომ ორბიტის მათემატიკოსები იყენებენ სიტყვას ქაოსი ამ ფენომენისთვის. ამის სხვა თვალსაზრისით სანახავად, ჩვენ შევადგინეთ პირველი 20,000 წერტილის ჰისტოგრამა ორბიტაზე 0 ქვეშ x 2 - 1.9 ნახაზზე 2. ამ სურათზე ჩვენ დავყოთ ინტერვალი [-2, 2] 400 ქვეინტერვალში. ჰისტოგრამა იზრდება ერთი ერთეულით ყოველ ჯერზე, როდესაც ორბიტა შემოვა რომელიმე ამ ქვეინტევალში.

სურათი 1. დროის სერია


სურათი 2. ორბიტის ჰისტოგრამა 0 ქვეშ

სანამ გავაგრძელებთ, მოდით გავაკეთოთ აშკარად აშკარა და არაინსპირაციული დაკვირვება. იტერაციის ქვეშ x 2 + გ , ან ორბიტაზე 0 მიდის უსასრულობაში, ან არა. როდესაც ორბიტა არ მიდის უსასრულობაში, ის შეიძლება მოიქცეს სხვადასხვა გზით. ეს შეიძლება იყოს ფიქსირებული, ციკლური ან ქაოტურად იქცეოდეს, მაგრამ ფუნდამენტური დაკვირვებაა, რომ არსებობს დიქოტომია: ზოგჯერ ორბიტა უსასრულობას მიდის, სხვა დროს - არა. მანდელბროტის სიმრავლე წარმოადგენს ზუსტად ამ დიქოტომიის სურათს განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როდესაც თესლად გამოიყენება 0. ამრიგად, მანდელბროტის ნაკრები არის ორბიტის ბედის ჩანაწერი 0 განმეორებით x 2 + გ.

როგორ ხდება მანდელბროტის გეგმაზომიერი სურათი? პასუხი არის ნაცვლად იმისა, რომ გავითვალისწინოთ რეალური მნიშვნელობები , ჩვენ ასევე დავუშვებთ იყოს რთული რიცხვი. მაგალითად, ორბიტაზე 0 ქვეშ x 2 + i მოცემულია მიერ

და ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ორბიტა საბოლოოდ ციკლავს პერიოდთან 2. თუ შევცვლით რომ 2i, მაშინ ორბიტა ძალიან განსხვავებულად იქცევა

x5 = BIG (ნიშნავს წარმოშობისგან შორს)

და ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ორბიტა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის რთულ სიბრტყეში (ორბიტის შემცველი რიცხვები უფრო და უფრო შორდება წარმოშობას). ისევ ჩვენ ვაკეთებთ ფუნდამენტურ დაკვირვებას ან 0-ის ორბიტაზე x 2 + გ მიდრეკილია უსასრულობისკენ, ან არა.


რიცხვითი წინადადების სამუშაო ფურცელი

სცადეთ უფასო მათემატიკის კალკულატორი და პრობლემების გადაჭრის ქვემოთ, სხვადასხვა მათემატიკის თემების სავარჯიშოდ. სცადეთ მოცემული მაგალითები, ან აკრიფეთ საკუთარი პრობლემა და შეამოწმეთ თქვენი პასუხი ეტაპობრივი განმარტებებით.

ვიმედოვნებთ, რომ მათემატიკის უფასო სამუშაო ფურცლები გამოდგებოდა. ჩვენ ვურჩევთ მშობლებს და მასწავლებლებს, შეარჩიონ თემები ბავშვის საჭიროებების შესაბამისად. უფრო რთული კითხვებისთვის, შესაძლოა ბავშვს წახალისონ პრობლემის შემუშავება ფურცელზე, ხსნარში შესვლამდე. ვიმედოვნებთ, რომ ბავშვებს ასევე მოეწონებათ გართობა და თავსატეხები.

ჩვენ მივესალმებით თქვენს გამოხმაურებას, კომენტარს და კითხვებს ამ საიტის ან გვერდის შესახებ. გთხოვთ, გამოაგზავნოთ თქვენი გამოხმაურება ან შეკითხვები უკუკავშირის გვერდის საშუალებით.


ხაზები ორ განზომილებაში - ხაზის ფორმები, მანძილი, კონკურენტული ხაზები, ხაზის სეგმენტი

სამკუთხედები ორ განზომილებაში - ფართობი, ცენტროიდი, ინცენტერი, ცირკუმცენტრი, ორთოცენტრი

წრე - წრის განტოლება, ფართობი, წრე, აკორდის თეორემა, ტანგენ-სეკანტის თეორემა, სეკანტი - სეკანტის თეორემა

კონიკური განყოფილებები - პარაბოლა, ელიფსი, ჰიპერბოლა

ხაზები სამ განზომილებაში - ხაზის ფორმები, მანძილი, კვეთა

თვითმფრინავები სამ განზომილებაში - თვითმფრინავის ფორმები, კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, სიბრტყის განტოლება, მანძილი, კვეთა


Უყურე ვიდეოს: გ. რაქვიაშვილი. ანალიზური გეომეტრია. 1მატრიცები (დეკემბერი 2021).