სტატიები

9.2: სინგულარული ქულები - მათემატიკა


როგორც ყოველთვის, არის ჩხვლეტა. ინტერესის ყველაზე მეტი განტოლება ისეთი ფორმისაა, სადაც არის (p ) და / ან (q ) სინგულარული წერტილში (t_0 ) (ჩვეულებრივ (t_0 = 0 )). ნებისმიერ წერტილს (t_0 ) სადაც (p (t) ) და (q (t) ) სინგულარულია ეწოდება a სინგულარული წერტილი. ყველაზე მეტად საინტერესოა ცალკეული წერტილების სპეციალური კლასი, რომელსაც ეწოდება რეგულარული სინგულარული წერტილები, სადაც შეიძლება დიფერენციალური განტოლების მიცემა, როგორც

[(t-t_0) ^ 2 y '' (t) + (t-t_0) alpha (t) y '(t) + beta (t) y (t) = 0, ]

( alpha ) და ( beta ) ანალიტიკური საშუალებით (t = t_0 ). მოდით ვივარაუდოთ, რომ ეს წერტილი არის (t_0 = 0 ). ფრობენიუსის მეთოდი შედგება შემდეგი ტექნიკისგან: განტოლებაში

[x ^ 2 y "(x) + x alpha (x) y" (x) + beta (x) y (x) = 0, ]

ჩვენ ვიღებთ ფორმის განზოგადებულ სერიულ გადაწყვეტას

[y (x) = x ^ გამა sum_ {n = 0} ^ ცუდი c_n x ^ k. ]

(X ) ძალების გათანაბრება ვხვდებით [ გამა ( გამა-1) c_0 x ^ გამა + alpha_0 გამა c_0 x ^ გამა + beta_0c_0 x ^ გამა = 0, ] და ა.შ. განტოლება (x ) ყველაზე დაბალი სიმძლავრისთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც

[ გამა ( გამა-1) + alpha_0 გამა + beta_0 = 0. label {მითითებული} ]

განტოლებას ref {მითითებული} ეწოდება მითითებითი განტოლება. ეს არის კვადრატული განტოლება ( გამა) -ში, რომელსაც, ჩვეულებრივ, აქვს ორი (რთული) ფესვი. ნება მიბოძეთ დარეკოთ ამ ( gamma_1 ), ( gamma_2 ). თუ ( gamma_1- gamma_2 ) მთელი რიცხვი არ არის, შეიძლება დამტკიცდეს, რომ (y ) - ის ორი სერიის ამოხსნა ( გამა ) ამ ორი მნიშვნელობით არის დამოუკიდებელი ამოხსნები.

მოდით გადავხედოთ მაგალითს [t ^ 2 y '' (t) + frac {3} {2} t y '(t) + ty = 0. ] აქ ( alpha (t) = 3 / 2 ), ( beta (t) = t ), ასე რომ (t = 0 ) მართლაც არის რეგულარული სინგულარული წერტილი. მითითებითი განტოლებაა

[ გამა ( გამა-1) + ფრაკ {3} {2} გამა = გამა ^ 2 + გამა / 2 = 0. ]

რომელსაც აქვს ფესვები ( gamma_1 = 0 ), ( gamma_2 = -1 / 2 ), რომელიც იძლევა ორ დამოუკიდებელ გადაწყვეტილებას

[ დაიწყოს {align} y_1 (t) & = sum_ {k} c_kt ^ k, nonumber y_2 (t) & = t ^ {- 1/2} sum_ {k} d_kt ^ k. არა რიცხვი end {align} ]

დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებები

დამოუკიდებელი ამოხსნები მართლაც ძალიან ჰგავს დამოუკიდებელ ვექტორებს: ორი ან მეტი ფუნქცია დამოუკიდებელია, თუ არცერთი მათგანი არ შეიძლება დაიწეროს სხვათა კომბინაციით. ამრიგად (x ) და (1 ) დამოუკიდებელია და (1 + x ) და (2 + x ) დამოკიდებულია.


9.2: სინგულარული ქულები - მათემატიკა

სინგულარული წერტილები. იზოლირებული, მოსახსნელი, არსებითი სინგულარობა. პოლონელები.

არსებობს სხვადასხვა სახის სინგულარული წერტილები: & # 160

იზოლირებული და არაიზოლირებული სინგულარული წერტილები. სინგულარული წერტილი ზ0 ეწოდება f (z) ანალიტიკური ფუნქციის იზოლირებულ წერტილს, თუ არსებობს z- ის წაშლილი და # 949-სფერული უბანი0 რომელიც არ შეიცავს სინგულარობას. თუ ასეთი სამეზობლო ვერ მოიძებნა, ზ0 ეწოდება არაიზოლირებულ სინგულარულ წერტილს. ამრიგად, იზოლირებული სინგულარული წერტილი არის სინგულარული წერტილი, რომელიც მთლიანად თავისთავად დგას, რეგულარულ წერტილებში ჩასმული. იხილეთ ნახ. 1 ა, სადაც ზ1, ზ2 და ზ3 იზოლირებული სინგულარული წერტილებია. სინგულარული წერტილების უმეტესობა იზოლირებული სინგულარული წერტილებია. არაიზოლირებული სინგულარული წერტილი არის სინგულარული წერტილი, რომლის ყველა წაშლილი & # 949-სფერული უბანი შეიცავს სინგულარულ წერტილებს. იხილეთ სურათი 1 ბ, სადაც ზ0 არის სინგულარული წერტილების სიმრავლე. იზოლირებულ სინგულარულ წერტილებს განეკუთვნება ბოძები, მოსახსნელი სინგულარობები, არსებითი სინგულარობები და ტოტების წერტილები.

იზოლირებული სინგულარული წერტილების ტიპები

1. პოლუსი. იზოლირებული სინგულარული წერტილი z0 ისეთი, რომ f (z) წარმოდგენილ იქნას გამონათქვამი, რომელიც ფორმისაა

სადაც n არის დადებითი მთელი რიცხვი, f (z) არის ანალიტიკური z- ზე0და f (z0) & # 8800 0. მთელი რიცხვი n ეწოდება ბოძზე. თუ n = 1, z0 უბრალო ბოძს უწოდებენ.

აქვს 3-ის რიგის ბოძი z = 2 და მარტივი ბოძები z = -3 და z = 2-ზე.

ნახ .2-ში ნაჩვენებია f (z) = 1 / (z-a) ფუნქციის მოდულის ზედაპირი, რომელიც განისაზღვრება რეგიონში R. ერთი ხედავს & # 8220 პოლუსს & # 8221, რომელიც წარმოიქმნება რთული სიბრტყის a წერტილის ზემოთ. ამრიგად, ტერმინის მიზეზი & # 8220 პოლუსი & # 8221. მოდულის ზედაპირი მიიღება Z ღერძის z სიბრტყეზე დამაგრებით და Z = | f (z) | [ე.ი. f (z)] - ის მოდულის შედგენა.

2. მოსახსნელი სინგულარული წერტილი. იზოლირებული სინგულარული წერტილი z0 ისეთი, რომ f განისაზღვროს ან განისაზღვროს z- ზე0 ისე, რომ z იყოს ანალიტიკური0. სინგულარული წერტილი ზ0 მოსახსნელია, თუ არსებობს.

მაგალითი. სინგულარული წერტილი z = 0 არის f (z) = (sin z) / z მოსახსნელი სინგულარობა

3. არსებითი სინგულარული წერტილი. სინგულარული წერტილი, რომელიც არ არის პოლუსი ან მოსახსნელი სინგულარობა, არსებით სინგულარულ წერტილს უწოდებენ.

მაგალითი. f (z) = e 1 / (z-3) არსებითი სინგულარობა აქვს z = 3.

სინგულარული წერტილები უსასრულობაში. F (z) სინგულარობის ტიპი z = & # 8734 -ზე იგივეა, რაც f (1 / w) at w = 0. - ზე შემდეგ მაგალითს გაეცანით.

მაგალითი. F (z) = z 2 ფუნქციას აქვს 2-ის რიგის ბოძი z = & # 8734, რადგან f (1 / w) - ს აქვს 2 ბრძანების ბოძი w = 0.


  1. რა არის თითოეული კუთხის ზომა ტოლგვერდა სამკუთხედში? Საიდან იცი?
  2. რამდენი სამკუთხედის გაერთიანება შეგიძლიათ ერთ წვერზე? ახსენით, რატომ არ არის სივრცე სამკუთხედებს შორის.
  3. ახსენით, თუ რატომ შეგიძლიათ გააგრძელოთ სამკუთხედების ნიმუში თვითმფრინავის დასაყენებლად.

შეგიძლიათ გააკეთოთ სიბრტყის რეგულარული tessellation 7 გვერდითი რეგულარული მრავალკუთხედების გამოყენებით? რაც შეეხება 9 მხარეს? 10 მხარე? 11 მხარე? 12 მხარე? ახსენით.

როგორ შედარებულია კვადრატში თითოეული კუთხის ზომა ტოლგვერდა სამკუთხედში თითოეული კუთხის საზომთან? რით შედარებულია თითოეული კუთხის ზომა რეგულარულ 8 ცალმხრივ მრავალკუთხედში თითოეული კუთხის გაზომვას რეგულარული 7 გვერდითი მრავალკუთხედის მიხედვით?

რა ემართებათ კუთხეებს ჩვეულებრივ მრავალკუთხედში, როდესაც მეტ გვერდს დაამატებთ?

რომელი მრავალკუთხედების გამოყენებით შეიძლება მოხდეს სიბრტყის რეგულარული ჭურჭლების წარმოება?


9.2: სინგულარული ქულები - მათემატიკა

MDPI- ს მიერ გამოქვეყნებული ყველა სტატია ხელმისაწვდომია დაუყოვნებლივ მსოფლიოში ღია ლიცენზიის საფუძველზე. სპეციალური ნებართვა არ არის საჭირო MDPI- ს მიერ გამოქვეყნებული სტატიის, ან ციფრებისა და ცხრილების გამოსაყენებლად. სტატიებისათვის, რომლებიც გამოქვეყნებულია ღია წვდომის Creative Common CC BY ლიცენზიით, სტატიის ნებისმიერი ნაწილი შეიძლება გამოყენებულ იქნეს ნებართვის გარეშე, იმ პირობით, რომ თავდაპირველი სტატია ნათლად იქნება მითითებული.

მხატვრული ნაშრომები წარმოადგენს ყველაზე მოწინავე კვლევას, რომელსაც აქვს დიდი პოტენციალი სფეროში დიდი გავლენისთვის. მხატვრული ნაშრომების წარდგენა ხდება ინდივიდუალური მოწვევის ან სამეცნიერო რედაქტორის რეკომენდაციის საფუძველზე და პუბლიკაციის დაწყებამდე განიხილება.

მხატვრული ნაშრომი შეიძლება იყოს ორიგინალური სამეცნიერო სტატია, მნიშვნელოვანი ნოველა კვლევა, რომელიც ხშირად მოიცავს რამდენიმე ტექნიკას ან მიდგომას, ან ყოვლისმომცველი მიმოხილვითი ნაშრომი მოკლე და ზუსტი სიახლეებით ამ სფეროში ბოლო პროგრესის შესახებ, რომელიც სისტემატურად განიხილავს მეცნიერების ყველაზე საინტერესო მიღწევებს. ლიტერატურა. ამ ტიპის ნაშრომი გვაწვდის კვლევის სამომავლო მიმართულებებს ან შესაძლო პროგრამებს.

Editor's Choice სტატიები ემყარება MDPI ჟურნალების სამეცნიერო რედაქტორების რეკომენდაციებს მსოფლიოს სხვადასხვა ქვეყნებიდან. რედაქტორები ირჩევენ ჟურნალში ცოტა ხნის წინ გამოქვეყნებული სტატიების მცირე რაოდენობას, რომლებიც, მათი აზრით, განსაკუთრებით საინტერესო იქნება ამ სფეროში ავტორებისთვის. ამის მიზანია ჟურნალის სხვადასხვა კვლევით ადგილებში გამოქვეყნებული რამდენიმე ყველაზე საინტერესო ნამუშევრის მოკლე შინაარსი.


მათემატიკის 240 წერილობითი საშინაო დავალების ოილერის განტოლებები და სინგულარული ქულების შეფასება 1. ჩანაცვლების გამოყენება u

მათემატიკის 240 წერილობითი საშინაო დავალების ოილერის განტოლებები და სინგულარული წერტილების შეფასება 1. ჩანაცვლების გამოყენებით u = x + 1 ამოხსენით საწყისი მნიშვნელობის ამოცანა 2 (2 xx ++ 1) y '' + (x + 1) y '+ y = 0, y (0) = 1, y '(0) = 0. გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა გააკეთოთ ჩანაცვლება არა მხოლოდ dw du dw კოეფიციენტებში, არამედ წარმოებულებში, ჯაჭვის წესის გამოყენებით = dx dx du dy dy გამოიყენეთ ეს w = y გამოთვლის დროს და w = dx dx 2 dy გამოთვლისას (რაც არ არის რთული ამ კონკრეტული პრობლემისთვის). 2 dx 1 წერტილი: ჩანაცვლების გამოყენება u = x + 1 პრობლემის შესამცირებლად ოილერის 2 განტოლება uy '' ++ uy 'y = 0. 2 ქულა: ოილერის განტოლების ამოხსნა u, yc = + cos (log (u)) c sin () (log (u)) თვალსაზრისით ამოხსნის მისაღებად. 12 1 წერტილი: შეცვალეთ უკან ორიგინალური პრობლემის ზოგადი გადაწყვეტის მისაღებად, yc = + cos (ჟურნალი (x 1)) + c sin (ჟურნალი (x + 1)). 12 1 წერტილი: ჩართეთ y (0) = 1 და y ’(0) = 0 საწყისი მნიშვნელობის პრობლემის გადაწყვეტის მოსაძებნად, yx = + cos (ჟურნალი (1)). 2. იპოვნეთ და დაალაგეთ ცალკეული წერტილები შემდეგი განტოლებებისათვის. თითო წერტილი 2 ა. xyx '' ++ 5y '3y = 0. x = 0 არის რეგულარული სინგულარული წერტილი. 2 ბ xy '' ++ 5y '3xy = 0. x = 0 არის არარეგულარული სინგულარული წერტილი .22 გ. (3 xx ++ 2) y '' + (x-1) y '+ 2xy = 0. x = –1 არის რეგულარული სინგულარული წერტილი. x = –2 არის რეგულარული სინგულარული წერტილი. 422 დ. (2 xx - ++ 1) y '' (x + 3x + 2) y '+ 7y = 0. x = 1 არის არარეგულარული სინგულარული წერტილი. x = –1 არის რეგულარული სინგულარული წერტილი. 32 ე. (4 xx ++) y''2xy '+ (x + 5) y = 0. x = 0 არის რეგულარული სინგულარული წერტილი. x = –4 არის რეგულარული სინგულარული წერტილი.


NCERT სამაგალითო ამოხსნა მე -10 კლასის მათემატიკისთვის: წრეები (ნაწილი IIA)

აქ მიიღებთ CBSE კლასის 10 მათემატიკის თავში მე -9 წრეებს: NCERT მაგალითის პრობლემები და ამოხსნები (ნაწილი-IIA). ეს ნაწილი წარმოადგენს მხოლოდ ძალიან მოკლე პასუხის ტიპის კითხვებს. აქ ნახავთ გადაწყვეტილებებს 1 – დან 5 – მდე კითხვის სახით, მათემატიკის მე –9 თავის NCERT მაგალითის 9.2.

აქ მიიღებთ CBSE კლასის 10 მათემატიკას, თავი 9, წრეები: NCERT მაგალითის პრობლემები და ამოხსნები (ნაწილი-IIA). თავის ამ ნაწილში შედის 1–5 კითხვის ამოხსნები NCERT– ის მაგალითის 9.2 სავარჯიშოდან მათემატიკის მე –10 კლასის თავი: წრეები. ეს სავარჯიშო მოიცავს მხოლოდ ძალიან მოკლე პასუხის ტიპის კითხვებს, რომლებიც მოცემულია თავში სხვადასხვა მნიშვნელოვან თემებზე. თითოეულ კითხვას მოცემულია დეტალური გადაწყვეტა.

NCERT სამაგალითო პრობლემები ძალიან კარგი რესურსია კრიტიკული კითხვების მოსამზადებლად, როგორიცაა უმაღლესი ბრძანების აზროვნების უნარის (HOTS) კითხვები. ყველა ეს კითხვა ძალიან მნიშვნელოვანია CBSE კლასის 10 მათემატიკის საბჭოს გამოცდისთვის 2017-2018 წლებისთვის, ისევე როგორც სხვა საკონკურსო გამოცდებისთვის.

ქვემოთ იხილეთ NCERT მაგალითის პრობლემები და მათი ამოხსნები მე -10 კლასის მათემატიკის თავში, წრეებში:

სავარჯიშო 9.2

ძალიან მოკლე პასუხის ტიპის კითხვები (კითხვა No1–5)

კითხვები 1 თუ აკორდი AB ამცირებს წრის ცენტრში 60 ° -ის კუთხეს, შემდეგ კი ტანგენებს შორის კუთხით და ასევე არის 60 °.

გამოსავალი ცრუ

მოცემული პირობების გამოხატვა შესაძლებელია შემდეგი სქემის სახით:

ჩვენ ვიცით, რომ წრეზე მდებარე ნებისმიერ წერტილზე ტანგენტი არის პერპენდიკულარული რადიუსისკენ კონტაქტის წერტილის გავლით.

კითხვები 2 ტანგენტის სიგრძე გარე წერტილიდან წრეზე ყოველთვის მეტია ვიდრე წრის რადიუსი.

გამოსავალი ცრუ

ტანგენტის სიგრძე გარე წერტილიდან შეიძლება იყოს ან არ უნდა აღემატებოდეს წრის რადიუსს.

ამის გარკვევა შესაძლებელია შემდეგი დიაგრამებიდან:

კითხვები 3 ტანგენტის სიგრძე გარე წერტილიდან წრეზე ცენტრით ყოველთვის ნაკლებია ვიდრე OP

გამოსავალი მართალია

დაე PT წერტილზე იყოს ტანგესი წრეზე წოლა ცენტრში . შემოგვიერთდით OT.

როგორც მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზა ყოველთვის მეტია, ვიდრე სამკუთხედის ორი მხრიდან.

აქედან გამომდინარე, ტანგენციის სიგრძე გარე წერტილიდან წრეზე ცენტრით ყოველთვის ნაკლებია ვიდრე OP

კითხვები 4 კუთხე ორ ტანგენტს შორის წრეში შეიძლება იყოს 0 °.

გამოსავალი მართალია

კუთხე ორ ტანგენტს შორის წრეში იქნება 0 ° მხოლოდ მაშინ, როდესაც ორი ტანგენტი ერთმანეთს დაემთხვევა ან ერთმანეთის პარალელური იქნება.

კითხვები 5 თუ წერტილიდან დახაზულ კუთხეს ორ ტანჯულს შორის რადიუსის წრეზე და ცენტრი არის 90 °, მაშინ.

გამოსავალი მართალია

მოცემული პირობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგ სქემაში მოცემული:

ჩვენ ვიცით, რომ გარე წერტილიდან წრეზე მიზიდული ნებისმიერი ორი ტანგენტი თანაბრად იხრება წრფის სეგმენტისკენ და უერთდება ცენტრს ამ წერტილამდე.


მანძილი 2 წერტილს შორის

როდესაც ჩვენ ვიცით ჰორიზონტალური და ვერტიკალური მანძილი ორ წერტილს შორის შეგვიძლია გამოვთვალოთ სწორი ხაზის მანძილი ასე:

წარმოიდგინეთ, რომ იცით ორი წერტილის (A და B) მდებარეობა, როგორც აქ.

რა მანძილია მათ შორის?

ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვფრინდეთ ხაზები A- დან და B- ს გასწვრივ, გავაკეთოთ მართკუთხა სამკუთხედი.

და პითაგორას მცირედი დახმარებით ვიცით, რომ:

ახლა აწერეთ A და B წერტილების კოორდინატები.

x ნიშნავს A წერტილის x კოორდინატს
y ნიშნავს A წერტილის y კოორდინატს

ჰორიზონტალური მანძილი არის (x & მინუს x)

ვერტიკალური მანძილი არის (წ & მინუს y)

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ c (მანძილი წერტილებს შორის):


მრავალწევრის დიფერენციალური სისტემების ინტეგრირება

მტკიცებულება

კვადრატულ სისტემაში ნებისმიერი ზღვრული ციკლი აკრავს მხოლოდ ერთ სინგულარულ წერტილს, რომელიც უნდა იყოს ფოკუსირება (იხ. [104]). დავუშვათ, რომ ლიმიტის ციკლი გარშემორტყმულია სინგულარულ წერტილთან, ნულოვანი განსხვავებით დაე = 0 იყოს უცვლელი ალგებრული მრუდი კოფაქტორით . ამრიგად

ამ ნაწილში δ აღვნიშნავთ სისტემის განსხვავებულობას, ანუ δ = x + Qy. რადგან ორივე და δ უნდა გაიაროს სხვა სინგულარული წერტილი და კვადრატული სისტემის ლიმიტის ციკლები უნდა იყოს ამოზნექილი, ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ამიტომ rL + δ არ გადის ლიმიტის ციკლს. ამრიგად, ამ შემთხვევაში ჩვენ გვაქვს დულაკის ფუნქცია, რომელიც ეწინააღმდეგება ლიმიტის ციკლის მიღებას.

დავუშვათ ახლა, რომ არსებობს ლიმიტის ციკლი, რომელიც გარს ერტყმის განსხვავებულ განსხვავებულ სინგულარულ წერტილს. მას შემდეგ, რაც ეს წერტილი უნდა იყოს ფოკუსი, ჩვენ სისტემას ფორმაში ვაქცევთ

შემდგომი როტაცია საშუალებას გვაძლევს დავაყენოთ = 0 ზოგადად დაკარგვის გარეშე. განვიხილოთ ფუნქცია = x - 1/ ამისთვის ≠ 0 და = e x თუკი = 0. ჩვენ გამოვთვლით

ამრიგად ხაზი = 0 არის განივი, და ვერანაირი ზღვრული ციკლი ვერ გადალახავს მას. ახლა ჩვენ გამოვთვლით ამას

ნებისმიერ შემთხვევაში ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მნიშვნელობები და კვადრატულ ფრჩხილებში ტერმინის აღმოსაფხვრელად. კიდევ ერთხელ გვაქვს დულაკის ფუნქცია.

როგორც ჩანს, ალგებრული მრუდის მეთოდები ბუნებრივია ზღვრული ციკლების არარსებობის დასადასტურებლად. მაგალითად, Coppel & # x27s გამოკითხვის სტატიაში [36], არარსებობის ყველა შედეგი მიიღება ამ გზით, გარდა იმ შემთხვევისა, რომელიც იყენებს Liénard სისტემის არგუმენტს. ჩვენ ამას ვსაყვედურობთ ალგებრული მრუდების გამოყენებით.


9.2: სინგულარული ქულები - მათემატიკა

კრიტიკული წერტილები გამოჩნდება ამ თავის უმეტეს ნაწილში, ამიტომ ჩვენ ჯერ უნდა განვსაზღვროთ ისინი და ვიმუშაოთ რამდენიმე მაგალითზე, სანამ შევიდეთ მათ რეალურად გამოყენებულ განყოფილებებში.

განმარტება

ჩვენ ვამბობთ, რომ (x = c ) ფუნქციის კრიტიკული წერტილია (f მარცხნივ (x მარჯვნივ) ), თუ (f მარცხენა (გ მარჯვნივ) ) არსებობს და თუ რომელიმე შემდეგია მართალია

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გვჭირდება, რომ (f მარცხნივ (გ მარჯვნივ) ) არსებობდეს იმისათვის, რომ (x = c ) რეალურად იყოს კრიტიკული წერტილი. ეს მნიშვნელოვანი და ხშირად უგულებელყოფილია. რასაც სინამდვილეში ამბობს, არის ის, რომ ყველა კრიტიკული წერტილი უნდა იყოს ფუნქციის დომენში. თუ წერტილი არ არის ფუნქციის დომენში, ეს არ არის კრიტიკული წერტილი.

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ ამ ეტაპზე ჩვენ მხოლოდ რეალურ ციფრებთან ვმუშაობთ და ამიტომ ნებისმიერი რთული რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას კრიტიკული წერტილების პოვნაში (და ისინი ზოგჯერ გაჩნდება), უგულებელყოფილი იქნება. არსებობს გამოთვლის ის ნაწილები, რომლებიც ოდნავ განსხვავებულად მუშაობს კომპლექსურ რიცხვებთან მუშაობისას და ასე პირველ რიგში კლასში ჩვენ უგულებელვყოფთ რთულ რიცხვებს და ვმუშაობთ მხოლოდ რეალურ რიცხვებთან. რთული რიცხვების მქონე გამოთვლა ამ კურსის ფარგლებს სცილდება და ჩვეულებრივ ისწავლება უმაღლესი დონის მათემატიკის კურსებზე.

ამ მონაკვეთის მთავარი თემაა კრიტიკული წერტილების მოძიების რამდენიმე მაგალითის შემუშავება. მოდით ვიმუშაოთ რამდენიმე მაგალითზე.

პირველ რიგში, ჩვენ გვჭირდება ფუნქციის წარმოებული კრიტიკული წერტილების მოსაძებნად. მოდით ეს დავინახოთ და ვამჩნევთ, რომ მაქსიმალურად მოვახდენთ მას ფაქტორს, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენი ცხოვრება, როდესაც კრიტიკული წერტილების პოვნას მივდივართ.

ახლა, ჩვენი წარმოებული არის მრავალხმიანობა და ასე იარსებებს ყველგან. ამიტომ, მხოლოდ კრიტიკული წერტილები იქნება (x ) ის მნიშვნელობები, რომლებიც წარმოებულს ნულს უქმნის. ასე რომ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ.

იმის გამო, რომ ეს წარმოებული ფაქტორის ფორმაა, ადვილია სამი კრიტიკული წერტილის დადგენა. Ისინი არიან,

პოლინომები, როგორც წესი, საკმაოდ მარტივი ფუნქციებია კრიტიკული წერტილების მოსაძებნად, იმ პირობით, რომ ხარისხი არ მიიღებს იმდენად დიდს, რომ წარმოშობის ფესვების პოვნა შეგვიძლია.

კრიტიკული წერტილების მოძიების უფრო მეტად "საინტერესო" ფუნქციების უმეტესობა არ არის პოლინომი. მოდით გავეცნოთ რამდენიმე ფუნქციას, რაც ჩვენი მხრიდან ცოტა მეტ ძალისხმევას მოითხოვს.

დერივატის მოსაძებნად, ალბათ უმარტივესია მცირე გამარტივების გაკეთება, სანამ რეალურად განვასხვავებთ. მოდით, ფრჩხილის საშუალებით გავამრავლოთ ფესვი და მაქსიმალურად გავამარტივოთ. ეს საშუალებას მოგვცემს თავიდან ავიცილოთ პროდუქტის წესის გამოყენება წარმოებული პროდუქტის მიღებისას.

ფრთხილად უნდა ვიყოთ ამ პრობლემის მიმართ. როდესაც უარყოფითი ექსპონენტის წინაშე ვდგავართ, ხშირად უმჯობესია გამოვრიცხოთ მინუს ნიშანი ამ ექსპონენტზე, როგორც ეს გავაკეთეთ ზემოთ. ეს ნამდვილად არ არის საჭირო, მაგრამ მას შეუძლია ზოგჯერ ჩვენი ცხოვრება გაამარტივოს, თუ ამას ვაკეთებთ.

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ მეორე ტერმინში უარყოფითი ექსპონენტის აღმოფხვრა საშუალებას გვაძლევს სწორად დავადგინოთ თუ რატომ არის (t = 0 ) კრიტიკული წერტილი ამ ფუნქციისთვის. მას შემდეგ, რაც მეორე ტერმინი მნიშვნელზე გადავიტანთ, ნათლად დავინახავთ, რომ წარმოებული არ არსებობს (t = 0 ) - ზე და ეს იქნება კრიტიკული წერტილი. თუ მეორე ტერმინში არ მოიშორებთ ნეგატიურ ექსპონენტს, ბევრი ადამიანი არასწორად აცხადებს, რომ (t = 0 ) არის კრიტიკული წერტილი, რადგან წარმოებული ნულის ტოლია (t = 0 ). მართალია ეს სულელურ წერტილად მოგეჩვენებათ, ყოველი შემთხვევის შემდეგ (t = 0 ) კრიტიკულ წერტილად არის განსაზღვრული, ზოგჯერ მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არის წერტილი კრიტიკული წერტილი. სინამდვილეში, რამდენიმე მონაკვეთში ვნახავთ ფაქტს, რომელიც მუშაობს მხოლოდ კრიტიკულ წერტილებზე, სადაც წარმოებული ნულოვანია.

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ ერთი კრიტიკული წერტილი (სადაც წარმოებული არ არსებობს), მაგრამ ახლა უნდა დავადგინოთ, სად არის ნულოვანი წარმოებული (თუ რა თქმა უნდა, ის…). ამის დასახმარებლად, ჩვეულებრივ, საუკეთესოა ორი ტერმინის გაერთიანება ერთ რაციონალურ გამოხატვაში. ასე რომ, საერთო მნიშვნელის მიღება და კომბინირება გვაძლევს,

გაითვალისწინეთ, რომ ჯერ კიდევ გვაქვს კრიტიკული წერტილი (t = 0 ). ამგვარი კომბინირების გაკეთებამ არასოდეს უნდა დაკარგოს კრიტიკული წერტილები, ეს მხოლოდ იმისთვის ხდება, რომ დაგვეხმაროს მათ პოვნაში. როგორც ვხედავთ, ახლა ბევრად უფრო ადვილი გახდა იმის დადგენა, თუ სად იქნება ნულოვანი წარმოებული. შეგახსენებთ, რომ რაციონალური გამონათქვამი ნული იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მრიცხველი ნულოვანია (და, რა თქმა უნდა, მნიშვნელი ასევე არ არის ნული).

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვხედავთ, რომ მრიცხველი იქნება ნული, თუ (t = frac <1> <5> ) და ამ ფუნქციისთვის ორი კრიტიკული წერტილია.

ჩვენ გადავცემთ თქვენ გადამოწმებას, რომ კოეფიციენტის წესის გამოყენებით, გარკვეულ გამარტივებასთან ერთად, მივიღებთ რომ წარმოებული არის,

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ მრიცხველის გარეთ გამოვადგინეთ ”-1”, რათა ცოტათი დაეხმაროთ კრიტიკული წერტილების პოვნაში. ეს უარყოფითი გავლენა გავლენას არ მოახდენს წარმოებულზე ნულოვანია თუ არა წარმოებული, მაგრამ ოდნავ გაგვიადვილებს მუშაობას.

ახლა ორი საკითხი გვაქვს მოსაგვარებელი. ჯერ წარმოებული არ იარსებებს, თუ მნიშვნელში არის ნულის გაყოფა. ასე რომ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ,

ჩვენ ამის შეჯერება არ შეგვჭირვებია, რადგან თუ ეს არის ნული, მაშინ ნულოვანი კვადრატი კვლავ ნულოვანია და თუ იგი არ არის ნულოვანი, მაშინ კვადრატი არ გახდის მას ნულს.

ასე რომ, აქედან ვხედავთ, რომ წარმოებული არ იარსებებს (w = 3 ) და (w = - 2 ). ამასთან, ეს არ არის კრიტიკული წერტილები, რადგან ფუნქცია ამ წერტილებშიც არ იარსებებს. შეგახსენებთ, რომ იმისათვის, რომ წერტილი იყოს კრიტიკული წერტილი, ფუნქცია რეალურად უნდა არსებობდეს ამ ეტაპზე.

ამ ეტაპზე ფრთხილად უნდა ვიყოთ. მრიცხველი არ არის ფაქტორი, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ არ არსებობს კრიტიკული წერტილები, სადაც წარმოებული ნულოვანია. ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ კვადრატული ფორმულა მრიცხველზე, რათა დადგინდეს, არის თუ არა წილადი მთლიანობაში ნულოვანი.

ასე რომ, მივიღებთ ორ კრიტიკულ წერტილს. ასევე, ეს არ არის "ლამაზი" მთელი რიცხვები ან წილადები. ეს მოხდება ზოგჯერ. ძალიან ნუ იკეტები პასუხებში ყოველთვის "ლამაზი". ხშირად ისინი არ არიან.

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ კრიტიკულ წერტილებში მხოლოდ რეალურ რიცხვებს ვიყენებთ. ასე რომ, თუ მრიცხველში კვადრატის ამოხსნისას, რთული რიცხვი მივიღეთ, ეს კრიტიკულ წერტილებად არ ჩაითვლებოდა.

შეჯამებისას, ჩვენ გვაქვს ორი კრიტიკული წერტილი. Ისინი არიან,

[w = - 7 + 5 sqrt 2, , , , , w = - 7 - 5 sqrt 2 ]

ისევ გახსოვდეთ, რომ სანამ წარმოებული არ არსებობს (w = 3 ) და (w = - 2 ) არც ფუნქცია და არც ეს ორი წერტილი არის ამ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

წინა მაგალითში ჩვენ მოგვიწია კვადრატული ფორმულის გამოყენება, რათა განვსაზღვროთ რამდენიმე პოტენციური კრიტიკული წერტილი. ჩვენ ვიცით, რომ ზოგჯერ კვადრატული ფორმულადან მივიღებთ რთულ რიცხვებს. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ როგორც ეს განყოფილების დასაწყისში აღინიშნა, როდესაც ეს მოხდება, ჩვენ უგულებელვყოფთ წარმოქმნილ რთულ რიცხვებს.

ჯერჯერობით ყველა მაგალითს არ ჰქონდა რაიმე ტრიგ ფუნქცია, ექსპონენციალური ფუნქციები, და ა.შ.. მათში. არ უნდა ველოდოთ, რომ ყოველთვის ასე იქნება. მოდით, გავეცნოთ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც არ შეიცავს მხოლოდ (x ) ძალას.

პირველი მიიღეთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ ჯაჭვის წესის გამოყენება მეორე ტერმინზე.

ახლა, ეს ყველგან იარსებებს და ასე რომ, არ იქნება კრიტიკული წერტილები, რომელთათვისაც წარმოებული არ არსებობს. მხოლოდ კრიტიკული წერტილები მოვა წერტილებიდან, რომლებიც წარმოებულს ნულს უქმნის. ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ,

[ დაიწყოს6 + 12 sin მარცხნივ (<3x> მარჯვნივ) & = 0 sin მარცხნივ (<3x> მარჯვნივ) & = - frac <1> <2> დასრულება]

ამ განტოლების ამოხსნა შემდეგს იძლევა.

[ დაიწყოს3x & = 3.6652 + 2 pi n, hspace <0.25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots 3x & = 5.7596 + 2 pi n, hspace <0.25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots დასრულება]

ნუ დაივიწყებთ ამაზე (2 pi n )! გზაზე პრობლემები იქნება, რომელთა გარეშეც გამოვტოვებთ გადაწყვეტილებებს! ასევე დარწმუნდით, რომ ის ამ ეტაპზე ჩაიდება! ახლა გავყოთ 3-ზე რომ მივიღოთ ყველა კრიტიკული წერტილი ამ ფუნქციისთვის.

[ დაიწყოსx & = 1.2217 + frac << 2 pi n >> <3>, hspace <0.5in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots x & = 1.9199 + frac << 2 pi n >> <3>, hspace <0.5in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითში მივიღეთ უსასრულო კრიტიკული წერტილები. ეს მოხდება ზოგჯერ, ასე რომ ნუ ინერვიულებთ ამის შესახებ.

აი ამ ფუნქციის წარმოებული.

ახლა ეს გამოიყურება უსიამოვნო, თუმცა მცირე ფაქტორინგით შეგვიძლია ცოტათი გავწმინდოთ შემდეგი რამ,

ეს ფუნქცია ყველგან იარსებებს, ამიტომ კრიტიკული წერტილები არ წარმოიქმნება წარმოებულიდან, რომელიც არ არსებობს. იმის დადგენა, თუ სად არის ეს ნული, უფრო ადვილია, ვიდრე გამოიყურება. ჩვენ ვიცით, რომ მაჩვენებლები არასდროს არის ნული და ასე რომ, წარმოებული მხოლოდ ნულის იქნება, თუ

ამ ფუნქციისთვის ორი კრიტიკული წერტილი გვექნება.

დერივატივის მიღებამდე მოდით გავითვალისწინოთ, რომ რადგან უარყოფითი რიცხვის ან ნულის ჟურნალი ვერ ავიღეთ, მხოლოდ (x & gt 0 ) ნახვას შევძლებთ.

ახლა ეს წარმოებული არ იარსებებს, თუ (x ) არის უარყოფითი რიცხვი ან თუ (x = 0 ), მაგრამ შემდეგ არც ფუნქცია იქნება და ამიტომ ეს არ არის კრიტიკული წერტილები. გახსოვდეთ, რომ ფუნქცია იარსებებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (x & gt 0 ) და საკმაოდ ლამაზად წარმოებული წარმოიქმნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (x & gt 0 ) და ამიტომ ერთადერთი, რაზეც უნდა ვიფიქროთ არის ის, თუ სად არის ნულოვანი წარმოებული.

პირველი შენიშვნა, რომ გარეგნობის მიუხედავად, წარმოებული არ იქნება ნული (x = 0 ). როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, წარმოებული არ არსებობს (x = 0 ) - ზე ბუნებრივი ლოგარითმის გამო და ამიტომ წარმოებული აქ ვერ იქნება ნული!

ასე რომ, წარმოებული მხოლოდ ნული იქნება, თუ,

[ დაიწყოს2 ln მარცხნივ (<3x> მარჯვნივ) + 1 & = 0 ln მარცხნივ (<3x> მარჯვნივ) & = - frac <1> <2> დასრულება]

შეგახსენებთ, რომ ამის მოგვარება შეგვიძლია ორივე მხარის ექსპონირებით.

ამ ფუნქციისთვის არსებობს ერთი კრიტიკული წერტილი.

მოდით, კიდევ ერთი პრობლემა ვიმუშაოთ, რომ აზრი გამოვიყენოთ.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფუნქცია დიდად არ განსხვავდება მე –5 მაგალითში გამოყენებული ფუნქციისგან. ამ შემთხვევაში წარმოებული არის,

ეს ფუნქცია არასოდეს იქნება ნულოვანი (x ) - ის რეალური მნიშვნელობისთვის. ექსპონენციალი არასოდეს არის ნულის ტოლი და მრავალწევრი იქნება ნული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (x ) რთული იქნება და გავიხსენოთ, რომ კრიტიკული წერტილებისთვის გვსურს მხოლოდ (x ) - ის რეალური მნიშვნელობები.

ამიტომ, ამ ფუნქციას კრიტიკული წერტილები არ ექნება.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ყველა ფუნქციას არ ექნება კრიტიკული წერტილები! ამ კურსში უმეტეს ფუნქციებს, რომლებსაც ჩვენ შევხედავთ, აქვს კრიტიკული წერტილები. ეს მხოლოდ იმიტომ, რომ ეს პრობლემები ქმნის უფრო საინტერესო მაგალითებს. არ დაუშვათ ამ ფაქტმა ყოველთვის იფიქროთ, რომ ფუნქციას კრიტიკული წერტილები ექნება. ზოგჯერ ისინი ისე არ აკეთებენ, როგორც ეს ბოლო მაგალითმა აჩვენა.