სტატიები

15.6: ნახევრად რეგულარული დახრა - მათემატიკა


15.6: ნახევრად რეგულარული დახრა - მათემატიკა

15.6: ნახევრად რეგულარული დახრა - მათემატიკა

შეამჩნევთ, რომ ყველა ეს ნახევარწრიული დახრა ემყარება ერთ-ერთ ადრინდელ ნიმუშს: რეგულარული სამკუთხედები (RT), რეგულარული კვადრატები (RS) ან რეგულარული ექვსკუთხედები (RH).

თუ ექვსზე მეტი ფორმა გვხვდება p- ზე, მინიმუმ ერთს აქვს 52 ° -ზე ნაკლები შინაგანი კუთხე, რაც შეუძლებელია.

თუ ექვსი ფორმა გვხვდება p- ზე, საშუალო კუთხე არის 60 °, რაც ასევე ყველაზე პატარა შესაძლებელია, ამიტომ ექვსი სამკუთხედი გვხვდება p- ზე და ქმნის RT- ს. ამრიგად, ვივარაუდებთ, რომ სამი ოთხი ან ხუთი ფორმა გვხვდება გვ.

მოათავსეთ სამი ფორმა p- ს გარშემო. ჩვენ მოვაგვარეთ შემთხვევა, როდესაც ისინი ყველა ექვსკუთხაა, ამიტომ პირველი ფორმა არის უფრო პატარა, ვთქვათ პენტაგონი. ეს ტოვებს 252 ° -ს დანარჩენი ორი ფორმისთვის. თუ ამათგან უფრო მცირეა ექვსკუთხედი, ჩვენ გვჭირდება ჩვეულებრივი n-gon, რომლის შიდა კუთხე 132 ° არის და ასეთი ცხოველი არ არსებობს. გადავიდეთ პენტაგონზე და როგორც ჩანს, ჩვენ დავადექით ფულს. ორი ხუთკუთხედი და decagon შესანიშნავად ჯდება p. მაგრამ როდესაც პენტაგონი შემოვიარეთ, წინააღმდეგობას მივაღწიეთ. პენტაგონის მიმდებარე ფორმები ხუთკუთხედის ათკუთხედის პენტაგონის ათკუთხედის ხუთკუთხედს აწარმოებს და შემდეგ ჩვენ დავუბრუნდებით დასაწყებად. ეს ათავსებს სამ ხუთკუთხედს, რაც არ ემთხვევა ნიმუშს. თუ სამი ფორმა გვხვდება p- ზე, და ერთი მათგანი უცნაურია, დანარჩენი ორი უკეთესი იქნება იგივე.

ჩამოაგდეთ სამკუთხედზე და გამოიყენეთ მოსიარულე პრინციპი, შესაბამისად, დარჩენილი ფორმებია dodecagons, ანუ 12-gon. ეს ქმნის ჩვენს პირველ ნახევარწრიულ ფილებს. იგი ეფუძნება RH- ს და ავითარებს თითოეულ წვერს სამკუთხედად და ექვსკუთხედებად გადაიქცევა dodecagons.

დაბოლოს, მოდით სამი ფორმიდან ერთი იყოს კვადრატი. თუ რომელიმე სხვა ფორმა უცნაურია, მაშინ მესამეც არის კვადრატი. ეს ტოვებს 180 ° უცნაურ ფორმას, რაც შეუძლებელია. ამრიგად, დარჩენილი ფორმები თანაბარია და უფრო დიდია ვიდრე კვადრატები. ორი ოქტაგონი იმუშავებს. დაიწყეთ RS– ით და გააფართოვეთ თითოეული წვერი პატარა კვადრატად, რითაც ორიგინალი კვადრატები გადააქციეთ რვაკუთხედებად.

ბოლო კონფიგურაცია არის კვადრატული ექვსკუთხა dodecagon, შემოკლებით 4,6,12. ეს არის 3,12,12 ნიმუში, დაშლილი, სამკუთხედები გაფართოებულია ექვსკუთხედებად და კვადრატებად ჩასმული ათკაციანებს შორის. კვადრატები და ექვსკუთხედები ქმნიან სახსრებს მსხვილ თორმეტკუთხედის ფილებს შორის.

შემდეგ ვივარაუდეთ, ოთხი ფორმა გვხვდება გვ. ყველაზე მცირე კუთხე არის მაქსიმუმ 90 °, და თუ ეს არის კვადრატი გვაქვს RS, ასე რომ ჩავთვალოთ რომ ეს არის სამკუთხედი. შემდეგი კუთხე 100 ° -ით შემოიფარგლება და შეიძლება იყოს კვადრატი. თუ ეს არის, შემდეგი ფორმა ასევე არის კვადრატი, ხოლო ბოლო არის ექვსკუთხედი.

თუ კვადრატები მომიჯნავეა, ზედიზედ დააწყვეთ სამი კვადრატი, პირველზე და მესამეზე სამკუთხედი, ხოლო მეორის თავზე ექვსკუთხედი. მოათავსეთ მესამე სამკუთხედი ექვსკუთხედზე და კიდევ სამი კვადრატი მარცხენა მხარეს მწვერვალზე და კიდევ სამი კვადრატი მარჯვენა მხარეს წვერზე. ექვსკუთხა და სამი სამკუთხედი ქმნის ერთ უფრო დიდ სამკუთხედს, რომელსაც ესაზღვრება ცხრა კვადრატი. სამივე კუთხეში თითოეულზე ორი კვადრატი ფარავს სამკუთხედს და ექვსკუთხედს ითხოვს. ეს თითქმის შეესაბამება ჩვენს ნიმუშს. შემოიტანეთ სამი კუთხის ექვსკუთხედი და კუთხის წვერები 4,6,4,3, ხოლო სამკუთხედის შიგნით ექვსი მწვერვალები 4,4,6,3. დაატრიალეთ და ასახეთ სურათი და ექვსი შინაგანი მწვერვალება არ გამოირჩევა. ამავე დროს, სამი კუთხის წვეროები არ განასხვავებენ. ეს არის კვაზირეგულარული კრამიტი. ყველა წვერი უერთდება ორ კვადრატს, ექვსკუთხედს და სამკუთხედს, მაგრამ A ტიპის წვეთები 4,6,4,3 და B ტიპის წვეთები 4,4,6,3. A ტიპის წვეროები არ განასხვავებენ და B ტიპის წვერები არ გამოირჩევიან. ნიმუში სამუდამოდ მეორდება. ამ ნიმუშის გამოსახატად, დაიწყეთ RH– ით და გაიყვანეთ ექვსკუთხედები ერთმანეთისგან, შემდეგ კი დახაზეთ დამაკავშირებელი სპიკები. თითოეული გამოსვლა ზედიზედ სამი კვადრატია. სპიკებს შორის არსებული ხარვეზები დიდი სამკუთხედებია, რომელთაგან თითოეული სავსეა ექვსკუთხა და სამი სამკუთხედით. ვნახოთ, გარდაუვალია თუ არა ეს ნიმუში.

დავუშვათ, რომ სადღაც ნიმუში 4,4,6,3 ვერტიკალია. სამკუთხედის მეორე მხარეს კიდევ ერთია, რითაც აშენდა ჩვენი უფრო დიდი, კვადრატული დახურული სამკუთხედის კუთხე. განათავსეთ ექვსკუთხედი კუთხეში, როგორც ადრე გავაკეთეთ, შემდეგ გადახედეთ ორმაგ კვადრატს. ერთადერთი შესაძლებლობა არის კიდევ ექვსკუთხა სამკუთხედი, ისევე როგორც ისინი ზემოთ ჩანს. ეს მოითხოვს კიდევ ერთ ორმაგ კვადრატს, და ასე შემდეგ მთელს კუთხის ექვსკუთხედზე. თუ რომელიმე ამ ორმაგი კვადრატი დაიხურა სამკუთხედით და კიდევ ორი ​​კვადრატი ორივე მხარეს, ჩვენ გვაქვს ახალი ტიპის 4,6,4,3 წვერი, სადაც სამკუთხედი გარშემორტყმულია კვადრატებით. ეს არ არის იგივე 4,6,4,3 მწვერვალი, რომელიც ადრე ვნახეთ. თუ გვსურს, რომ A ტიპის წვეროები განურჩეველი დარჩეს, ორმაგი კვადრატები სამკუთხედ კვადრატებზე ვრცელდება, სამკუთხედები ორივე მხარეს ივსება და ადრინდელი ნიმუში ჩნდება.

ახალი ნიმუშის მოსაძებნად, ჩათვალეთ, რომ ყველა წვერი 4,6,4,3-ია. ამრიგად, თითოეული ექვსკუთხედი იფარება ცვალებადი კვადრატებისა და სამკუთხედების რგოლში. დაიწყეთ RH– ით და მოაცილეთ ფილები. თითოეულ წყვილ ექვსკუთხედს შორის მოათავსეთ კვადრატი და თითოეულ სამეულს შორის სამკუთხედი. ამრიგად, კვადრატები და სამკუთხედები ქმნიან სახეხს ექვსკუთხედ ფილებს შორის.

შემდეგ დავუშვათ, რომ ორი სამკუთხედი კიდევ ორ ფორმას შეხვდება გვ. დარჩენილი ფორმები შეიძლება იყოს ექვსკუთხედები. დავუშვათ, რომ ყველა ვერტექსი 3,6,3,6 არის, ამრიგად, ყველა ექვსკუთხედს აქვს სამკუთხედის კბილები, გადაცემათა მსგავსად, ამ კბილებში უფრო მეტი ექვსკუთხედია. მთლიანი ნიმუშის გამოსახატად, დაიწყეთ RH– ით და გაიყვანეთ ფილები, შემდეგ გადაატრიალეთ თითოეული ექვსკუთხედი 30 ° საათის ისრის მიმართულებით, ასე რომ ხარვეზები გახდება სამკუთხედები.

თუ წვერი გადის 6,6,3,3-ზე, მიჰყევით ორ სამკუთხედს შორის საზღვარს და იპოვნეთ სხვა წვერი, რომელიც უნდა გადიოდეს 6,6,3,3-ს. გაჰყევით საზღვრებს ექვსკუთხედებს შორის და გადაეყარეთ კიდევ ორ სამკუთხედს, შემდეგ კიდევ ორ ექვსკუთხედს და ასე შემდეგ სამუდამოდ. ორმაგი სამკუთხედებისა და ორმაგი ექვსკუთხედების ამ მწკრივს ზემოთ და ქვემოთ აქვს ამოჭრილები, რომლებიც სამკუთხედებით უნდა იყოს შევსებული. ეს ქმნის 6,3,6,3 წვერს. შედეგი არის გლუვი მართკუთხა ზოლი, ორი ექვსკუთხა სიმაღლის. განათავსეთ ეს ზოლები ერთმანეთზე, რომ აშენდეს ოთხკუთხა ნიმუში ექვსკუთხედებისა და სამკუთხედების სვეტების მონაცვლეობით.

რა მოხდება, თუ ზოლი გადაადგილდება, შედარებით ქვემოთ მოცემული ზოლისა? ამრიგად, ექვსკუთხედები სამკუთხედების ზემოთ და სამკუთხედები არიან ექვსკუთხედების ზემოთ. ამით შემოდის 6,3,6,3 მწვერვალის კიდევ ერთი პაკეტი, სადაც ზოლები ხვდება. ასეთ წვერზე მდებარე თითოეულ სამკუთხედს სამივე მხარეს აქვს ექვსკუთხედები. ზოლის შიგნით არის სხვა 6,3,6,3 წვერო, ორმაგი სამკუთხედებით. ასე რომ, 6,3,6,3 წვერები ყველა ერთნაირი არ არის.

- რა არის ამაში ცუდი? შეიძლება იკითხოთ.

ეს უსაზღვროდ ბევრ დახრას იძლევა. თუ ზოლი ფაზის ფუძესთან არის, მიანიჭეთ მას ციფრი 0. თუ იგი ფაზიდან გადავიდა, მიანიჭეთ მას ციფრი 1. ახლა ზოლები, თვითმფრინავით ასვლისას, ასახავს ორობით მიმდევრობას. ნებისმიერი განმეორებითი თანმიმდევრობა სამართლიანი თამაშია. სცადეთ 01010101 & # 8230 ან 001001001001 & # 8230 ან 0001000100010001 & # 8230 და ა.შ. ა.შ. ასე რომ, უსასრულოდ მრავალი პერიოდული დახრაა n- გონების იგივე კოლექციით თითოეულ წვერზე. მე მირჩევნია დავაკვირდე რეგულარულ, ნახევარწრიულ და ოთხკუთხა დახრილობებს, მათგან მხოლოდ სასრული რიცხვია.

თუ ორი სამკუთხედი და ხუთკუთხედი ერთმანეთს შეხვდება, ეს ტოვებს 132 ° -ს და ასეთი ცხოველი არ არსებობს. თუ სამი სამკუთხედი შეხვდება, ისინი 180 ° დატოვებენ, ასევე შეუძლებელია. ოთხი ფორმის ბოლო კომბინაცია არის ორი სამკუთხედი კვადრატი და თორმეტკუთხედი. დაიწყეთ 12,3,4,3 ვერტიკით და იკითხეთ რა არის სამკუთხედის მესამე მხარეს. Dodecagon განათავსებს ორ dodecagons ერთ vertex, და მოედანზე განთავსდება ორი squares ერთ vertex. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს სამკუთხედი, კვადრატი მასსა და თორმეტკუთხედს შორის და dodecagon მასსა და კვადრატს შორის. სამწუხაროდ, იგივე ხდება მეორე მხარეს, ამიტომ მოედნის უკიდურესი კუთხე ხვდება ორ დოდექაგანს, რაც შეუძლებელია. ამიტომ ყველა წვერი გადის 12,3,3,4. Dodecagon იფარება ცვალებადი კვადრატებისა და სამმაგი სამკუთხედების რგოლში. ეს წერტილს ათავსებს სამ სამკუთხედს, რაც შეუძლებელია. ეს არის ოთხი ფორმის შეხვედრისთვის გვ.

როდესაც ხუთი ფორმა ხვდება p- ზე, ყველაზე მცირე კუთხე არის 72 °, და ეს უნდა იყოს სამკუთხედი. შემდეგი ორი ყველაზე პატარა ფორმა ასევე სამკუთხედებია და ბოლო ორი შეიძლება იყოს ორი კვადრატი ან სამკუთხედი და ექვსკუთხედი. დავიწყოთ ამ უკანასკნელით.

მოდით, 4 სამკუთხედს და ექვსკუთხედს შევხვდეთ წერტილში. იარეთ ექვსკუთხედის პერიმეტრზე და გაითვალისწინეთ, რომ იგი მთლიანად იფარება სამკუთხედებად. მოათავსეთ კიდევ ერთი ექვსკუთხედი ამ სამკუთხედების შორეულ მხარეს და ის ასევე გარშემორტყმულია სამკუთხედებით. გააკეთეთ ეს 6-ჯერ და ორიგინალ ექვსკუთხედს გარს აკრავს ექვსი სხვა ექვსკუთხედი, სამკუთხედებით მოქმედებს სახეხად. ეს არის სწორი ნახევარწრიული ნიმუში.

დაბოლოს, გაითვალისწინეთ ორი კვადრატი და სამი სამკუთხედი. უმარტივესი ნიმუში შედგება კვადრატებისა და სამკუთხედების მწკრივებისგან. სამკუთხედები, ზემოთ და მანიშნებელი, იწვევს ზემოთ მოედნების მწკრივის გადაადგილებას ნახევარი კვადრატით, შედარებით ქვემოთ მოყვანილი კვადრატების მწკრივთან.

თუ ზედიზედ მოთავსებულია სამი კვადრატი, ზემოთ მოათავსეთ ხუთი მონაცვლე სამკუთხედი და მათ ზემოთ კიდევ ორი ​​კვადრატი. საჭიროა მესამე კვადრატი, კვადრატების პირველი რიგის შესატყვისად, და ეს მოაქვს მეექვსე სამკუთხედს. მეოთხე კვადრატი აიძულებს კვადრატების უსასრულო რიგს, მოდით ვცადოთ ამის თავიდან აცილება. ჩვენ ვიმედოვნებთ, რომ ორი წვერი, სადაც სამი კვადრატი შეხვდება ზემოთ მოცემულ ხუთ სამკუთხედს, შეესაბამება ანარეკლს შუა კვადრატში. კვადრატების ზედა რიგის მესამე კვადრატი ტრიალებს გარშემო და ხდება მეოთხე კვადრატი, რაც აიძულებს უსასრულო რიგის კვადრატებს. ჩვენ უკვე შევისწავლეთ კვადრატებისა და სამკუთხედების რიგრიგობით რიგები, ასე რომ ჩავთვალოთ, რომ სამი კვადრატი არასოდეს დგება ზედიზედ.

თუ ორი კვადრატი მომიჯნავეა, მაგრამ არასდროს სამი, მოათავსეთ სამი სამკუთხედი ორმაგი კვადრატის ზემოთ, და კიდევ ერთი კვადრატი ზემოთ. დაე, ეს იყოს ორმაგი კვადრატი და ბუხარივით მიუთითოს სახლზე. ახლა ჰორიზონტალური ორმაგი კვადრატი უნდა გამოიყურებოდეს ბუხართან და სახლზე, რომლებიც გვერდზე დგას. ეს ნიშნავს, რომ მას აქვს 3 სამკუთხედი მარჯვნივ, და ვერტიკალური ორმაგი კვადრატი ამის მარჯვნივ. ამის ზემოთ განათავსეთ სამკუთხედები და ჰორიზონტალური ორმაგი კვადრატი და დახურეთ მარყუჟი კიდევ სამი სამკუთხედით. ეს ტოვებს კვადრატულ ხვრელს შიგნით. ეს ოთხკუთხა ფორმა სამუდამოდ მეორდება.

დაიწყეთ ორმაგი კვადრატით და სამი სამკუთხედით, როგორც ადრე, მაგრამ ბუხარი გვერდზე მიუთითეთ. ეს შემოაქვს მეოთხე სამკუთხედი. ზედა ორმაგ კვადრატს კიდევ სამი სამკუთხედი აქვს თავზე. მოდით p იყოს წერტილი, სადაც ქვედა ორმაგი კვადრატი ხვდება სამკუთხედებს, და q იყოს წერტილი, სადაც ზედა ორმაგი კვადრატი სამკუთხედებს ხვდება. როგორ შეგვიძლია p- ზე q q რუკაზე გამოსახვა? დავუშვათ, რომ სურათი აისახება ვერტიკალური ხაზის საშუალებით p- ზე, შემდეგ გადაინაცვლებს q- მდე. ეს ნიშნავს ორმაგი კვადრატების ქსოვილს შიგნით და გარეთ, მარჯვნივ და მარცხნივ, სვეტის ზემოთ და ქვემოთ გადაადგილებისას. ყველა ორმაგ კვადრატს ფარავს მარცხენა და მარჯვენა სამკუთხედები, ზედიზედ სამი კვადრატის თავიდან ასაცილებლად. ამ ტალღოვანი სვეტის მარჯვნივ შეავსეთ ყველა ნაკვეთი. ფოკუსირება მოახდინე ერთ-ერთ ორმაგ კვადრატზე, რომელიც მარჯვნივ არის გადაწეული. მას აქვს სამი სამკუთხედის თავსახური და კიდევ ორი ​​კვადრატი ამის მარჯვნივ. ეს ჰგავს სახლს და მის მხარეს მდებარე ბუხარს. ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს საქმე, ამიტომ p არ ასახავს q- ს ასახვით.

ამის ნაცვლად, რუკა არის მარტივი თარგმანი და ორმაგი კვადრატები სამუდამოდ ვრცელდება და მარჯვნივ. ამას ზიგზაგის ზოლი უწოდეთ. ჩვენ შეგვეძლო ამ ზოლის ასლის ჩასმა თავის გვერდით, ის იდეალურად მოერგებოდა, მაგრამ ეს ზედიზედ მოათავსებდა ოთხ კვადრატს. ამის ნაცვლად, აიღეთ ზოლის ასლი და აისახეთ იგი მთელ სიგრძეზე, შემდეგ განათავსეთ იგი ორიგინალი ზოლის მარჯვნივ. ეს ისევ და ისევ გააკეთეთ, კვაკუთხა ფორმის აგება.

დაუბრუნდით ზიგზაგის თავდაპირველ ზოლს და შეეცადეთ არ მოათავსოთ სხვა მის გვერდით. დაამატეთ სამკუთხედებისა და კვადრატების ფენა ამ ზოლის მარჯვნივ, შემდეგ კი დაამატეთ კიდევ ერთი ფენა ამის მარჯვნივ. ეს წარმოქმნის ოთხკუთხა ნიმუშს, რომელიც სამუდამოდ უნდა განმეორდეს. ზიგზაგის ზოლები ერთმანეთის პარალელურად მიმდინარეობს, მათ შორის ხარვეზები. უფსკრული საკმარისად ფართოა კვადრატებისა და სამკუთხედების ფენისთვის. 4,4,3,3,3 მწვერვალები ზიგზაგის ზოლების შიგნით არის, ხოლო 4,3,4,3,3 წვერები აერთებს ზოლებს შპრიცს შორის. ეს ზრუნავს სახლის თავზე მდებარე ორმაგ მოედანზე.

დაიწყეთ ორმაგი კვადრატით და სამი სამკუთხედით, როგორც ადრე, და განათავსეთ კიდევ ერთი კვადრატი თავზე. ეს არ არის ორმაგი კვადრატი, ამიტომ მას ოთხივე მხარეს აქვს სამკუთხედები. კიდევ ორი ​​კვადრატი ავსებს ნაკვეთი მარცხნივ და მარჯვნივ. ეს მოედნები ორმაგ კვადრატთანაა დაკავშირებული. იგივე ნიმუში ჩანს ორმაგი კვადრატის ქვემოთ და ის აიძულებს სამ სამკუთხედს ორმაგი კვადრატის მარჯვნივ. ეს ჰგავს სახლს და მის გვერდით მდებარე ბუხარს და ჩვენ უკვე გავუმკლავდით ამას.

დაიწყეთ ორმაგი კვადრატით და სამი სამკუთხედით, როგორც ადრე და განათავსეთ მეოთხე სამკუთხედი სამი სამკუთხედის ზემოთ, გააკეთეთ უფრო დიდი სამკუთხედი, რომელიც უნდა შემოიფარგლოთ 6 კვადრატში. თითოეულ კუთხეს კიდევ ორი ​​სამკუთხედი შემოაქვს. იგივე ნიმუში ჩანს ორმაგი კვადრატის ქვემოთ და ის აიძულებს სამ სამკუთხედს ორმაგი კვადრატის მარჯვნივ. ეს ჰგავს სახლს და მის გვერდით მდებარე ბუხარს და ჩვენ უკვე გავუმკლავდით ამას. ეს ზრუნავს ორმაგ კვადრატზე. შემდგომში, სკვერები არ არის მომიჯნავე.

დაიწყეთ RS– ით და ოდნავ გამოყოფთ კვადრატებს. ახლა მოატრიალეთ თითოეული კვადრატი საათის ისრის ან საწინააღმდეგოდ, მონაცვლეობით. ფოკუსირება მოახდინეთ ოთხ კვადრატზე, როდესაც ისინი ბრუნავენ. ისინი უერთდებიან კუთხეებს და ქმნიან ალმასის ფორმის ხვრელს. თუ ეს ალმასი ვერტიკალურია, ბრილიანტები ზემოთ, ქვემოთ, მარცხნივ და მარჯვნივ ჰორიზონტალურია. ჩვენ გვაქვს ალმასის ხვრელების ბადე, რომელიც ერთმანეთს ენაცვლება ვერტიკალურსა და ჰორიზონტალზე. შეავსეთ თითოეული ბრილიანტი ორი სამკუთხედით და იპოვნეთ ნახევარგრეული ნიმუში.

ზემოაღნიშნული გარდაუვალია? გახსოვდეთ, ჩვენ არ შეგვიძლია კვადრატების აწყობა. მოდით, ორი სამკუთხედი შექმნას ვერტიკალური ბრილიანტი, და მოვათავსოთ კვადრატული სამკუთხედის კვადრატი ორივე მხარეს. ამ დიამონის ზედა და ქვედა ნაწილს აქვს ორი კვადრატი და უნდა იყოს შევსებული ორი სამკუთხედით, ანუ ჰორიზონტალური ბრილიანტით. მათ წვერებზე აქვთ ვერტიკალური ბრილიანტები და ასე შემდეგ მთელ თვითმფრინავში. ნიმუში გარდაუვალია.

თუ თქვენ შეინარჩუნეთ ქულა, აქ არის 3 რეგულარული, 8 ნახევრადრეგულარული და 5 ოთხკუთხა დახრილი. ეს არის სულ 16 ნიმუში.


Tessellation: ფილების მათემატიკა

თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ იატაკები ჩვეულებრივ მოედნებზე ან ზოგჯერ ოთხკუთხედებად არის მოპირკეთებული. რა არის ამ ფორმებში განსაკუთრებული? რა მინუსებია სხვა ფორმების გამოყენებით?

კრამიტის დროს გასათვალისწინებელია ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ფილების ფორმა დაფარავს იატაკს ხარვეზების გარეშე და გადახურვის გარეშე. ალბათ, ეს პირობა მარტივად დაკმაყოფილდება, თუ გამოყენებულ ფილებს აქვთ იგივე ფორმა და იგივე ზომა.

თუ ჩვენ ვაპირებთ გამოვიყენოთ რეგულარული მრავალკუთხედები კრამიტის დაგდებისას, მაშინ გამოვიყენებთ კვადრატებს, ტოლგვერდა სამკუთხედებს ან ჩვეულებრივ ექვსკუთხედებს, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახაზზე 2. ეს მრავალკუთხედები დაფარავს იატაკს ხარვეზების და გადახურვის გარეშე და ამით მინიმუმამდე შემცირდება ჭრის საჭიროება.

სურათი 1 & # 8211 თაფლისფერი არის ექვსკუთხა კრამიტის მაგალითი. *

მათემატიკაში ტერმინი, რომელიც გამოიყენება თვითმფრინავის (ჩვენი კონტექსტში იატაკი) კრამიტისთვის, უფსკრული და გადახურვა არ არის დაშლა. რა თქმა უნდა, ჩვენ არ ვართ მხოლოდ ის, ვინც გააცნობიერა ფორმების უპირატესობები, რომლებსაც შეუძლია tessellate. ფუტკრები ქმნიან თაფლისფერებს ექვსკუთხა თესელაციაში, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახაზზე 1.

სურათი 2 - რეგულარული მრავალკუთხედების მაგალითები, რომლებსაც შეუძლიათ იატაკის კრამიტი ხარვეზებისა და გადახურვების გარეშე.

Შენიშვნა: თუ გაინტერესებთ როგორ შეიქმნა ეს ლამაზი დიაგრამები, მე შევქმენი სახელმძღვანელო ამის შესახებ აქ.

მე -3 ნახაზზე დაყრდნობით, ვხედავთ, რომ ყველა რეგულარული მრავალკუთხედი არ გამოხატავს თვისებას, რომელიც ნაჩვენებია მე -2 პოლიგონებით. აშკარაა, რომ ჩვეულებრივი მრავალკუთხედები, კერძოდ, ხუთკუთხედები, ჰეპტაგონები და რვაკუთხედები არ ასწორებენ სიბრტყეს.

სურათი 3 - პოლიგონების მაგალითები, რომლებსაც არ შეუძლიათ სიბრტყის დაშლა.

ზემოთ განხილულიდან გვსურს შემდეგი კითხვების დასმა:

  1. რა თვისებები აქვს პოლიგონებს, რომლებსაც შეუძლიათ თვითმფრინავის დაშლა?
  2. ტოლგვერდა სამკუთხედების, კვადრატებისა და რეგულარული ექვსკუთხედების გარდა, კიდევ რომელ მრავალკუთხედებს შეუძლია დაანგრიოს სიბრტყე?

უფრო ღრმა

დიაგრამა 4-ში გაითვალისწინეთ, რომ იმისათვის, რომ რეგულარული მრავალკუთხედი სიბრტყეზე გაჯანსაღდეს, საერთო კუთხის შიდა კუთხეების ჯამი უნდა იყოს 360 გრადუსი.

სურათი 4 - პოლიგონების შიდა კუთხეები, რომლებსაც შეუძლიათ თვითმფრინავის დაშლა, დაამატებენ 360 გრადუსს.

მეორეს მხრივ, სურათი 5-ში მოცემული სამი მრავალკუთხედი არ წარმოადგენს სიბრტყის დაშლას. ყველაზე მარცხენა ილუსტრაციაზე, ჩვეულებრივი პენტაგონის შიდა კუთხეების ზომაა 108 გრადუსი. თუ ჩვენ ვცდილობთ თვითმფრინავის კრამიტით მოპირკეთებას, ვხედავთ, რომ სამი კუთხის ზომა საერთო წერტილში 324 გრადუსს შეადგენს. ახლა ეს ტოვებს "ექსტერიერის კუთხეს" 36 გრადუსიანი კუთხისა, როგორც ნაჩვენებია. ამ სტატიის დანარჩენ ნაწილში ამ ტიპის კუთხეს (წითელი ტექსტის გაზომვებით აღინიშნება) მივმართავთ, როგორც ექსტერიერის კუთხეები.

როგორც წესი, მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას ვზრდით, ასევე ვაკვირდებით, რომ არ შეგვიძლია გავაკეთოთ სამი შინაგანი კუთხე საერთო წერტილში გადაფარვის გარეშე. ეს ნაჩვენებია ცენტრში და მარჯვენა ილუსტრაციაზე. 5. მხოლოდ ორ მრავალკუთხედს აქვს საერთო წერტილში მიმაგრებული ვერტიკების გადაფარვის გარეშე.

სურათი 5 - ზოგიერთი პოლიგონის მიერ წარმოებული ექსტერიერის კუთხეები.

პოლიგონის პოსტის კუთხის ჯამში განვიხილეთ, რომ მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი მხარეებით აღწერილია ფორმულით. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გვაქვს ერთობლივი კუთხეები, აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული კუთხე ზომავს. შედეგად, ზრდის მნიშვნელობის ზრდასთან ერთად იზრდება შინაგანი კუთხეების ზომაც. ფაქტობრივად, ღონისძიება გარე კუთხე მცირდება, როგორც მნიშვნელობა იზრდება.

სურათი 6 - ცხრილი, რომელიც აჩვენებს tessellating და non-tessellating პოლიგონების თვისებებს.

მე -6 ნახაზზე მოცემული ცხრილიდან გამომდინარე, ვხედავთ, რომ მრავალკუთხედები, რომელთა შიდა კუთხეების პროდუქტი და მომიჯნავე წვეროების რაოდენობაა 360 კედლიანი. შესაბამისად, მათი გარე კუთხეების ზომაა 0.

გარდა ამისა, დააკვირდით, რომ პოლიგონების გვერდების რაოდენობის ზრდასთან ერთად, მით უფრო ნაკლებია ვერტიკების რაოდენობა, რომლებიც შეგვიძლია დავაფიქსიროთ საერთო წერტილში, მრავალკუთხედების გადაფარვის გარეშე. ვინაიდან ექვსზე მეტი გვერდის ყველა ჩვეულებრივ მრავალკუთხედს აქვს შიდა კუთხის ზომა 120 გრადუსზე მეტი, მათი სამი შინაგანი კუთხის საერთო წერტილში განთავსება ორი მათგანის გადაფარვას გახდის. ეს იმიტომ ხდება, რომ მათი კუთხის ჯამი 360 გრადუსზე მეტი იქნებოდა (ამის გადამოწმება Tessellation GeoGebra აპლეტის გამოყენებით შეგვიძლია). ამრიგად, ექვს მხარეზე მეტი პოლიგონებისთვის, მხოლოდ ორი წვერი შეიძლება მოთავსდეს ერთმანეთთან გადახურვის გარეშე. ახლა, ამ პროცესის დასადგენად, ამ მრავალკუთხედების ორი მომიჯნავე შიდა კუთხე უნდა დაემატოს 360 გრადუსს, რაც ნიშნავს, რომ თითოეული მათგანი 180 გრადუსის ტოლი უნდა იყოს. რა თქმა უნდა, ასეთი მრავალკუთხედი არ არსებობს. ამრიგად, არანაირი საშუალება არ გვაქვს, რომ თვითმფრინავი რეგულარული მრავალკუთხედებით გამოვყოთ, რომელთა გვერდების რაოდენობა ექვსზე მეტია. ეს ადასტურებს, რომ ერთადერთი რეგულარული მრავალკუთხედები, რომელთა საშუალებითაც შეგვიძლია სიბრტყის მოსაშორებლად გამოვიყენოთ, არის სამი მრავალკუთხედი, რომლებიც ნაჩვენებია ნახაზზე 2.

არარეგულარული თათბირები

ჩვენ, რა თქმა უნდა, არ შევზღუდავთ ჩვენს შემოქმედებას იატაკის მოპირკეთებაში მხოლოდ ჩვეულებრივი მრავალკუთხედების გამოყენებით. მე -7 ნახაზზე ნაჩვენები მრავალკუთხედები არის რამდენიმე ფილები, რომლებიც არ არიან რეგულარული მრავალკუთხედები. სწორ ფიგურაში კრამიტით გამოვიყენეთ რვაკუთხედები და კვადრატები, რაც ითვლება ნახევრად რეგულარულ ჭურებად.

სურათი 7 - არაწესიერი მრავალკუთხედის დამონტაჟების მაგალითი.

მიღმა გასვლა

ყველა tessellation არ არის შექმნილი ევკლიდურ სიბრტყეში. ნახაზზე 8 მარცხენა მარცხენა ილუსტრაციაზე სფერო tessellated by cucated icosidodecahedron.

სურათი 8 & # 8211 ფილები სფერულ, ჰიპერბოლურ და ევკლიდურ თვითმფრინავში **.

ცენტრის ილუსტრაცია არის ჰიპერბოლური სიბრტყის tessellation- ის მაგალითი, რომელიც შექმნილია M.C. ეშერი და ყველაზე სწორი ილუსტრაცია არის ევკლიდური სიბრტყის დამონტაჟების კიდევ ერთი მაგალითი - lso by M.C. ეშერი.

ამ სტატიაში გამოყენებული ფოტოები:

** 1 სფერული შეკვეცილი Icosidodecahedron. ადაპტირებულია Wikimedia Commons ფაილიდან და # 8220 სურათი: Uniform_tiling_532-t012.png & # 8221


სიმეტრიები

მთარგმნელობითი სიმეტრია სიმეტრიის მხოლოდ ერთი სახეობაა. ასევე არსებობს ბრუნვითი და არეკლილი სიმეტრია.

გადაიტანეთ წითელი წერტილი ნახატის გასაკეთებლად! რომელ სურათს აქვს ბრუნვითი სიმეტრია და რომელს აქვს ასახვის სიმეტრია ლურჯი ან მწვანე?

გამოსახულებას აქვს ა ბრუნვითი სიმეტრია თუ შეგიძლიათ გამოსახულების გარკვეულ წერტილში გადატრიალება და იგივე სურათის მიღება.

გამოსახულებას აქვს ა არეკლილი სიმეტრია თუ შეგიძლიათ გამოსახულება ასახოთ ზოგიერთ სტრიქონში და მიიღოთ იგივე სურათი.


15.6: ნახევრად რეგულარული დახრა - მათემატიკა

, J. UCS 1:10 (1995). კულიკი და კარი აღწერს, თუ როგორ უნდა გაიზარდოს აპერიოდული კრებების ნაკრებების განზომილება, ფილების 13 კვადრატული ნაკრები გადაკეთდეს 21 კუბიან ნაკრებში.

. კარლ შერერი და ერიხ ფრიდმანი განზოგადებენ ქვეწარმავლის კონცეფციას (ფორმის კრამიტი უფრო მცირე ზომის ასლების მიერ) და ასლებს აქვთ განსხვავებული მასშტაბები. აგრეთვე კარლ შერერის ორნაწილიანი უსწორმასწორო თავსატეხი.

. პლასტმასის ერთად დაჭერით სამკუთხა, კვადრატული და ხუთკუთხა ფილები მრავალწახნაგოვანი და მრავალკუთხა გადახურვის მოდელების შესაქმნელად. მოყვება მათემატიკური მოდელის გალერეა, სადაც ნაჩვენებია Jovo– სგან კონსტრუქციული ფორმების მაგალითები.

, რაციონალური კუთხის ტოლგვერდა ექვსკუთხედს შეუძლია თვითმფრინავის ფილა სხვადასხვა საინტერესო ნიმუშებით. იხილეთ აგრეთვე Jorge Mireles– ის ლამაზი ობიექტივი, რომელიც ატრიალებს აპლიკაციას: მოატრიალეთ decagons და ვარსკვლავები, რომ ნაჭრები სწორად მოათავსოთ.

ინტერაქტიული შოკის ტალღების მუზეუმი გამოფენს გეომეტრიული ცნებების შესასწავლად, როგორიცაა სიმეტრია, კრამიტი და ფონითა ჯგუფები.

კვაზიკრისტალები და აპერიოდული ხვრელები, A. Zerhusen, U. Kentucky. მოიცავს ლამაზ აღწერილობას, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ 3D აპერიოდული ფილები ზომეტულის ნაჭრებისგან.

სამშენებლო ბლოკები და ვინდოუსის პროგრამული უზრუნველყოფა, რომელიც ემყარება 3D სივრცის მოპირკეთებას კონგრუტული ტეტრაედრის მიერ.

, სამკუთხა ორმაგი სპირალური ფორმა ფილებს ფილსა და სხვადასხვა ზედაპირზე. დაკავშირებული ქაღალდის დასაკეცი ექსპერიმენტების ფოტოებით.

ჯავა პროგრამა სიმეტრიული ისლამური სტილის ვარსკვლავის შაბლონების შესაქმნელად.

. თ. ე. დოროზინსკი გთავაზობთ 3D პოლიედრის, 2d და 3D tilings და მრუდი ზედაპირების ქვედანაყოფების სურათების გალერეას.

. Mario Szegedy აღწერს ალგორითმს იმის დასადგენად, მოახდენს თუ არა (გათიშული) პოლიომინო ფილას თვითმფრინავს თარგმნის საშუალებით, იმ შემთხვევაში, თუ პოლიომინოში კვადრატების რაოდენობა უმთავრესია ან ოთხი.

. მელბურნის ეს შენობა იყენებს დიზაინის მოტივს ხრახნიანი ფილების ფილებს. მადლობა ხალად კარიმს მისი იდენტიფიკაციისთვის. დიკ ჰესის ფოტოები, დასკანირებული ედ პეგ უმცროსის მიერ. იხილეთ Flickr– ის ფოტოკოპინი კიდევ მრავალი ფოტოსურათისთვის.

საფოსტო სია ევკლიდური და არაევკლიდური ხერხების განსახილველად.

გეომეტრია იუნკიარდიდან, გამოთვლითი და რეკრეაციული გეომეტრიის მაჩვენებლები.
გაგზავნეთ ელ.წერილი, თუ იცით შესაბამისი გვერდი, რომელიც აქ არ არის ჩამოთვლილი.
დევიდ ეფშტეინი, თეორიული ჯგუფი, ICS, UC Irvine.
ნახევრად ავტომატურად გაფილტრულია საერთო წყაროს ფაილიდან.


15.6: ნახევრად რეგულარული დახრა - მათემატიკა

Თვის სამკუთხედი, ინდივიდუალური კუთხეა 180/3 = 60გრადუსი
Თვის მოედანი, ინდივიდუალური კუთხეა 360/4=90 გრადუსი
Თვის რეგულარული პენტაგონი. 3*180/5 = 540/5 =108 გრადუსი

ახლა ა ექვსკუთხედი (6 მხარე) კუთხეების ჯამი 720 გრადუსია.
Ისე . თვის რეგულარული ექვსკუთხედი,



მრავალკუთხედის სახელი
ინტერიერის გრადუსი
თითოეული კუთხის ზომა
360 გრადუსი იყოფა
# სვეტში # 2
ტოლგვერდა სამკუთხედი 3
60 360 / 3 = 120
მოედანი 4
90 360/4= 90
რეგულარული პენტაგონი 5
3*180/5= 108
360/5= 72
რეგულარული ექვსკუთხედი 6
4*180/6=120
360/6= 60
რეგულარული ჰეპტაგონი 7
5*180/7
360/7
ჩვეულებრივი რვაკუთხედი 8
6*180/8=135
360/8 = 45
ჩვეულებრივი dodecagon
12
10*180/12=1800/12=150
360/12=30

  • ვინგეომეტრიის ჩამოტვირთვა! და ტესლელაციების დემონსტრირება.
  • ფილიალების დასახელება (მათემატიკის ფორუმი)
    • ციფრები წარმოადგენს მრავალკუთხედების გვერდების რაოდენობას.
    • თანმიმდევრობა მიუთითებს პოლიგონების მწვერვალზე განლაგებული თანმიმდევრობით.

    (180 - 360 / ნ) + (180 - 360 / კ) + (180 - 360 / პ) = 360

    მაგალითად, n = 3, k = 4 და p = 5 შეუძლებელია მას შემდეგ

      მაგალითები: თუ 2 სხვა მრავალკუთხედთან არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, მაშინ დანარჩენ ორ პლოიგონს უნდა ჰქონდეს იგივე რაოდენობის გვერდები. რადგან: სამკუთხედის გარშემო ორი განსხვავებული მრავალკუთხედი რომ ყოფილიყო, მაშინ ვერტექსზე სამივე პოლიგონი არ იქნებოდა გაყოფილი ამ წვერზე. (როგორიცაა 3-10-15)


    ნახევრად რეგულარული tessellation მზადდება ორი ან მეტი რეგულარული მრავალკუთხედისგან. ნიმუში თითოეულ წვერზე უნდა იყოს იგივე!

    არსებობს მხოლოდ 8 ნახევრად რეგულარული ჭერი:

    ტესელაციის დასახელების მიზნით, შემოიარეთ წვერი და დაწერე, თუ რამდენი გვერდი აქვს თითოეულ პოლიგონს, თანმიმდევრობით. მოსწონს & quot 3.12.12 & quot.

    კითხვა 1: ზემოთ მოცემული tessellates- ისთვის, ნიმუში იგივეა თითოეულ წვერზე?
    კითხვა 2: ერთ-ერთი ასეთი ნიმუში განსხვავდება, როდესაც ჩვენ მას სარკისებურად ვაკეთებთ. რომელი?


    წვდომის პარამეტრები

    შეიძინეთ ერთი სტატია

    მყისიერი წვდომა სრულ სტატიასთან PDF.

    გადასახადის გაანგარიშება დასრულდება გადახდაზე.

    გამოიწერეთ ჟურნალი

    დაუყოვნებლივი ონლაინ წვდომა ყველა გამოცემაზე 2019 წლიდან. გამოწერა ავტომატურად განახლდება ყოველწლიურად.

    გადასახადის გაანგარიშება დასრულდება გადახდაზე.


    ნახევრად რეგულარული სათბურები

    რეგულარული tessellates იდენტური რეგულარული მრავალკუთხედების გამოყენებით შეავსებს სიბრტყეს. მრავალკუთხედები უნდა ალაგდეს წვეროდან წვერზე, ზღვარზე ზღვარზე და არ დარჩეს ხარვეზები.

    შეგიძლიათ დაარწმუნოთ საკუთარი თავი, რომ არსებობს მხოლოდ სამი რეგულარული დამუშავება?

    • ისინი იქმნება ორი ან მეტი ტიპის რეგულარული მრავალკუთხედისგან, რომელთაგან თითოეულს აქვს იგივე გვერდის სიგრძე
    • თითოეულ წვერს აქვს მრავალკუთხედების იგივე ნიმუში გარშემო.

    შეისწავლეთ ნახევრად რეგულარული tessellates ქვემოთ მოცემული Tessellation Interactive– ის გამოყენებით.
    თუ აქამდე არასდროს გამოგიყენებიათ ინტერაქტიულობა, აქ მოცემულია რამდენიმე ინსტრუქცია და ვიდეო.


    სურათზე მოცემულია ტოლგვერდა სამკუთხედებისა და კვადრატების განლაგება. როგორც ჩანს, ადგილი აქვს სხვა სამკუთხედს, რომ შეავსოს ზედა ნაწილში არსებული ხარვეზი. მაგრამ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ რომ ჯდება?

    თუ სიბრტყეს ამ შაბლონით ვალაგებდით, კრამიტი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ <3, 4, 3, 3, 4> - ით, რადგან ყველა წერტილის გარშემო მიჰყვება შაბლონს "სამკუთხედი, კვადრატი, სამკუთხედი, სამკუთხედი, კვადრატი". როგორი იქნებოდა ნიმუში, თუ ამ წესრიგს შეცვლიდით?


    შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა ნახევრად რეგულარული ჭერი?

    შეგიძლიათ აჩვენოთ, რომ ყველა მათგანი იპოვნეთ?

    იმისათვის, რომ დაგეხმაროთ, როდესაც კომპიუტერიდან მოშორებით მუშაობთ, დააწკაპუნეთ ქვემოთ სხვადასხვა მრავალკუთხედის მრავალჯერადი ასლის სანახავად. შეგიძლიათ დაბეჭდოთ, გაჭრათ და გამოიყენოთ, რომ შეამოწმოთ რომელი მრავალკუთხედები ჯდება ერთად: 3 4 5 6 8 9 10 12


    რამდენიმე მაგალითი, რომელიც აჩვენებს, თუ როგორ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული ფორმულა, რომ დადგინდეს, რომელი ფიგურები იქნება tessellate.

    დაადგინეთ, რეგულარული პენტაგონი იშლება

    პენტაგონს აქვს 5 მხარე, ამიტომ n = 5.

    პენტაგონის შინაგანი კუთხე = [180 & # 215 (5-2)] / 5

    პენტაგონის შინაგანი კუთხე = [180 & # 215 3] / 5

    პენტაგონის შინაგანი კუთხე = 540/5

    პენტაგონის შინაგანი კუთხე = 108 გრადუსი

    108 + 108 + 108 = 324 და 108 + 108 + 108 + 108 = 432

    ამიტომ პენტაგონი არ დაიშლება, როგორც ხედავთ ქვემოთ:

    ხარვეზი ნაჩვენებია წითელი ისრით!

    დაადგინეთ, რეგულარული 16-გონიანი იქნება თუ არა tessellate

    16 გონს აქვს 16 მხარე, ამიტომ n = 16.

    16-გონის = [180 & # 215 (16-2)] / 16-ის შიდა კუთხე

    16-გონის = [180 & # 215 14] / 16-ის შიდა კუთხე

    16 გონის = 2520/16 ინტერიერის კუთხე

    16 გონის შინაგანი კუთხე = 157.5 გრადუსი

    157.5 არ არის 360 ფაქტორი, ამიტომ 16-გონიანი არ იქნება tessellate.

    Tessellation შეიძლება მოხდეს თარგმანებთან, როტაციებთან და ანარეკლებთან ერთად, ასევე შეიძლება მოხდეს არარეგულარული ფიგურებით.