სტატიები

ინტეგრალების მოკლე ცხრილი - მათემატიკა


( int u ^ { alpha} du = frac {u ^ { alpha +1}} { alpha +1} + c, quad alpha neq -1 )

( int frac {du} {u} = ln | u | + c )

( int cos u : du = sin u + c )

( int sin u : du = - cos u + c )

( int tan u : du = - ln | cos u | + c )

( int cot u : du = ln | sin u | + c )

( int sec ^ {2} u : du = tan u + c )

( int csc ^ {2} u : du = - cot u + c )

( int წწ u : du = ln | წმ u + თან ახლა | + გ )

( int cos ^ {2} u : du = frac {u} {2} + frac {1} {4} sin 2u + c )

( int sin ^ {2} u : du = frac {u} {2} - frac {1} {4} sin 2u + c )

( int frac {du} {1 + u ^ {2}} du = tan ^ {- 1} u + c )

( int frac {du} { sqrt {1-u ^ {2}}} du = sin ^ {- 1} u + c )

( int frac {1} {u ^ {2} -1} du = frac {1} {2} ln | frac {u-1} {u + 1} | + c )

( int cosh u : du = sinh u + c )

( int sinh u : du = cosh u + c )

( int u : dv = uv- int v : du )

( int u cos u : du = u sin u + cos u + c )

( int u sin u : du = -u cos u + sin u + c )

( int ue ^ {u} du = ue ^ {u} -e ^ {u} + c )

( int e ^ { lambda u} cos omega u : du = frac {e ^ { lambda u} ( lambda cos omega u + omega sin omega u)} { lambda ^ {2} + ომეგა ^ {2}} + გ )

( int e ^ { lambda u} sin omega u : du = frac {e ^ { lambda u} ( lambda sin omega u + omega cos omega u)} { lambda ^ {2} + ომეგა ^ {2}} + გ )

( int ln | u | : du = u ln | u | -u + c )

( int u ln | u | : du = frac {u ^ {2} ln | u |} {2} - frac {u ^ {2}} {4} + c )

( int cos omega _ {1} u cos omega _ {2} u : du = frac { sin ( ომეგა _ {1} + ომეგა _ {2}) u} {2 ( ომეგა _ {1} + ომეგა _ {2})} + ფრაკა { ცოდვა ( ომეგა _ {1} - ომეგა _ {2}) და} {2 ( ომეგა _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )

( int sin omega _ {1} u sin omega _ {2} u : du = - frac { sin ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} { 2 ( ომეგა _ {1} + ომეგა _ {2})} + ფრაკა { ცოდვა ( ომეგა _ {1} - ომეგა _ {2}) და} {2 ( ომეგა _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )

( int sin omega _ {1} u cos omega _ {2} u : du = - frac { cos ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} { 2 ( ომეგა _ {1} + ომეგა _ {2})} - frac { cos ( ომეგა _ {1} - ომეგა _ {2}) და} {2 ( ომეგა _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )


42. e უ ე ა u დ u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C

43. n უ ნ ე ა უ დ უ = 1 ა უ ნ ე ა უ - ნ ა ∫ უ ნ - 1 ე ა დ დ უ ∫ უ ნ ე ა უ დ უ = 1 ა უ ნ ე ა უ - ნ ა ∫ უ ნ - 1 ე ა უ დ უ

44. a e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sin b u - b cos b u) + C ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sin b u - b cos b u) + C

45. a e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C

46. ​​n ln u d u = u ln u - u + C ∫ ln u d u = u ln u - u + C

47. ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + გ

48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln შენ | + C ∫ 1 u ln u d u = ln | ln შენ | + C


სამეული ინტეგრალების განმარტება და თვისებები

რიმანის ჯამის ლიმიტის სახით შეგვიძლია შემოვიტანოთ ორმაგი ინტეგრალის მსგავსი სამმაგი ინტეგრალი. ჩვენ ვიწყებთ უმარტივესი შემთხვევიდან, როდესაც ინტეგრაციის რეგიონი (U ) არის მართკუთხა ველი ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ჯერ მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) ( ჯერ მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) (სურათი (1 )).

მოდით რიცხვების ნაკრები ( მარცხნივ <<,, წერტილები,> მარჯვნივ > ) იყოს ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) მცირე ინტერვალებით, რომ მოქმედი იყოს შემდეგი ურთიერთობები:

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ სეგმენტის დანაყოფები ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) (y ) - ღერძისა და სეგმენტის გასწვრივ ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) (z ) - ღერძის გასწვრივ:

რიმანის ფუნქციის ჯამი (f მარცხნივ) მარჯვნივ) ) ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ჯერ მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) ( ჯერ მარცხნივ [ უფლება] ) განისაზღვრება მიერ

აქ (< მარცხნივ (<,,> მარჯვნივ)> ) არის მართკუთხა ველში მოცემული წერტილი ( მარცხნივ (<)<>>,> მარჯვნივ) ) ( ჯერ მარცხნივ (<<>>,> მარჯვნივ) ) ( ჯერ მარცხნივ (<<>>,> მარჯვნივ), ) და განსხვავებები არის

ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი (f მარცხნივ ( მარჯვნივ) ) პარალელეპიპედში ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ჯერ მარცხენა [ მარჯვნივ] ჯერ მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) განისაზღვრება როგორც რიმანის ჯამის ლიმიტი, ისეთი, რომ განსხვავებების მაქსიმალური მნიშვნელობები ( დელტა , ) ( დელტა ) და ( დელტა ) ნულის მიახლოება:

სამმაგი ინტეგრალის განსაზღვრისათვის ზოგადი რეგიონისთვის (U, ) ვირჩევთ მართკუთხა ველს ( მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) ( ჯერ მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) ( ჯერ მარცხნივ [ მარჯვნივ] ) მოცემული რეგიონის შემცველი (U. ) შემდეგ შემოვიღებთ ფუნქციას (g მარცხნივ ( მარჯვნივ) ) ისეთი, რომ

შემდეგ ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი (f მარცხნივ ( მარჯვნივ) ) ზოგადი რეგიონისთვის (U ) განისაზღვრება, როგორც

სამმაგი ინტეგრალების თვისებები

მოდით (f მარცხნივ) მარჯვნივ) ) და (g მარცხნივ ( მარჯვნივ) ) იყოს ფუნქციები, რომლებიც ინტეგრირდება რეგიონში (U. ) შემდეგ მოქმედებს შემდეგი თვისებები:


ინტეგრალების მოკლე ცხრილი - მათემატიკა

შეგახსენებთ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალის განსაზღვრებას (ქვემოთ მოცემულია ისევ) ჯამი აქვს ჯამს.

იქნება ეს ამ ჯამით თამაშით თუ სხვა საშუალებით, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ გარკვეული ინტეგრალის რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება. თავის მხრივ, განვიხილავთ რამდენიმე მათგანს ქვემოთ.

დავუშვათ, როგორც წარსულში გვაქვს, რომ რიმანის თანხასთან დაკავშირებული დანაყოფი მოცემულია $ a = x_0 lt x_1 lt x_2 lt cdots lt x_n = b $ - ით.

ახლა გავიხსენოთ, რომ $ Delta_i = x_i - x_$, რომელიც იცვლება ნიშნით, როდესაც ინტეგრაციის საზღვრები გადადის $ displaystyle < int_a ^ b> $- დან $ displaystyle < int_b ^ a> $.

ეს შემოაქვს $ (- 1) $, როგორც ფაქტორი რიმანის თანხის თითოეულ ტერმინზე, რომელიც შემდეგ შეიძლება ამოიყვანოს ჯამიდან და შემდეგ ლიმიტიდან.

რა თქმა უნდა, თუ მოცემული ინტერვალია $ [a, a] $, რიმანის ჯამში ნებისმიერი $ Delta_i $ უნდა იყოს ნული - რაც თავის მხრივ თანხას და მის ზღვარს ნულსაც გახდის.

დავუშვათ, $ F $ ანტიდერივატორია $ f $ და $ G $ ანტიდერივატი $ $ $. მაშინ $ F pm G $ უნდა იყოს $ f pm g $ ანტიდერივატივი. Ეს ნიშნავს რომ

თუ $ f (x) ge 0 $ სადაც $ a le x le b $, მაშინ $ displaystyle < int_a ^ b f (x) , dx ge 0> $

$ F (x) ge 0 $ ცოდნა თითოეულ $ f (x_i ^ *) ge 0 $ გვეუბნება. გარდა ამისა, მას შემდეგ, რაც $ a le le $, ჩვენ ასევე ვიცით $ Delta_i ge 0 $. ამრიგად, ქვემოთა ჯამში მოცემული ყოველი ტერმინი, რომელიც განსაზღვრავს გარკვეულ ინტეგრალს, არის არაუარყოფითი, რის შედეგადაც ჯამი (და, შესაბამისად, ლიმიტის ღირებულება) არის არაუარყოფითი.

მოდით $ h = f - g $ და შემდეგ გაითვალისწინეთ, რომ $ h (x) ge 0 $ ყველა $ a le x le b $. წინა შედეგი შემდეგ გამოიყენება და გვეუბნება $ int_a ^ b სთ (x) , dx ge0 $. ეკვივალენტურად, $ int_a ^ b (f (x) -g (x)) , dx = int_a ^ b f (x) , dx - int_a ^ b g (x) ge 0 $.

$ int_a ^ b f (x) , dx ge int_a ^ b g (x) , dx $

ამის დამტკიცება შეგვიძლია მკაცრად, ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის $ a $, $ b $ და $ c $ და ინტეგრირებადი ფუნქცია $ f $, მაგრამ შემდეგი არგუმენტი შეიძლება უფრო ნათელ იყოს. დავუშვათ, რომ $ a lt b lt c $ და $ f (x) $ არ არის ნეგატიური, როგორც ამას ქვემოთ მოცემული სურათი გთავაზობთ.

ამ კონტექსტში გაითვალისწინეთ, რომ $ int_a ^ bf (x) , dx $ იძლევა მრუდის ქვეშ მდებარე ადგილს $ a $ - დან $ b $ (ნაჩვენებია ვარდისფერში), ხოლო $ int_b ^ cf (x) , dx $ იძლევა მრუდის ქვეშ მდებარე ტერიტორიას $ b $ - დან $ c $ (ნაჩვენებია ღია მწვანე). ცხადია, ამ ორის ჯამი არის $ a $ - დან $ c $ - ის ქვემოთ მოცემული $ int_a ^ c f (x) , dx $.


დაკავშირებული რესურსები

შემდეგი შინაარსი მოცემულია Creative Commons ლიცენზიით. თქვენი მხარდაჭერა დაეხმარება MIT OpenCourseWare- ს უფასოდ შესთავაზოს მაღალი ხარისხის საგანმანათლებლო რესურსები. შემოწირულების შესატანად ან MIT– ის ასობით კურსებიდან დამატებითი მასალების სანახავად ეწვიეთ MIT OpenCourseWare– ს, ocw.mit.edu.

პროფესორი: ასე რომ, ჩვენ აქ მესამე განყოფილებაში მივდივართ. ჩვენ ვიწყებთ მე –3 განყოფილებას. ეს არის ჩვენი ინტეგრაციის შესავალი. ეს დიფერენცირების შემდეგ ძირითადად ანგარიშის მეორე ნახევარია. დღეს, რაზეც მე ვისაუბრებ, არის ის, რაც ცნობილია, როგორც გარკვეული ინტეგრალები. სინამდვილეში, როგორც ჩანს, დაგვავიწყდა ზედმეტი შუქების რამოდენიმე ნაწილი? არსებობს ამის მიზეზი? ჰმმმ Მოდი ვნახოთ. აჰა Კარგი. კარგი, ახლა ცოტა უფრო კაშკაშაა. Კარგი. ასე რომ, გარკვეული ინტეგრალების იდეა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრავალი გზით. მაგრამ მე ვიცავ კურსის დანარჩენ პრეზენტაციას. ჩვენ დავიწყებთ გეომეტრიული თვალსაზრისით. გეომეტრიული თვალსაზრისით, პრობლემა, რომლის მოგვარებაც გვინდა, არის მრუდის ქვეშ მდებარე ადგილის მოძებნა. სხვა თვალსაზრისი, რომლის მიღებაც შეიძლება, და ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ამ ლექციის ბოლოს არის კუმულაციური ჯამის იდეა. გაითვალისწინეთ, რომ აქ ბევრი რამ ხდება. არსებობს მრავალი განსხვავებული ინტერპრეტაცია იმის შესახებ, თუ რა არის ინტეგრალი.

ახლა, მოდით დავხატოთ სურათი აქ. დავიწყებ a ადგილს და დავამთავრებ b ადგილს. და აქ მაქვს მრუდი. და რაც გამახსენდა, აქ ამ ადგილის პოვნაა. და, რა თქმა უნდა, ამის გაკეთება, მე უფრო მეტი ინფორმაცია მჭირდება, ვიდრე მხოლოდ სად დავიწყებთ და სად ვამთავრებთ. მე ასევე მჭირდება ქვედა და ზედა. კონვენციის მიხედვით, ქვედა არის x ღერძი და ზედა არის მრუდი, რომელიც ჩვენ დავაკონკრეტეთ, რომელიც არის y = f (x). ამისათვის ჩვენ გვაქვს ნოტაცია, რომელიც არის ნოტაცია, რომელიც იყენებს გამოთვლას ამისათვის, განსხვავებით ზოგიერთი გეომეტრიული აღნიშვნისგან. ეს არის შემდეგი გამოთქმა. მას ინტეგრალს უწოდებენ, მაგრამ ახლა მას აქვს ის, რაც ცნობილია როგორც შეზღუდვები. ის დაიწყება და დასრულდება ბ. და ვწერთ f (x) dx ფუნქციას. ეს არის ის, რაც ცნობილია, როგორც განსაზღვრული ინტეგრალი. და ის გეომეტრიულად განიმარტება, როგორც მრუდის ქვეშ მდებარე ტერიტორია. ერთადერთი განსხვავება სიმბოლოების ამ კოლექციასა და იმას, რაც ადრე გვქონდა განუსაზღვრელი ინტეგრალებით, არის ის, რომ მანამდე არ ვაკონკრეტებდით სად დაიწყო და სად დასრულდა.

ახლა, იმის გასაგებად, თუ რა უნდა გააკეთოს ამ ბიჭთან, მე უბრალოდ აბსტრაქტულად აღვწერ იმას, რასაც ჩვენ ვაკეთებთ. შემდეგ დეტალებში შეასრულეთ ერთი მაგალითი. ამ სფეროს გამოსათვლელად, ჩვენ თავდაპირველად მივყვებით სამ ნაბიჯს. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავყოფთ ოთხკუთხედებად. სამწუხაროდ, იმის გამო, რომ შეუძლებელია მრუდე რეგიონის ოთხკუთხედებად დაყოფა, ჩვენ ვაპირებთ მოტყუებას. ასე რომ, ისინი მხოლოდ ციტირების ჩამოტვირთვის მართკუთხედებია. ისინი თითქმის ოთხკუთხედები არიან. და მეორე, რასაც ჩვენ ვაპირებთ, არის ტერიტორიების დამატება. და მესამე, რისი გაკეთებასაც ვაპირებთ, არის ამ პრობლემის გამოსწორება, რომ პასუხი ცხვირზე რეალურად არ მიგვიღია. რომ რაღაც ნაწილები გვაკლდა ან ზედმეტ ბიტებს ვარჩევდით. სწორად გასწორების მეთოდი არის ლიმიტის აღებისას. უსასრულოდ გამხდარი, ძალიან გამხდარი.

ხატოვნად, ისევ ასე გამოიყურება. ჩვენ გვყავს a და ჩვენი b, და ჩვენ გვყავს ჩვენი ბიჭი აქ, ეს არის ჩვენი მრუდი. და მე ვაპირებ დაჭრას. პირველ რიგში, მე ვაპირებ x ღერძის წვრილ ნაკადებს. და შემდეგ მე ვაპირებ მოვაყრე აქ ყველაფერი. მე გადავწყვიტე მართკუთხედი, ალბათ კიბეების ნიმუში. Ამგვარად. ახლა, ასე არ მაინტერესებს. ზოგიერთ შემთხვევაში მართკუთხედები გადაფარავს ზოგიერთ შემთხვევაში მათ ქვეშ. ახალი ტერიტორია, რომელსაც მე ვამატებ, გამორთულია. ეს არ არის ზუსტად იგივე, რაც მრუდის ქვეშ მდებარე ფართობი. აქ ეს რეგიონია. ეს აქ მოიცავს ამ დამატებით ბიტებს. შემდეგ კი აქ ეს პატარა ბიჭი დაკარგა. ეს ცოტა იქ არის დაკარგული. და, როგორც მე ვამბობ, ეს პატარა ნაჭრები აქ არის, ეს ცოტათი აქ ზედმეტია. ამიტომ, ჩვენ ნამდვილად არ ვყოფთ რეგიონს ოთხკუთხედებად. ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ ოთხკუთხედებს. შემდეგ იდეა იმაში მდგომარეობს, რომ რაც უფრო და უფრო წვრილდება, მცირედი წვნიანი თანხები, რომლებიც გვაკლდება, მიდის 0. და ისინი უმნიშვნელო იქნება. უკვე ხედავთ, რომ ეს ერთგვარი თხელი ნაკვეთია, ამიტომ ბევრი არაფერი გვაკლდება. და რაც ეს უფრო და უფრო ათხელდება, პრობლემა ქრება და ცხვირზე პასუხს მივიღებთ.

აი, ჩვენი პირველი მაგალითი. ავიღებ პირველ საინტერესო მრუდეს, რომელიც არის f (x) = x ^ 2. მე არ მსურს უფრო რთული რამის გაკეთება, ვიდრე ერთი მაგალითი, რადგან ეს არის ნამდვილი შრომა აქ, რის გავლასაც ვაპირებთ. საკუთარი თავის გასაადვილებლად, მე დავიწყებ = 0-დან. მაგრამ იმისათვის, რომ დაინახო რა არის ეს ნიმუში, ვუშვებ b იყოს თვითნებური.

მოდით დავხატოთ გრაფიკი და დავიწყოთ ნივთების დაშლა. აქ არის პარაბოლა, და აქ არის ის ნაჭერი, რომელიც ჩვენ გვინდა, რომელიც შეჩერდება ამ ადგილას, b, აქ. და პირველი ნაბიჯი არის დაყოფა n ნაწილად. ეს ნიშნავს, რომ კარგად, გრაფიკულად, მე მხოლოდ პირველ სამს აღვნიშნავ. და იქნებ ბევრი მათგანი იქნება. შემდეგ დავხატავ მართკუთხედებს და მე ავირჩევ მართკუთხედების გაკეთებას მარჯვენა მხრიდან. ანუ, აქ კიბის ამ ნიმუშს გავაკეთებ, ასე. ეს ჩემი არჩევანია. მე ვირჩევ იმას, თუ რა დონის არჩევა მინდა და მე ვაპირებ ავირჩიო სწორი ბოლოები, როგორც კიბის ფორმა. ასე რომ, მე ვცდები თითოეულ მართკუთხედს.

ახლა მე უნდა ჩამოვწერო ფორმულები, თუ რა არის ეს სფეროები. ახლა მართკუთხედებს აქვს ერთი დიდი უპირატესობა. და ეს არის საწყისი ადგილი. რაც ადვილია მათი ტერიტორიების პოვნაში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ არის ფუძე და სიმაღლე, თქვენ გამრავლდებით და მიიღებთ ფართობს. ეს არის მიზეზი, რის გამოც შეგვიძლია დავიწყოთ მართკუთხედები. ამ შემთხვევაში, ამ დისტანციებზე, მე ჩავთვლი, რომ ისინი ყველა თანაბარია, თანაბრად დაშორებული ინტერვალებით. და მე ყოველთვის ვაკეთებ ამას. ასე რომ, ინტერვალი, ფუძეები, ფუძის სიგრძე ყოველთვის არის b / n. ყველა თანაბარი ინტერვალი. ეს არის ფუძის სიგრძე. შემდეგ, მე მჭირდება სიმაღლეები. იმისათვის, რომ სიმაღლეზე თვალი ადევნოს, ვაპირებ აქ დავხატო პატარა ცხრილი x და f (x) და დავამატო რამდენიმე მნიშვნელობა, რომ ვნახო რა ნიმუშია. პირველი ადგილი აქ 0 – ის შემდეგ არის b / n. აქ არის b / n, ეს არის x მნიშვნელობა. და f (x) მნიშვნელობა არის იქ სიმაღლე. ეს უბრალოდ, მე ვაფასებ f (x), f (x) არის x ^ 2. ეს არის (b / n) ^ 2. ანალოგიურად, შემდეგი არის 2b / n. აქ მნიშვნელობა არის (2b / n) ^ 2. ეს არის ის. ეს სიმაღლე აქ არის 2b / n. ეს არის მეორე მართკუთხედი. და კიდევ ჩამოვწერ. 3b / n, ეს მესამეა. ხოლო სიმაღლე არის (3b / n) ^ 2. Და ასე შემდეგ.

ჩემი შემდეგი სამუშაოა ამ სფეროების დამატება. მე ეს უკვე მოვამზადე იმის გარკვევით, თუ რა არის ფუძე და სიმაღლე. ასე რომ, ამ მართკუთხედების მთლიანი ფართობი, ან ფართობების ჯამი, - ვთქვათ, პირველი არის (b / n) (b / n) ^ 2. მეორე არის 2b / n - ბოდიში, არის (b / n) (2b / n) ^ 2. და ეს მხოლოდ გრძელდება. და ბოლოს არის (b / n) (nb / n) ^ 2. ასე რომ, ძალიან მნიშვნელოვანია იმის გარკვევა, თუ რა არის ზოგადი ფორმულა. აქ ჩვენ გვაქვს ბაზა. აქ ჩვენ გვაქვს სიმაღლე და აქ გვაქვს იგივე სახის ბაზა, მაგრამ გვაქვს ახალი სიმაღლე. Და ასე შემდეგ. და მაგალითად, კოეფიციენტი აქ არის 1, შემდეგ 2, შემდეგ 3, ბოლომდე n. მართკუთხედები სულ უფრო და უფრო იზრდება და ეს, ბოლო ყველაზე დიდია.

კარგი, ეს ძალიან რთული გაჯეტია. და პირველი, რისი გაკეთებაც მსურს არის გამარტივება და შემდეგ რეალურად ვაპირებ მის შეფასებას. სინამდვილეში მე არ ვაპირებ ამის ზუსტად შეფასებას. მე უბრალოდ ვაპირებ ლიმიტის შეფასებას. გამოდის, რომ ლიმიტები ყოველთვის უფრო ადვილია. აქ საქმე ეხება გამოთვლას, რომ ეს მართკუთხედები რთულია. მაგრამ შემზღუდველი მნიშვნელობა არის მარტივი მნიშვნელობა. ასე რომ, რისკენაც მივდივართ არის მარტივი ფორმულა, განსხვავებული რთული. კარგი, ასე რომ, პირველი, რისი გაკეთებაც მე მსურს, არის ფაქტორი ყველა ამ b / n ფაქტორისა. აქ არის b / n, და აქ არის (b / n) ^ 2, ასე რომ, ყველა თქვა, რომ ჩვენ გვაქვს (b / n) ^ 3. როგორც საერთო ფაქტორი. შემდეგ პირველი ტერმინი არის 1, ხოლო მეორე ტერმინი, რაც დარჩა, არის 2 ^ 2. 2 ^ 2 შემდეგ მესამე ტერმინი იქნება 3 ^ 2, თუმცა მე ეს არ დავწერე. ბოლო ტერმინში არის n ^ 2 დამატებითი ფაქტორი. მრიცხველში. კარგი, ყველანი ჩემთან არიან აქ?

ახლა, რისი გაკეთებაც მსურს არის საბოლოოდ ლიმიტის აღება, რადგან n აქ უსასრულობამდე მიდის. და ძნელად გასაგები რაოდენობა არის ეს მასიური რაოდენობა აქ. და არის ერთი ცვლილება, რომლის შეტანაც მსურს, მაგრამ ეს ძალიან მოკრძალებულია. უკიდურესად წვრილმანი. ეს არის ის, რომ მე დავწერ 1-ს, იმის გასაგებად, რომ აქ არის ზოგადი ნიმუში. 1-ის დაწერაზე, როგორც 1 ^ 2-ზე. მოდით ჩავდოთ აქ 3, რატომ არა. ახლა კი ხრიკი მინდა გამოვიყენო. ეს ხრიკი სრულად არ არის რეკომენდებული, მაგრამ ამაზე ბევრად მეტს ვიტყვი, როდესაც ბოლომდე გავივლით. მინდა გავიგო რამდენად დიდია ეს რაოდენობა. გეომეტრიული ხრიკის გამოყენებას ვაპირებ ამ რაოდენობის სურათის დასახატად. კერძოდ, მე ვაპირებ პირამიდის აშენებას. პირამიდის საფუძველი იქნება n ბლოკად. ასე რომ წარმოიდგინეთ, რომ ეგვიპტეში ვართ და პირამიდას ვაშენებთ. შემდეგი ფენა იქნება n-1 და n-1. ეს შემდეგი ფენა არის n-1 by n-1. ასე რომ, ბოლოში არსებული ბლოკების საერთო რაოდენობა n კვადრატშია. ეს არის ეს ყველაზე სწორი ტერმინი აქ. მაგრამ შემდეგი ტერმინი, რომელიც მე არ დავწერე, მაგრამ, ალბათ, უნდა დამეწერა, შემდეგი-ბოლო ტერმინი იყო ეს. ეს არის მეორე ფენა, რომელიც მე დავდე.

თუ ეს გსურთ, ეს არის ზედა ხედი. მაგრამ, შესაძლოა, ჩვენ გვერდითი ხედვის გათვალისწინებითაც უნდა ვიფიქროთ. აქ არის იგივე სურათი, ჩვენ ვიწყებთ n– დან და ამ ფენას ვაშენებთ აქ. ახლა ჩვენ ვაყენებთ მის ზედა ფენას, რომელიც ცოტათი მოკლეა. ასე რომ, პირველი ფენა სიგრძის n არის. ხოლო მეორე ფენა არის n-1 სიგრძის, შემდეგ კი ამის თავზე გვაქვს რაღაც სიგრძე n-2 და ა.შ. და ჩვენ ვაპირებთ მათ დაგროვებას. ასე რომ, ჩვენ მათ ვაწყობთ. მთელი გზა ზევით, რომელიც მხოლოდ ერთი გიგანტური ქვაა. ეს არის ეს ბოლო, 1 ^ 2. ასე რომ, ჩვენ ჯამში უკან მივდივართ. ასე რომ, მე უნდა ავაშენო ეს ყველაფერი. მე კიბეებზე ამ კიბეზე მივდივარ ამ ბლოკისკენ, იქამდე.

აქ მოცემულია ხრიკი, რომლის საშუალებით შეგიძლიათ შეაფასოთ ამის ზომა და ის საკმარისია ლიმიტში, რადგან n მიდის უსასრულობას. ხრიკი ის არის, რომ მე წარმომიდგენია მყარი რამ კიბის ქვეშ, ასე. ეს არის ჩვეულებრივი პირამიდა და არა კიბის პირამიდა. რომელიც შიგნით არის. ეს კი შიგნით არის. ასე რომ, მაგრამ ეს ჩვეულებრივი პირამიდია, კიბის პირამიდისგან განსხვავებით. ასე რომ, ჩვენ ვიცით ამის მოცულობის ფორმულა. იმიტომ, რომ ჩვენ ვიცით გირჩების მოცულობის ფორმულა. და ამ ბიჭის მოცულობის ფორმულა, შინაგანი, არის 1/3 ფუნდამენტი სიმაღლეზე. ამ შემთხვევაში, აქ არის ბაზა - ასე რომ ეს არის 1/3, და ბაზა არის n მიერ n, არა? ფუძე არის n ^ 2. ეს არის ბაზა. და სიმაღლე, ის მიდის ზედა წერტილამდე. ასე რომ, სიმაღლე არის n. და რაც აქ აღმოვაჩინეთ არის ის, რომ მთელი ეს ჯამი უფრო დიდია, ვიდრე 1/3 n ^ 3.

ახლა მე ვამტკიცებდი, რომ - ამ ხაზს, სხვათა შორის, აქვს დახრილი 2. ასე რომ, ყოველ ჯერზე 1/2-ზე გადადიხარ 1. და ამიტომ მიდიხარ მწვერვალზე. მეორეს მხრივ, შემიძლია გარედან ხაფანგიც გავუსვა აქ პარალელურ ხაზს. და ეს დაეცემა 1/2 მეტი ამ მხარეს და 1/2 მეტი მეორე მხარეს. ასე რომ, ფუძე იქნება ამ უფრო დიდი პირამიდის n + 1 by n + 1. და ის 1-ით მაღლა აიწევს. მეორე ბოლოს, მივიღებთ, რომ ეს ნაკლებია 1/3 (n + 1) ^ 3. კიდევ ერთხელ, (n + 1) ^ 2 ჯერ n + 1, კიდევ ერთხელ, ეს არის ფუძე სამჯერ მეტი სიმაღლეზე. ამ უფრო დიდი პირამიდის. დიახ, კითხვა.

სტუდენტი: [INAUDIBLE] და შემდეგ მისი ტოლფასი ტოლობა.

პროფესორი: კითხვა ის არის, თითქოს მე ვამატო უბნები და გავთანაბრები მას მოცულობასთან. სინამდვილეში, მე ვქმნი ტოტებს ამ პატიოსანი ნამატების გაკეთებით. ეს არის ფუძე n, მაგრამ სიმაღლე არის 1. გმადლობთ, რომ აღნიშნეთ. თითოეულ ამ პატარა კიბეს აქვს ზუსტად სიმაღლე 1. ასე რომ, მე გულწრფელად ვუჭერ ბლოკებს იქ. ისინი ერთგვარი კვადრატული ბლოკებია და მე მათ ვუდგები. და მე ვფიქრობ n მიერ n კუბურები, თუ გნებავთ. გულახდილი კუბურები, იქ. ხოლო სიმაღლე არის 1. ხოლო ფუძე არის n ^ 2.

კარგი, ამიტომ ვამტკიცებ, რომ მე ამ ბიჭს აქ ორი რაოდენობით ვარ ხაფანგში. ახლა კი მზად ვარ ლიმიტი ავიღო. თუ გადავხედავთ რა არის ჩვენი მიზანი, გვსურს ასეთი გამოთქმა გვქონდეს. და მე ვაპირებ - ეს იყო მასიური გამოთქმა, რომელიც ჩვენ გვქონდა. სინამდვილეში, მე მას სხვანაირად დავწერ. დავწერ, როგორც b ^ 3 ჯერ 1 ^ 2 პლუს 2 ^ 2 პლუს. პლუს n ^ 2, დაყოფილი n ^ 3. მე ვაპირებ გავაერთიანო ყველა n ერთად. კარგი, ასე რომ, სწორი საქმეა გაყო ის, რაც იქ მქონდა. იყოფა n ^ 3-ზე იქ არსებული უტოლობების ნაკრებში. და რაც მე აქ მივიღე არის 1/3 ნაკლებია ვიდრე 1 პლუს 2 ^ 2 პლუს 3 ^ 2 პლუს. პლუს n ^ 2 გაყოფილი n ^ 3-ზე ნაკლებია 1/3 (n + 1) ^ 3 / n ^ 3. ეს არის 1/3 + (1 + 1 / ნ) ^ 3.

ახლა კი, მე ვამბობ, რომ ჩვენ დასრულდა. რადგან ეს არის 1/3, და ლიმიტი, როგორც n მიდის უსასრულობაში, ამ რაოდენობის აქ, ადვილად ჩანს, ეს არის, რადგან n მიდის უსასრულობაში, ეს მიდის 0. ასე რომ, ეს ასევე მიდის 1/3 . ასე რომ, ჩვენი ჯამი აქ, ასე რომ x ^ 2 – ის ქვეშ ჩვენი მთლიანი ფართობი, რომელსაც ზოგჯერ შეიძლება დავწეროთ ინტეგრალი 0 – დან bx ^ 2 dx– მდე, ტოლი იქნება - კარგია, ეს მე მაქვს 1/3 . მაგრამ შემდეგ იქ ასევე იყო b ^ 3. აქ არის ეს დამატებითი ბ კუბურები. ეს არის 1/3 b ^ 3. ეს არის შედეგი მთელი ამ გამოთვლიდან. დიახ, კითხვა.

პროფესორი: ასე რომ, ეს ძალიან კარგი კითხვა იყო. კითხვა ის არის, რატომ დავტოვეთ b / n ^ 3, ამ ნაბიჯისთვის. და პასუხის ნაწილი არის ბოროტება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიცით, რისკენ მივდივართ. ჩვენ ვიცით, გვესმის, ეს რაოდენობა. ეს ყველაფერი ერთია. ეს არის თანხა, რომელიც სულ უფრო და უფრო იზრდება. ეს არ არის ის, რასაც დახურულ ფორმას უწოდებენ. რაც ცნობილი არ არის ან კარგად არ არის გასაგები, რამდენად დიდია ეს რაოდენობა აქ. 1 ^ 2 + 2 ^ 2, კვადრატების ჯამი. ვინაიდან, ეს არის ის, რისი გაგებაც საკმაოდ ადვილია. ჩვენ ამას ფაქტორულად ვადგენთ. ჩვენ ყურადღებით ვაანალიზებთ იმ ნაჭერს, რომელიც ჯერ არ ვიცით, რამდენად დიდია ის. და ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ის ძალიან ჰგავს n ^ 3-ს. მაგრამ ეს უფრო ჰგავს 1/3 n ^ 3-ს. ეს თითქმის იდენტურია 1/3 n ^ 3. ეს დამატებითი ნაჭერი აქ. ასეც ხდება. და შემდეგ ჩვენ ემთხვევა მას. რადგან ეს რამ ძალიან ჰგავს 1/3 n ^ 3-ს, ჩვენ ვაუქმებთ n ^ 3-ს და გვაქვს ჩვენი შედეგი.

ნება მომეცით აღვნიშნო, რომ მართალია ეს უცნაურად გამოიყურება, სინამდვილეში ამას აკეთებთ ყოველთვის, თუ ამ სახის ჯამს აანალიზებთ. თქვენ ყოველთვის გაითვალისწინებთ იმას, რაც შეგიძლიათ. შემდეგ თქვენ ჯერ კიდევ წინაშე დგახართ მსგავსი თანხა. ასე რომ, ეს მოხდება სისტემატურად, ყოველთვის, როდესაც ასეთი თანხის წინაშე დადგებით.

კარგი, ახლა კიდევ მინდა ვთქვა ერთი სიტყვა ნოტაციის შესახებ. ეს არის ის, რომ ეს ნიშანი აქ უკიდურეს უსიამოვნოა. და ეს მართლაც ერთგვარი ძალიან დიდია, რომ ჩვენთან გამკლავება შეძლოთ. ასე რომ, მათემატიკოსებს აქვთ სტენოგრამი ამისთვის. სამწუხაროდ, როდესაც რეალურად გააკეთებ გამოთვლას, მაინც დასრულდება ამ პერსონალის კოლექცია. მაგრამ მინდა უბრალოდ აჩვენოთ ეს შემაჯამებელი ნიშანი, რათა ცოტათი შეკუმშოს იგი.

შემაჯამებელი აღნიშვნის იდეა შემდეგია. ეს რამ არის ტენდენცია - იდეები შემდეგია. თავდაპირველად ამის მაგალითს წარმოგიდგენთ. ასე რომ, ზოგადი აღნიშვნა არის a_i, i = 1 დან n თანხა, არის a_1 პლუს a_2 პლუს dot dot point plus a_n. ეს არის აბრევიატურა. ეს არის კაპიტალის სიგმა. ასე რომ, ეს სიდიდე აქ არის 1 / n ^ 3-ჯერ ჯამი i ^ 2, i = 1 დან n. ეს არის ის, რასაც უდრის ეს ნივთი. და ის, რაც ჩვენ ახლახანს ვაჩვენეთ, არის ის, რომ 1/3-ისკენ მიდის, რადგან n უსასრულობას მიდის. ასე რომ, ამ გზით გამოიყენება ჯამური აღნიშვნა. არსებობს თითოეული ამ კოეფიციენტის ფორმულა, თითოეული ამ ჩანაწერისთვის აქ, ან summands. შემდეგ ეს მხოლოდ აბრევიატურაა იმისა, თუ რა არის თანხა. და ეს არის მიზეზი, რის გამოც მე ჩავერთე ამ 1 ^ 2-ში დასაწყისში, ასე რომ თქვენ ხედავდით, რომ ნიმუში მუშაობდა i = 1. ქვემოთ. ეს არ არის გამონაკლისი ამ წესისა. ეს იგივეა, რაც ყველა დანარჩენი.

ახლა, აქ, ამ ფორუმში, ჩვენც გვქონდა ამ უკიდურესად გრძელი თანხები. და ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად. და იმედი მაქვს, ეთანხმებით, რომ ამის სკანირება საკმაოდ რთულია. ამის წერის ერთ – ერთი გზაა, ეს არის i = 1 – დან n– ის ჯამი - ახლა მე უნდა ჩამოვწერო ზოგადი ტერმინის ფორმულა. რომელია b / n (ib / n) ^ 2. ეს არის ამ მასიური ფორმულის შემოკლების გზა, რომელიც ბევრად უფრო მოკლეა. ახლა კი, მასთან მანიპულირება, რომელიც ამ (b / n) ^ 3 – ის ფაქტორიზებაა, არის ის, რისი გაკეთებაც მე შესანიშნავად მაქვს აქ. ეს არის განაწილების კანონი. ეს, თუ b ^ 3 / n ^ 3 ფაქტორს გამოვყოფ, მე დამიტოვე i ^ 2 – ის ჯამი, i = 1 დან n, არა? ასე რომ, ეს აღნიშვნები მას ცოტათი უფრო კომპაქტურს ხდის. რასთან გვაქვს საქმე. კონცეპტუალური ფენომენი კვლავ იგივეა. და არეულობა მართლაც მხოლოდ ხალიჩის ქვეშ იმალება. მაგრამ აღნიშვნა არის - ყოველ შემთხვევაში, სულ მცირე სიმბოლოებს შეესაბამება.

მოდით გავაგრძელოთ აქ. მე ერთი გაანგარიშება მოგიტანე. ახლა კი მინდა ჩავრთო ის ნიმუში. აქ არის ის, რისი გამოთვლაც მინდა. უპირველეს ყოვლისა, მოდით, მოვისმინოთ საქმე - S კიდევ ვაპირებ კიდევ ორ მაგალითს. კიდევ ორ მაგალითს გავაკეთებ, მაგრამ ისინი ბევრად უფრო ადვილი იქნება. შემდეგ ყველაფერი გაცილებით გამარტივდება. მეორე მაგალითი იქნება f (x) = x ფუნქცია. თუ ამას დავხატავ, ეს არის ეს ფუნქცია აქ, ეს არის სტრიქონიანი სტრიქონი. და აი b. ასე რომ, ეს ფართობი აქ იგივეა, რაც სამკუთხედის ფართობი b ფუძით და b სიმაღლით. ფართობი ტოლია 1/2 b * b, ასე რომ, ეს არის ფუძე. ეს არის სიმაღლე. ჩვენ ასევე ვიცით, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედების ფართობი. ასე რომ, ფორმულა არის 1/2 b ^ 2.

და მესამე მაგალითი - გაითვალისწინეთ, სხვათა შორის, მე არ მომიწია ამის დახვეწილი შეჯამება გამეკეთებინა ამის გასაკეთებლად, რადგან ჩვენ შემთხვევით ვიცნობდით ამ სფეროს. მესამე მაგალითი კიდევ უფრო ადვილი იქნება. f (x) = 1. ყველაზე მნიშვნელოვანი მაგალითი. საგულისხმოა, რომ როდესაც თქვენ მიხვალთ 18.02-ზე, მრავალმხრივი გამოთვლა, ამ გამოთვლას დაივიწყებთ. რატომღაც. და არ ვიცი რატომ, მაგრამ ეს ყველას ემართება. ფუნქცია უბრალოდ ჰორიზონტალურია, მოსწონს ეს. არა? ეს მუდმივია 1. და თუ ამას შევაჩერებთ b- ზე, მაშინ ჩვენთვის საინტერესო ფართობი არის ეს, 0-დან b- მდე. ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის სიმაღლე 1, ამიტომ ეს არის ფართობი არის ბაზა, რომელიც არის b, ჯერ 1. ასე რომ, ეს არის b.

მოდით გადავხედოთ ნიმუშს. ჩვენ გადავხედავთ ფუნქციის ნიმუშს, და ეს არის მრუდის ქვეშ მდებარე ტერიტორია, რაც არის ეს - ამ დახვეწილი ფორმულა აქვს ამ თვალსაზრისით - ასე რომ, ეს მხოლოდ მრუდის ქვეშ მდებარე ტერიტორიაა. 0-სა და ბ-ს შორის. ჩვენ გვაქვს x ^ 2, რომელიც აღმოჩნდა b ^ 3 / 3. და ჩვენ გვაქვს x, რომელიც აღმოჩნდა - კარგად, ნება მომეცით დავწერო ისინი კიდევ ცოტათი, რომ დაუთმოს ადგილი. x, რომელიც აღმოჩნდება b ^ 2 / 2. შემდეგ ჩვენ გვაქვს 1, რომელიც აღმოჩნდა b. ეს, მე ვამბობ, დამაფიქრებელია. თუ შეგიძლიათ გაერკვიოთ ნიმუში, მისი ოდნავ გარკვევის ერთ-ერთი გზაა იმის დანახვა, რომ x არის x ^ 1. და 1 არის x ^ 0. ეს არის საქმე, 0, 1 და 2. და b არის b ^ 1 / 1. ასე რომ, თუ გსურთ გამოიცნოთ რა ხდება, როდესაც f (x) არის x ^ 3, თუ ეს 0ა, თქვენ გააკეთებთ b ^ 1 / 1 თუ ეს არის 1, შენ აკეთებ b ^ 2/2 თუ ეს არის 2, შენ აკეთებ b ^ 3 / 3. ასე რომ, გონივრულია გამოიცნო, რომ ეს უნდა იყოს b ^ 4 / 4. ეს გონივრული გამოცნობაა, მე ვიტყოდი.

ახლა უცნაურია ის, რომ ისტორიაში არქიმედემ მიაგნო პარაბოლას ქვეშ არსებულ ტერიტორიას. ეს დიდი ხნის წინ იყო. ეს პირამიდების შემდეგ იყო. მან გამოიყენა ბევრად უფრო რთული მეთოდი, ვიდრე მე ახლა აღვწერე აქ. და მისი მეთოდი, რომელიც უბრალოდ ფანტასტიკურად საოცარია, იმდენად ბრწყინვალე იყო, რომ მათემატიკას 2000 წლისთვის უკან დაეხია. იმიტომ, რომ ხალხი ასე იყო - ეს იმდენად რთული იყო, რომ ხალხი ვერ ხედავდა ამ ნიმუშს. და ვერ ვხედავ, რომ სინამდვილეში, ამ სახის გამოთვლები მარტივია. ასე რომ, კუბურამდე ვერ მიაღწიეს. და მაშინაც კი, როდესაც ისინი მიაღწიეს კუბურს, ისინი იბრძოდნენ ყველაფერ დანარჩენთან. მანამ სანამ ყველაფერმა დააარსა ყველაფერი, ხალხმა შეძლო სერიოზული პროგრესის მიღწევა ამ დარგების გამოთვლაში. მიუხედავად იმისა, რომ ის ექსპერტი იყო უბნების და მოცულობების გამოთვლაში, თავისი დროისთვის. ასე რომ, ეს მართლაც შესანიშნავია, რომ ახლა ჩვენ შეგვიძლია ამის მარტივი მეთოდები გვქონდეს. და მთავარი, რაც მინდა გითხრათ, არის ის, რომ ჩვენ არ მოგვიწევს შრომა პირამიდების ასაშენებლად, ამ ყველა რაოდენობის გამოსათვლელად. ჩვენ გვექნება ამის უფრო სწრაფი გზა. ეს არის ნელი, შრომატევადი გზა. და ჩვენ ამას შევძლებთ ისე მარტივად, რომ ეს მოხდება ისე სწრაფად, როგორც თქვენ განასხვავებთ. ეს ხვალ დგება. მაგრამ მინდა იცოდეთ, რომ ეს მოხდება - ამასთან, ჩვენ მცირე ტკივილს გადავიტანთ, სანამ ამას გავაკეთებთ. მე აქვე გეტყვით კიდევ ერთ ნოტაციას.

ასე რომ თქვენ უნდა გქონდეთ მცირედი პრაქტიკა იმის გასაგებად, თუ რა დანაზოგის გაკეთებას ვაპირებთ. აღარასდროს მოგიწევთ მსგავსი დახვეწილი გეომეტრიული არგუმენტების წინაშე. ნება მომეცით დავამატო ცოტათი ნოტაცია გარკვეული ინტეგრალებისთვის. ეს მიდის რიმანის თანხების სახელწოდებით. მათემატიკოსის სახელი მიენიჭა 1800-იანი წლებიდან. ეს არის გარკვეული ინტეგრალების ზოგადი პროცედურა. ჩვენ მას ნაწილებად ვყოფთ. როგორ გავაკეთოთ ეს? ისე, აი აქ არის ჩვენი და აქ არის ჩვენი ბ. და ის, რასაც ჩვენ ვაპირებთ, არის პატარა ნაჭრებად დაყოფა. და ჩვენ ვაპირებთ მივცეთ სახელი ნამატს. ჩვენ ვაპირებთ, რომ დელტას x ვუწოდოთ.

ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ მათ. რამდენი ცალია? თუ არსებობს n ცალი, მაშინ ზოგადი ფორმულა ყოველთვის დელტა x არის 1 / ნ ჯერ მთლიანი სიგრძით. ასე რომ, ეს უნდა იყოს (b-a) / n. ჩვენ ყოველთვის გამოვიყენებთ ამ თანაბარ ნამატებს, თუმცა ამის გაკეთება აბსოლუტურად არ არის საჭირო. ჩვენ რიმანის თანხებისთვის ვიღებთ. ახლა კი მხოლოდ ერთი ბიჭია მოქნილობა, რომელსაც საკუთარ თავს მივცემთ. რომელია ეს. ჩვენ ვაპირებთ ავირჩიოთ f- ის ნებისმიერი სიმაღლე - ინტერვალში, თითოეულ ინტერვალში. ნება მიბოძეთ გაჩვენოთ აქ მოცემულ სურათზე. არის, მე უბრალოდ ვირჩევ რაიმე მნიშვნელობას შუალედში, მე მას c_i დავარქმევ, რომელიც იქ არის. შემდეგ კი აქ ავდივარ. და მე მაქვს დონე, რომელიც არის f (c_i). ეს არის მართკუთხედი, რომელსაც ვირჩევ. იმ შემთხვევაში, თუ ჩვენ გავაკეთეთ, ყოველთვის ვირჩევდით მარჯვენა ხელს, რომელიც აღმოჩნდა ყველაზე დიდი. მაგრამ მე შემეძლო ამა თუ იმ დონის არჩევა. ან თუნდაც მარცხენა ბოლოს. რაც იმას ნიშნავდა, რომ კიბე საკმაოდ ცოტა დაბლა იქნებოდა. ასე რომ, ნებისმიერი ეს კიბე შესანიშნავად იმუშავებს. ეს ნიშნავს, რომ ვკრეფდით f (c_i) და ეს არის სიმაღლე. ახლა ჩვენ უბრალოდ ვამატებთ მათ ყველას. ეს არის მართკუთხედების ფართობების ჯამი, რადგან ეს არის სიმაღლე. ეს არის საფუძველი.

სავარაუდოდ, ეს აღნიშვნა ძალიან დამაფიქრებელი იქნება იმ ნოტაციის შესახებ, რომელიც ლაიბნიცმა გამოიყენა. რაც ლიმიტში ხდება, ეს ხდება a (b) f (x) dx– ის ინტეგრალი. და შეამჩნიეთ, რომ დელტა x იცვლება dx– ით. ასე ხდება ლიმიტში. მართკუთხედების წვრილდებასთან ერთად. ეს ნიშნავს, რომ delta x მიდის 0. და ამ გაჯეტებს რიმანის ჯამებს უწოდებენ. ამას რიმანის ჯამს უწოდებენ. ჩვენ უკვე შევიმუშავეთ მაგალითი. ეს ძალიან რთული ბიჭი იყო რიმანის თანხის მაგალითი. ეს არის ნოტაცია. და ჩვენ მოგცემთ საშუალებას, ცოტათი კიდევ შეეჩვიოთ მას, როდესაც ბოლოს რიცხვით საქმეს გავაკეთებთ.

დღესდღეობით ბოლო რამ არის, რომ მე გპირდებით მაგალითს, რომელიც არ იყო რეგიონის მაგალითი. მსურს მეჩვენოთ, რომ ინტეგრალები შეიძლება განიმარტოს, როგორც კუმულაციური თანხები. ინტეგრალები, როგორც კუმულაციური თანხები. ეს მხოლოდ მაგალითია. ასე რომ, ეს არის გზა, სადაც ის მიდის. ჩვენ განვიხილავთ f ფუნქციას, განვიხილავთ t ცვლადს, რაც დროა. წლების განმავლობაში. ჩვენ განვიხილავთ f (t) ფუნქციას, რომელიც წელიწადში დოლარებშია. მართალია, ეს ფინანსური მაგალითია აქ. ეს არის ერთეული აქ, დოლარი წელიწადში. ეს იქნება სესხის პროცენტი. ახლა, მიზეზი, რის გამოც მე მსურს აქ ერთეულების განთავსება, არის იმის ჩვენება, რომ ამ უცნაური dx- ს საფუძველი აქვს, რომელსაც ჩვენ ვუერთდებით ამ ინტეგრალებს. ეს ნოტაცია. ის საშუალებას გვაძლევს შეცვალოთ ცვლადები, საშუალებას გვაძლევს ეს შეესაბამებოდეს ერთეულებს. და საშუალებას გვაძლევს შევიმუშაოთ მნიშვნელოვანი ფორმულები, რომლებიც თანმიმდევრულია მასშტაბით. ამრიგად, მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო მასში შემავალი ერთეულები, როდესაც აქ დავდგე ეს მოდელირების პრობლემა.

ახლა, თქვენ ფულს სესხავთ, ვთქვათ, ყოველდღე. ეს ნიშნავს delta t = 1/365. ეს თითქმის 1 / უსასრულობაა, სხვადასხვა დანიშნულების თვალსაზრისით. ამდენს სესხულობთ. ყოველ ჯერზე ზრდაში იღებთ სესხს. მოდით ვთქვათ, რომ თქვენ სესხობთ - თქვენი კურსი იცვლება წლის განმავლობაში. ვგულისხმობ იმას, რომ ზოგჯერ მეტი ფული გჭირდება, ზოგჯერ ნაკლები. რა თქმა უნდა, ნებისმიერი ბიზნესი ასე იქნებოდა. ასე რომ, აქ ხართ, თქვენ გაქვთ თქვენი ფული. თქვენ სესხდებით, მაგრამ კურსი იცვლება. და რა თანხა გაქვს სესხი? 45-ე დღეს, რომელიც შეესაბამება t არის 45/365, თქვენ ისესხეთ შემდეგი თანხა. ეს იყო თქვენი სესხის პროცენტი ამ რაოდენობასთან გამრავლებული. ასე რომ, დოლარი წელიწადში. ასე რომ, თუ ეს მოგწონთ, მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო მასშტაბირება, რომელიც აქ მოდის. თქვენ გაქვთ დოლარი წელიწადში. და ეს არის ამ წლების რაოდენობა. ეს გამოდის დოლარში. ეს საბოლოო თანხა. ეს არის ის თანხა, რომელსაც თქვენ რეალურად ისესხებთ. ასე რომ, ამ თანხას თქვენ ისესხებთ. ახლა კი, თუ მინდა დავამატო, რამდენს მიიღებთ, თქვენ ისესხეთ მთელი წლის განმავლობაში. ეს არის ეს თანხა. i = 1 to 365 of f of, well, it's (i / 365) delta t. Which I'll just leave as delta t here. This is total amount borrowed.

This is kind of a messy sum. In fact, your bank probably will keep track of it and they know how to do that. But when we're modeling things with strategies, you know, trading strategies, of course, you're really some kind of financial engineer and you want to cleverly optimize how much you borrow. And how much you spend, and how much you invest. This is going to be very, very similar to the integral from 0 to 1 of f(t) dt. At the scale of 1/35, it's probably-- 365, it's probably enough for many purposes. Now, however, there's another thing that you would want to model. Which is equally important. This is how much you borrowed, but there's also how much you owe the back at the end of the year. And the amount that you owe the bank at the end of the year, I'm going to do it in a fancy way. It's, the interest, we'll say, is compounded continuously. So the interest rate, if you start out with P as your principal, then after time t you owe-- So borrow P, after time t, you owe P e^(rt), where r is your interest rate. Say .05 per year.

That would be an example of an interest rate. And so, if you want to understand how much money you actually owe at the end of the year. At the end of the year what you owe is, well, you borrowed these amounts here. But now you owe more at the end of the year. You owe e^r times the amount of time left in the year. So the amount of time left in the year is 1 - i / 365. Or 365 - i days left. So this is 1 - i / 365. And this is what you have to add up, to see how much you owe. And that is essentially the integral from 0 to 1. The delta t comes out. And you have here e^(r(1-t)), so the t is replacing this i / 365, f(t) dt. And so when you start computing and thinking about what's the right strategy, you're faced with integrals of this type. So that's just an example. And see you next time. Remember to think about questions that you'll ask next time.


Math2.org Math Tables: Special Functions

Ei(x) = e -t /t dt (exponential integral) or it's variant, NONEQUIVALENT form:

(error function)

Psi(n,x) = n th derivative of Psi(x)

(laguerre polynomial degree n. (n) meaning n th derivative)

Dirichlet's beta function


Theorems with hyperlinks have proofs, related theorems, discussions, and/or other info.


A Brief Table of Integrals - Mathematics

There are several types of integrals which go under the name of a ``Dirichlet integral.'' The integral

where the kernel is the Dirichlet Kernel, gives the th partial sum of the Fourier Series.

Another integral is denoted

There are two types of Dirichlet integrals which are denoted using the letters , , , and . The type 1 Dirichlet integrals are denoted , , and , and the type 2 Dirichlet integrals are denoted , , and .

The type 1 integrals are given by

where is the Gamma Function. In the case ,

where the integration is over the Triangle bounded by the -axis, -axis, and line and is the Beta Function.

The type 2 integrals are given for -D vectors and , and ,

and are the cell probabilities. For equal probabilities, . The Dirichlet integral can be expanded as a Multinomial Series as

Sobel, M. Uppuluri, R. R. and Frankowski, K. Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 4: Dirichlet Distribution--Type 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1977.

Sobel, M. Uppuluri, R. R. and Frankowski, K. Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 9: Dirichlet Integrals of Type 2 and Their Applications. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1985.


2. Types of Integrals

The table presents a selection of integrals found in the Calculus books. It is a compilation of the most commonly used integrals. Ეს შეიცავს:

  1. Table of Basic Forms
  2. Table of Rational Integrals
  3. Table of Integrals with Roots
  4. Table of Integrals with Logarithms
  5. Table of Exponential Integrals
  6. Table of Trigonometric Integrals
  7. Table of Products of Trigonometric and Monomial Functions
  8. Table of Products of Trigonometric and Exponential Functions
  9. Table of Integrals of Reverse Trigonometric Functions

The first member of each equation contains the function to be integrated, the second member contains the expanded integral.

The entries in the table are generally ordered according to the integrand form. As in any dictionary, this arrangement makes it easier to locate them. But the ordering also matches surprisingly well with a grouping of different methods, since a special technique of integration is naturally associated with each category. Several reduction formulas are also included.


Გადმოწერე ახლავე!

ჩვენ გაგიმარტივეთ PDF Ebook- ების მოძებნა ყოველგვარი თხრილის გარეშე. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Table Of Integrals Integral Table . To get started finding Table Of Integrals Integral Table , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
ჩვენი ბიბლიოთეკა ყველაზე დიდია მათ შორის, რომლებიც ფაქტიურად ასობით ათასი სხვადასხვა პროდუქტია წარმოდგენილი.

Finally I get this ebook, thanks for all these Table Of Integrals Integral Table I can get now!

არ მეგონა, რომ ეს გამოდგებოდა, ჩემმა საუკეთესო მეგობარმა მაჩვენა ეს ვებსაიტი და ასეც ხდება! მე მივიღე ჩემი ყველაზე სასურველი ელექტრონული წიგნი

wtf ეს შესანიშნავი წიგნი უფასოდ ?!

ჩემი მეგობრები იმდენად შეშლილები არიან, რომ მათ არ იციან, როგორ მაქვს მე მაღალი ხარისხის წიგნი, რომელიც მათ არ აქვთ!

ძალიან მარტივია ხარისხიანი წიგნების მიღება)

ამდენი ყალბი საიტი. ეს არის პირველი, ვინც იმუშავა! Დიდი მადლობა

wtffff მე არ მესმის ეს!

უბრალოდ აირჩიეთ თქვენი დაწკაპუნება, შემდეგ ჩამოტვირთვის ღილაკი და შეავსეთ შეთავაზება, რომ დაიწყოთ ebook- ის ჩამოტვირთვა. თუ გამოკითხვა ჩატარდა, მას მხოლოდ 5 წუთი სჭირდება, სცადეთ ნებისმიერი გამოკითხვა, რომელიც თქვენთვის გამოსადეგია.


OpenType Layout tags used with the MATH Table

The following OpenType Layout tags can be used by a math-layout engine to access a particular set of glyph variants. For detailed descriptions of the feature tags, see the Feature Tags section of the OpenType Layout Tag Registry..

OpenType Layout tags for math processing

This feature provides glyph variants adjusted to be more suitable for use in subscripts and superscripts.

These script style forms should not be scaled or moved in the font scaling and moving them is done by the math-layout engine. Instead, the 'ssty' feature should provide glyph forms that result in shapes that look good as superscripts and subscripts when scaled and positioned by the math engine. When designing the script forms, the font developer may assume that the scriptPercentScaleDown and scriptScriptPercentScaleDown values in the MathConstants table will be scaling factors applied to the size of the alternate glyphs by the math engine.

This feature can have a parameter indicating the script level: 1 for simple subscripts and superscripts, 2 for second level subscripts and superscripts (that is, scripts on scripts), and so on. (Currently, only the first two alternates are used).

For glyphs that are not covered by this feature, the original glyph is used in subscripts and superscripts.

This feature provides flattened forms of accents to be used over high-rise bases such as capitals.

This feature should only change the shape of the accent and should not move it in the vertical or horizontal direction. Moving of the accents is done by the math-layout engine.

Accents are flattened by the math engine if their base is higher than the flattenedAccentBaseHeight value in the MathConstants table.

This feature provides dotless forms for Math Alphanumeric characters, such as U+1D422 MATHEMATICAL BOLD SMALL I, U+1D423 MATHEMATICAL BOLD SMALL J, U+1D456 U+MATHEMATICAL ITALIC SMALL I, U+1D457 MATHEMATICAL ITALIC SMALL J, and so on.

The dotless forms are to be used as base forms for placing mathematical accents over them.


Უყურე ვიდეოს: დამუშავებული მაგალითები: განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნა ალგებრული თვისებების გამოყენებით (დეკემბერი 2021).