სტატიები

14.5: სამმაგი ინტეგრალები


სასწავლო მიზნები

  • ამოიცანით, როდესაც სამი ცვლადის ფუნქცია ინტეგრირდება მართკუთხა ველზე.
  • შეაფასეთ სამმაგი ინტეგრალი, გამოხატეთ იგი, როგორც განმეორებადი ინტეგრალი.
  • აღიარეთ, როდესაც სამი ცვლადის ფუნქცია ინტეგრირდება დახურულ და შემოსაზღვრულ რეგიონში.
  • გაანგარიშება გაანგარიშება სამმაგი ინტეგრალის ინტეგრაციის რიგის შეცვლით.
  • გამოთვალეთ სამი ცვლადის ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა.

მანამდე განვიხილეთ სიბრტყის მართკუთხა რეგიონის ორი ცვლადის (f (x, y) ) ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი. ამ განყოფილებაში განვსაზღვრავთ (f (x, y, z) ) ფუნქციის სამეულ ინტეგრალს სამი ცვლადის სივრცეში მართკუთხა მყარი ველიდან, ( mathbb {R} ^ 3 ). მოგვიანებით, ამ განყოფილებაში ჩვენ განვსაზღვრეთ განმარტება ზოგად რეგიონებზე ( mathbb {R} ^ 3 ).

სამი ცვლადის ინტეგრირებადი ფუნქციები

ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მართკუთხა ველი (B ) ( mathbb {R} ^ 3 ), როგორც

[B = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f big }. ]

ჩვენ ვიცავთ მსგავს პროცედურას, რასაც ადრე ვაკეთებდით. ჩვენ ვყოფთ ([a, b] ) ინტერვალში (l ) ქვეინტერვალებად ([x_ {i-1}, x_i] ) თანაბარი სიგრძის ( დელტა x )

[ დელტა x = dfrac {x_i - x_ {i-1}} {l}, ]

ინტერვალის ([c, d] ) დაყოფა (m ) ქვეინტერვალებად ([y_ {i-1}, y_i] ) თანაბარი სიგრძის ( დელტა y )

[ დელტა y = dfrac {y_j - y_ {j-1}} {მ}, ]

და დაყავით ინტერვალი ([e, f] ) (n ) ქვეინტერვალებად ([z_ {i-1}, z_i] ) თანაბარი სიგრძის ( დელტა z )

[ დელტა z = dfrac {z_k - z_ {k-1}} {n} ]

შემდეგ მართკუთხა ველი (B ) იყოფა (lmn ) ქვე ყუთებად:

[B_ {ijk} = [x_ {i-1}, x_i] ჯერ [y_ {i-1}, y_i] ჯერ [z_ {i-1}, z_i], ]

როგორც ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {1} ).

თითოეული (i, , j, ) და (k ) განვიხილოთ ნიმუში წერტილი ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) თითოეული ქვე-ყუთი (B_ {ijk} ). ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი მოცულობა არის ( Delta V = Delta x Delta y Delta z ). ჩამოაყალიბეთ რიმანის სამმაგი ჯამი

[ sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ * ) , Delta x Delta y Delta z. ]

ჩვენ განვსაზღვრავთ სამმაგ ინტეგრალს რიმანის სამმაგი ჯამის ლიმიტის თვალსაზრისით, როგორც ეს ორმაგი ინტეგრალისთვის გავაკეთეთ ორმაგი რიმანის ჯამის თვალსაზრისით.

განმარტება: სამმაგი ინტეგრალი

(F (x, y, z) ) ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი მართკუთხა ველზე (B ) განისაზღვრება, როგორც

[ lim_ {l, m, n rightarrow nfty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) , დელტა x დელტა y დელტა z = iiint_B f (x, y, z) , dV ] თუ ეს ზღვარი არსებობს.

როდესაც სამმაგი ინტეგრალი არსებობს (B ) - ზე, ფუნქცია (f (x, y, z) ) ამბობენ, რომ ინტეგრირებადია (B ) - ზე. ასევე, სამმაგი ინტეგრალი არსებობს, თუ (f (x, y, z) ) უწყვეტია (B ) - ზე. ამიტომ, ჩვენი მაგალითებისთვის გამოვიყენებთ უწყვეტ ფუნქციებს. ამასთან, უწყვეტობა საკმარისია, მაგრამ არ არის აუცილებელი; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, (f ) ესაზღვრება (B ) და უწყვეტი, გარდა შესაძლოა (B ) საზღვარზე. ნიმუშის წერტილი ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) შეიძლება იყოს ნებისმიერი წერტილი მართკუთხა ქვე-უჯრაში (B_ {ijk} ) და ყველა ორმაგი ინტეგრალის თვისებები ვრცელდება სამმაგ ინტეგრალზე. ისევე, როგორც ორმაგ ინტეგრალს მრავალი პრაქტიკული პროგრამა აქვს, სამმაგ ინტეგრალსაც აქვს მრავალი პროგრამა, რომლებსაც შემდეგ განყოფილებებში განვიხილავთ.

ახლა, როდესაც ჩვენ შევიმუშავეთ სამმაგი ინტეგრალის კონცეფცია, უნდა ვიცოდეთ მისი გამოთვლა. ისევე, როგორც ორმაგი ინტეგრალის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია განმეორებადი სამმაგი ინტეგრალური და, შესაბამისად, ვერსია ფუბინის თეორემა სამმაგი ინტეგრალებისთვის არსებობს.

ფუბინის თეორემა სამმაგი ინტეგრალებისთვის

თუ (f (x, y, z) ) უწყვეტია მართკუთხა უჯრაზე (B = [a, b] ჯერ [c, d] ჯერ [e, f] ), მაშინ

[ iint_B f (x, y, z) , dV = int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ b f (x, y, z) , dx , dy , dz. ]

ეს ინტეგრალი ასევე უდრის განმეორებითი სამმაგი ინტეგრალის დანარჩენი ხუთი შესაძლო რიგიდან.

(A, b, c, d, e ) და (f ) ნამდვილი რიცხვებისთვის, განმეორებითი სამმაგი ინტეგრალის გამოხატვა შესაძლებელია ექვსი სხვადასხვა რიგითობით:

[ start {align} int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ bf (x, y, z) , dx , dy , dz = int_e ^ f left ( int_c ^ d მარცხენა ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dy right) dz = int_c ^ d მარცხენა ( int_e ^ f მარცხენა ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx მარჯვნივ) dz მარჯვნივ) dy = int_a ^ b მარცხენა ( int_e ^ f მარცხენა ( int_c ^ df (x, y, z) , dy მარჯვნივ) dz მარჯვნივ) dx = int_e ^ f მარცხნივ ( int_a ^ b მარცხნივ ( int_c ^ df (x, y, z) , dy მარჯვნივ) dx მარჯვნივ) dz = int_c ^ d მარცხენა ( int_a ^ b მარცხენა ( int_c ^ df (x, y, z) , dz მარჯვნივ) dx მარჯვნივ) dy = int_a ^ b მარცხენა ( int_c ^ d მარცხენა ( int_e ^ ff ( x, y, z) , dz right) dy right) dx end {align} ]

მართკუთხა ყუთისთვის, ინტეგრაციის თანმიმდევრობას არ აქვს მნიშვნელოვანი განსხვავება გამოთვლის სირთულის დონეზე. ჩვენ გამოთვლით სამმაგ ინტეგრალებს ფუბინის თეორემის გამოყენებით, ვიდრე რიმანის ჯამის განსაზღვრის გამოყენებით. ჩვენ ვიცავთ ინტეგრაციის წესს ისევე, როგორც ორმაგი ინტეგრალებისთვის (ანუ შიგნიდან გარედან).

მაგალითი ( PageIndex {1} ): Triple Integral- ის შეფასება

შეაფასეთ სამმაგი ინტეგრალი [ int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz. არა რიცხვი ]

გამოსავალი

ინტეგრაციის თანმიმდევრობა მითითებულია პრობლემში, ასე რომ ინტეგრირდით ჯერ (x ) მიმართებით, შემდეგ yდა შემდეგ (z ).

[ start {align *} int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} მარცხენა. მარცხენა [ dfrac {x ^ 2} {2} + xyz ^ 2 მარჯვნივ | _ {x = -1} ^ {x = 5} მარჯვნივ] , dy , dz text {ინტეგრირება $ -თან მიმართებაში x $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} მარცხენა [12 + 6yz ^ 2 მარჯვნივ] , dy , dz text {შეფასება.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} მარცხნივ [ მარცხნივ. 12y + 6 dfrac {y ^ 2} {2} z ^ 2 მარჯვნივ | _ {y = 2} ^ {y = 4} მარჯვნივ] dz text {ინტეგრირება $ y $ –თან მიმართებაში.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} [24 + 36z ^ 2] , dz text {შეფასება.} = მარცხენა [24z + 36 dfrac {z ^ 3} {3} მარჯვნივ] _ {z = 0} ^ {z = 1} text {ინტეგრირება $ z- სთან მიმართებაში $.} = 36. text {შეფასება.} end {გასწორება *} ]

მაგალითი ( PageIndex {2} ): Triple Integral- ის შეფასება

შეაფასეთ სამმაგი ინტეგრალი

[ iiint_B x ^ 2 yz , dV ]

სადაც (B = big {(x, y, z) , | , - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 დიდი } ), როგორც ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {2} ).

გამოსავალი

შეკვეთა არ არის მითითებული, მაგრამ განმეორებითი ინტეგრალის გამოყენება შეგვიძლია ნებისმიერი თანმიმდევრობით, სირთულის დონის შეცვლის გარეშე. აირჩიეთ, ვთქვათ, ჯერ (y ) ინტეგრირება, შემდეგ (x ) და შემდეგ (z ) ინტეგრირება.

[ დაიწყოს {გასწორება *} iiint ლიმიტები_ {B} x ^ 2 yz , dV = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 int_0 ^ 3 [x ^ 2 yz] , dy , dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 მარცხენა [ მარცხნივ. x ^ 2 dfrac {y ^ 3} {3} z right | _0 ^ 3 right] dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 dfrac {y} {2} x ^ 2 z , dx , dz = int_1 ^ 5 მარცხენა [ მარცხნივ. dfrac {9} {2} dfrac {x ^ 3} {3} z მარჯვნივ | _ {- 2} ^ 1 მარჯვნივ] dz = int_1 ^ 5 dfrac {27} {2} z , dz = დარჩა. dfrac {27} {2} dfrac {z ^ 2} {2} მარჯვნივ | _1 ^ 5 = 162. end {align *} ]

ახლა შეეცადეთ ინტეგრირებულიყო სხვა თანმიმდევრობით, რომ ნახოთ იგივე პასუხი. აირჩიეთ ინტეგრირება პირველ რიგში (x ), შემდეგ (z ) და შემდეგ (y )

[ დაიწყოს {გასწორება *} iiiint ლიმიტები_ {B} x ^ 2yz , dV = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 [x ^ 2yz] , dx , dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 მარცხნივ [ მარცხნივ. dfrac {x ^ 3} {3} yz right | _ {- 2} ^ 1 right] dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 3yz ; dz , dy = int_0 ^ 3 მარცხნივ. left [3y dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 right] , dy = int_0 ^ 3 36y ; dy = მარცხენა. 36 dfrac {y ^ 2} {2} მარჯვნივ | _0 ^ 3 = 18 (9-0) = 162. დასრულება {გასწორება *} ]

სავარჯიშო ( PageIndex {1} )

შეაფასეთ სამმაგი ინტეგრალი

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV nonumber ]

სადაც (B = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq pi, , dfrac {3 pi} {2} leq y leq 2 pi , , 1 leq z leq 3 big } ).

მინიშნება

მიჰყევით წინა მაგალითში მოცემულ ნაბიჯებს.

პასუხი

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV = 8 არა რიცხვი ]

სამმაგი ინტეგრალი ზოგად რეგიონზე

უწყვეტი ფუნქციის (f (x, y, z) ) სამმაგი ინტეგრალი ზოგად სამგანზომილებიან რეგიონში

[E = big {(x, y, z) , | , (x, y) in D, , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big } ]

( mathbb {R} ^ 3 ), სადაც (D ) არის (E ) პროექცია (xy ) - თვითმფრინავზე, არის

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D მარცხენა [ int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz მარჯვნივ] dA. ]

ანალოგიურად, შეგვიძლია განვიხილოთ ზოგადი შეზღუდული რეგიონი (D ) (xy ) - სიბრტყეზე და ორი ფუნქციით (y = u_1 (x, z) ) და (y = u_2 (x, z) ) ისეთი, რომ (u_1 (x, z) leq u_2 (x, z) ) ყველა (9x, z) ) ყველა (D ). შემდეგ შეგვიძლია აღწეროთ მყარი რეგიონი (E ) ( mathbb {R} ^ 3 ), როგორც

[E = big {(x, y, z) , | , (x, z) in D, , u_1 (x, z) leq z leq u_2 (x, z) big } ] სადაც (D ) არის (E ) -ის პროექცია (xy ) - თვითმფრინავზე და არის სამმაგი ინტეგრალი

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D მარცხენა [ int_ {u_1 (x, z)} ^ {u_2 (x, z)} f ​​(x, y, z) , dy მარჯვნივ] dA. ]

დაბოლოს, თუ (D ) არის ზოგადად შემოსაზღვრული რეგიონი (xy ) - თვითმფრინავში და გვაქვს ორი ფუნქცია (x = u_1 (y, z) ) და (x = u_2 (y, z) ) ისეთი, რომ (u_1 (y, z) leq u_2 (y, z) ) ყველა ((y, z) ) ყველა (D ), შემდეგ მყარი რეგიონი (E ) in ( mathbb {R} ^ 3 ) შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც

[E = big {(x, y, z) , | , (y, z) in D, , u_1 (y, z) leq z leq u_2 (y, z) big } ] სადაც (D ) არის (E ) პროექცია (xy ) - თვითმფრინავზე და არის სამმაგი ინტეგრალი

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D მარცხენა [ int_ {u_1 (y, z)} ^ {u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx მარჯვნივ] dA. ]

გაითვალისწინეთ, რომ რეგიონი (D ) რომელიმე თვითმფრინავში შეიძლება იყოს I ან II ტიპის, როგორც ეს ადრე იყო აღწერილი. თუ (D ) სიბრტყეში (xy ) - ტიპის I ტიპია (სურათი ( PageIndex {4} )), მაშინ

[E = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , g_1 (x) leq y leq g_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

შემდეგ ხდება სამმაგი ინტეგრალი

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x , y)} f (x, y, z) , dz , dy , dx. ]

თუ (D ) (xy ) - სიბრტყე II ტიპისაა (სურათი ( PageIndex {5} )), მაშინ

[E = big {(x, y, z) , | , c leq x leq d, h_1 (x) leq y leq h_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) დიდი }. ]

შემდეგ ხდება სამმაგი ინტეგრალი

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {x = h_1 (y)} ^ {x = h_2 (y)} int_ {z = u_1 (x, y)} ^ {z = u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz , dx , dy. ]

მაგალითი ( PageIndex {3A} ): სამმაგი ინტეგრალის შეფასება ზოგადად შემოსაზღვრულ რეგიონში

შეაფასეთ ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი (f (x, y, z) = 5x - 3y ) თვითმფრინავებით შემოზღუდულ მყარ ტეტრაედრენზე (x = 0, , y = 0, , z = 0 ) და (x + y + z = 1 ).

გამოსავალი

ნახაზი ( PageIndex {6} ) გვიჩვენებს მყარ ტეტრაედრონს (E ) და მის პროექციას (D ) (xy ) - სიბრტყეზე.

ჩვენ შეგვიძლია აღწეროთ მყარი რეგიონის ტეტრაედრი, როგორც

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y დიდი }. არა რიცხვი ]

აქედან გამომდინარე, სამმაგი ინტეგრალია

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx. არა რიცხვი ]

გაანგარიშების გასამარტივებლად, პირველ რიგში შეაფასეთ ინტეგრალი ( displaystyle int_ {z = 0} ^ {z = 1-x-y} (5x - 3y) , dz ). Ჩვენ გვაქვს

[ int_ {z = 0} ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz = (5x - 3y) z bigg | _ {z = 0} ^ {z = 1-xy} = (5x - 3y) (1 - x - y). არაურიცხვი ]

ახლა შეაფასეთ ინტეგრალი

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy, nonumber ]

მოპოვება

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy = dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1). არაურიცხველი ]

დაბოლოს შეაფასეთ

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1) , dx = dfrac {1} {12}. არაფრის ]

ყველაფრის ერთად განთავსება, ჩვენ გვაქვს

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

როგორც ჩვენ ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით ვიყენეთ [ iint_D 1 , dA ] ზოგადად შემოსაზღვრული რეგიონის ფართის საპოვნელად (D ), ასევე შეგვიძლია გამოვიყენოთ [ iiint_E 1 , dV ], ზოგადი მყარი შემოსაზღვრული რეგიონი (E ). შემდეგი მაგალითი ასახავს მეთოდს.

მაგალითი ( PageIndex {3B} ): ტომის პოვნა სამეული ინტეგრალის შეფასებით

იპოვნეთ მარჯვენა პირამიდის მოცულობა, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძე (xy ) - სიბრტყეზე ([- 1,1] ჯერ [-1,1] ) და ვერტიკში წერტილში ((0, 0 , 1) ) როგორც ნაჩვენებია შემდეგ ფიგურაში.

გამოსავალი

ამ პირამიდაში (z ) - ის მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე იცვლება და თითოეულ სიმაღლეზე (ზ ) პირამიდის ჯვარი სექცია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ((ზ ) არის კვადრატი

[[- 1 + z, , 1 - z] ჯერ [-1 + z, , 1 - z]. უთვალო ]

ამრიგად, პირამიდის მოცულობა არის [ iiint_E 1 , dV არა რიცხვი ], სადაც

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z big }. nonumber ]

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს

[ დაიწყოს {გასწორება *} iiint_E 1 , dV = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} int_ {x = -1 + z} ^ {x = 1-z} 1 , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} (2 - 2z) , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} (2 - 2z) ^ 2 , dz = dfrac {4 } {3}. დასრულება {გასწორება *} ]

აქედან გამომდინარე, პირამიდის მოცულობა არის ( dfrac {4} {3} ) კუბური ერთეული.

სავარჯიშო ( PageIndex {3} )

განვიხილოთ მყარი სფერო (E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 big } ). დაწერეთ სამმაგი ინტეგრალი [ iiint_E f (x, y, z) , dV nonumber ] თვითნებური ფუნქციისთვის (f ), განმეორებადი ინტეგრალისთვის. შემდეგ შეაფასეთ ეს სამმაგი ინტეგრალი (f (x, y, z) = 1 ). გაითვალისწინეთ, რომ ეს იძლევა სფეროს მოცულობას სამმაგი ინტეგრალის გამოყენებით.

მინიშნება

მიჰყევით წინა მაგალითში მოცემულ ნაბიჯებს. გამოიყენეთ სიმეტრია.

პასუხი

[ დაიწყოს {გასწორება *} iiint_E 1 , dV = 8 int_ {x = -3} ^ {x = 3} int_ {y = - sqrt {9-z ^ 2}} ^ {y = sqrt {9-z ^ 2}} int_ {z = - sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} 1 , dz , dy , dx = 36 pi , text {კუბური ერთეულები}. დასრულება {გასწორება *} ]

ინტეგრაციის რიგის შეცვლა

როგორც უკვე ვნახეთ ორმაგ ინტეგრალებში ზოგადად შემოფარგლულ რეგიონებზე, ინტეგრაციის რიგის შეცვლა ხდება ხოლმე გამოთვლის გამარტივების მიზნით. მართკუთხა უჯრაზე სამმაგი ინტეგრალით, ინტეგრაციის რიგი არ ცვლის გაანგარიშების სირთულის დონეს. ამასთან, სამმაგი ინტეგრალით ზოგადად შემოფარგლულ რეგიონზე, ინტეგრაციის შესაბამისი წესრიგის არჩევამ შეიძლება გაამარტივოს გამოთვლა საკმაოდ. ზოგჯერ პოლარული კოორდინატების შეცვლა ასევე შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს. ჩვენ აქ ვაჩვენებთ ორ მაგალითს.

მაგალითი ( PageIndex {4} ): ინტეგრაციის რიგის შეცვლა

განვიხილოთ განმეორებითი ინტეგრალი

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y} f (x, y, z ) , dz , dy , dx. ]

ინტეგრაციის თანმიმდევრობა აქ პირველია შემდეგ y, და მერე x. გამოხატეთ ეს ინტეგრალი ინტეგრაციის წესრიგის შეცვლით, პირველ რიგში უნდა იყოს (x ), შემდეგ (z ) და შემდეგ (y ). შეამოწმეთ, რომ ინტეგრალის მნიშვნელობა იგივეა, თუ მოდით (f (x, y, z) = xyz ).

გამოსავალი

ამის საუკეთესო გზაა რეგიონის (E ) და მისი პროგნოზების ესკიზება სამივე საკოორდინაციო სიბრტყეზე თითოეულზე. ამრიგად, მოდით

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2, , 0 leq z leq y დიდი }. არა რიცხვი ]

და

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} f (x, y , z) , dz , dy , dx = iiint_E f (x, y, z) , dV. nonumber ]

ჩვენ უნდა გამოვხატოთ ეს სამმაგი ინტეგრალი, როგორც

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy. nonumber ]

რეგიონის გაცნობისას ჩვენ შეგვიძლია დავხატოთ შემდეგი პროგნოზები (სურათი ( PageIndex {8} )):

(xy ) - თვითმფრინავი არის (D_1 = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2 big } = {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, , sqrt {y} leq x leq 1 big }, )

(yz ) - თვითმფრინავი არის (D_2 = big {(y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 big } ), და

(xz ) - სიბრტყეზე არის (D_3 = big {{x, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x ^ 2 big } ).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია აღვწეროთ იგივე რეგიონი (E ), როგორც ( big {(x, y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 , , sqrt {y} leq x leq 1 big } ), და შესაბამისად, სამმაგი ინტეგრალი ხდება

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} f (x, y, z) , dx , dz , dy ]

ახლა ჩათვალეთ, რომ (f (x, y, z) = xyz ) თითოეულ ინტეგრალში. მაშინ ჩვენ გვაქვს

[ start {align *} int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2 } xyz , dz , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} მარცხენა. მარცხენა [xy dfrac {z ^ 2} {2} მარჯვნივ | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} მარჯვნივ] , dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} მარცხენა (x dfrac {y ^ 5} {2} მარჯვნივ) dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} მარცხენა. მარცხენა [x dfrac {y ^ 6} {12} მარჯვნივ | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} მარჯვნივ] dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {x ^ {13}} {12} dx = მარცხენა. dfrac {x ^ {14}} {168} მარჯვნივ | _ {x = 0} ^ {x = 1} = dfrac {1} {168}, დასრულება {გასწორება *} ]

[ start {align *} int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} xyz , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} მარცხენა. მარცხენა [ yz dfrac {x ^ 2} {2} მარჯვნივ | _ { sqrt {y}} ^ {1} მარჯვნივ] dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ { z = 0} ^ {z = y ^ 2} მარცხნივ ( dfrac {yz} {2} - dfrac {y ^ 2z} {2} მარჯვნივ) dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} დარჩა. მარცხენა [ dfrac {yz ^ 2} {4} - dfrac {y ^ 2z ^ 2} {4} მარჯვნივ | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} მარჯვნივ] dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} მარცხენა ( dfrac {y ^ 5} {4} - dfrac {y ^ 6} {4} მარჯვნივ) dy = მარცხენა. მარცხენა ( dfrac {y ^ 6} {24} - dfrac {y ^ 7} {28} მარჯვნივ) მარჯვნივ | _ {y = 0} ^ {y = 1} = dfrac {1} {168 } დასრულება {გასწორება *} ]

პასუხები ემთხვევა.

სავარჯიშო ( PageIndex {4} )

დაწერეთ ხუთი განსხვავებული განმეორებადი ინტეგრალი, მოცემული ინტეგრალის ტოლი

[ int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {y = 0} ^ {y = 4-z} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x , y, z) , dx , dy , dz. nonumber ]

მინიშნება

მიყევით ნაბიჯებს წინა მაგალითში, გამოიყენეთ რეგიონი (E ) როგორც ( big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt {y} big } ) და აღწეროს და დახატოს პროგნოზები სამივე თვითმფრინავზე, ხუთი განსხვავებული დრო.

პასუხი

[(i) , int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {4-z}} int_ {y = x ^ 2} ^ { y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {z = 0 } ^ {z = 4-y} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x, y, z) , dx , dz , dy, , (iii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} int_ {z = 0} ^ {Z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dx , dy, , nonumber ]

[(iv) , int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = 0} ^ {z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dy , dx, , (v) int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4-x ^ 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dz , dx nonumber ]

მაგალითი ( PageIndex {5} ): ინტეგრაციის წესრიგისა და კოორდინაციის სისტემების შეცვლა

შეაფასეთ სამმაგი ინტეგრალი

[ iiint_ {E} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV, nonumber ]

სადაც (E ) არის რეგიონი, რომელიც შემოიფარგლება პარაბოლოიდით (y = x ^ 2 + z ^ 2 ) (სურათი ( PageIndex {9} )) და სიბრტყე (y = 4 ).

გამოსავალი

მყარი რეგიონის (E ) პროექცია (xy ) - სიბრტყეზე არის რეგიონი, რომელიც შემოსაზღვრულია ზემოთ (y = 4 ) და ქვემოთ პარაბოლით (y = x ^ 2 ), როგორც ნაჩვენებია.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს

[E = big {(x, y, z) , | , -2 leq x leq 2, , x ^ 2 leq y leq 4, , - sqrt {y - x ^ 2} leq z sqrt {y - x ^ 2} big }. Nonumber ]

სამმაგი ინტეგრალი ხდება

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx. nonumber ]

ამ გამოთქმის გამოთვლა ძნელია, ამიტომ გაითვალისწინეთ (E ) - ის პროექცია (xz ) - სიბრტყეზე. ეს არის წრიული დისკი (x ^ 2 + z ^ 2 leq 4 ). ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx. Nonumber ]

აქ ინტეგრაციის თანმიმდევრობა იცვლება პირველიდან (z ) შემდეგ (y ) და შემდეგ (x ) პირველიდან (y ) შემდეგ შემდეგ (z ) და შემდეგ (x ) - მდე. მალე გაირკვევა, თუ როგორ შეიძლება ეს ცვლილება სასარგებლო იყოს გამოთვლისთვის. Ჩვენ გვაქვს

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2 } , dz , dx. nonumber ]

ახლა გამოიყენეთ პოლარული ჩანაცვლება (x = r , cos , theta, , z = r , sin , theta ) და (dz , dx = r , dr , d theta ) (xz ) - სიბრტყეში. ეს არსებითად იგივეა, რაც როდესაც (xy ) - სიბრტყეზე ვიყენებდით პოლარულ კოორდინატებს, გარდა იმისა, რომ (y ) ვიცვლით (z ) - ით. შესაბამისად, ინტეგრაციის საზღვრები იცვლება და ჩვენ გვაქვს (r ^ 2 = x ^ 2 + z ^ 2 ) გამოყენებით,

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dx = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ დარჩა {r = 2} (4 - r ^ 2) rr , dr , d theta = int_0 ^ {2 pi} . მარცხენა [ dfrac {4r ^ 3} {3} - dfrac {r ^ 5} {5} მარჯვნივ | _0 ^ 2 მარჯვნივ] , d theta = int_0 ^ {2 pi} dfrac { 64} {15} , d theta = dfrac {128 pi} {15} არაურიცხველი ]

სამი ცვლადის ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ ვიპოვეთ ორი ცვლადის ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა სიბრტყეზე მდებარე რეგიონის ორმაგი ინტეგრალის შეფასებით და შემდეგ რეგიონის ფართობით გაყოფით. ანალოგიურად, შეგვიძლია ვნახოთ ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა სამ ცვლადში, მყარი რეგიონის სამმაგი ინტეგრალის შეფასებით და შემდეგ მყრის მოცულობით გაყოფით.

სამი ცვლადის ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა

თუ (f (x, y, z) ) ინტეგრირდება მყარ შემოსაზღვრულ რეგიონში (E ) დადებითი მოცულობით (V , (E), ) მაშინ ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა არის

[f_ {ave} = dfrac {1} {V , (E)} iiint_E f (x, y, z) , dV. ]

გაითვალისწინეთ, რომ მოცულობა არის

[V , (E) = iiint_E 1 , dV. ]

მაგალითი ( PageIndex {6} ): საშუალო ტემპერატურის პოვნა

ტემპერატურა ((x, y, z) ) მყარი (E ) წერტილში, რომელიც შემოსაზღვრულია კოორდინატების სიბრტყეებით და სიბრტყით (x + y + z = 1 ) არის (T (x, y, z) = (xy + 8z + 20) , ტექსტი {°} ტექსტი {C} ). იპოვნეთ საშუალო ტემპერატურა მყარზე.

გამოსავალი

გამოიყენეთ ზემოთ მოცემული თეორემა და სამმაგი ინტეგრალი, რომ იპოვოთ მრიცხველი და მნიშვნელი. შემდეგ გააკეთე დაყოფა. გაითვალისწინეთ, რომ თვითმფრინავს (x + y + z = 1 ) აქვს გადაკვეთა ((1,0,0), , (0,1,0), ) და ((0,0,1) ) რეგიონი (E ) ასე გამოიყურება

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y big }. nonumber ]

აქედან გამომდინარე, ტემპერატურის სამმაგი ინტეგრალია

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac {147} {40}. არა რიცხვი ]

მოცულობის შეფასებაა

[V , (E) = iiint_E 1 , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} 1 , dz , dy , dx = dfrac {1} {6}. არა რიცხვი ]

აქედან საშუალო მნიშვნელობაა

[T_ {ave} = dfrac {147/40} {1/6} = dfrac {6 (147)} {40} = dfrac {441} {20} , text {°} text { C} არაურიცხვი ].

სავარჯიშო ( PageIndex {6} )

იპოვნეთ ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა (f (x, y, z) = xyz ) კუბზე, რომლის სიგრძეა 4 ერთეული გვერდებზე პირველ ოქტანტში, ერთი სათავედან ერთი ვერტიკით და საკოორდინატო ღერძების პარალელურად.

მინიშნება

მიჰყევით წინა მაგალითში მოცემულ ნაბიჯებს.

პასუხი

(f_ {ave} = 8 )


გამოთვლა: გვიანი ტრანსცენდენტული, მე -11 გამოცემა Binder Ready ვერსია ცდილობს გაზარდოს სტუდენტის გაგება და კონცეპტუალური გაგება ბალანსის საშუალებით სიმარტივისა და განმარტებების სიწმინდეს შორის, მათემატიკური ხასიათის მათემატიკასა და შესანიშნავ სავარჯიშოებს, პროგრამებსა და მაგალითებს შორის. ანტონი პედაგოგიურად უახლოვდება კალკულს ოთხი წესის საშუალებით და წარმოაჩენს ცნებებს ვერბალური, ალგებრული, ვიზუალური და რიცხვითი თვალსაზრისით.

ინსტრუქტორი
Სტუდენტი

მსგავსი პროდუქტები

ჰოვარდ ანტონი, ირლ ბივინსი, სტივენ დევისი

ჰოვარდ ანტონი, ირლ ბივინსი, სტივენ დევისი


14.5: სამმაგი ინტეგრალები

ანატოლი სვიშჩუკი
ელ.ფოსტა: [email protected]
ოფისი: MS552
ტელ .: (403) 220-3274
Სამუშაო საათები:
M: 11: 00 am 12: 00pm

ლაბორატორიული განყოფილებები:
B10: W 17: 00-18: 15 (ST 139)
B11: R 17: 00-18: 15 (ICT 114)
B12: R 17: 00-18: 15 (ICT 116)

კლასის პირველი დღე: სამშაბათს, 2020 წლის 14 იანვარს, 12:30 საათზე, CHC 119
შუალედური პერიოდი: კლასს გარეთ, შაბათი, 2016 წლის 7 მარტი: 2: 30-4: 00 საათამდე (ადგილი: ST 148)
Საბოლოო გამოცდა:
ორშაბათი, 20 აპრილი, 2020: 15:30 საათიდან 5:30 საათამდე ოთახი-TBA
გაკვეთილის ბოლო დღე: სამშაბათს, 2020 წლის 14 აპრილს, საღამოს 12:30 საათზე, CHC 119

რეკომენდებული ტექსტი:
გამოთვლა, სრული კურსი, მე -9 რედაქტორი, რ.ა. ადამსი და ც. ესექსი, Pearson Education Canada - გაიყიდა უნივერსიტეტის წიგნის მაღაზიაში

კურსის ინფორმაციის ფურცელი
(კურსის მონახაზით, შეფასების სისტემით, კალენდრით, შენიშვნებით, ყურადღებით, ექიმის / მრჩეველის ფორმით და ა.შ.)

კურსის ვებ გვერდი:
ამ კურსის მიმდინარე ოფიციალური სილაბუსი ხელმისაწვდომია კედლის ჯიბეებში MS 476 და
ვებ – გვერდზე www.math.ucalgary.ca კურსის ჩამონათვალი – ბაკალავრიატი.
ამ კურსისთვის ასევე არის ვებ – გვერდი, რომელიც შეიცავს კურსის მონახაზს, კურსის სავარაუდო გრაფიკს, შეფასების სქემას, კლასის მნიშვნელოვან თარიღებს და ა.შ.
კლასში გაკეთებული განცხადებები განთავსდება იქ (იხილეთ ამ ვებ-გვერდის ბოლოს). ამ ვებ – გვერდის მისამართია: http://people.ucalgary.ca/

საკლასო სამუშაო:
კლასში ლექციები ტიპიური მაგალითებით


14.5: სამმაგი ინტეგრალები

ამ განყოფილებაში ჩვენ განვიხილავთ ამ მასალის მრავალი ინტეგრალის ცალკეულ გამოყენებას (გარდა ფართისა და მოცულობის ინტერპრეტაციისა). ეს არ არის პირველი შემთხვევა, როდესაც ჩვენ ვუყურებთ ზედაპირის ფართობს. ჩვენ პირველად ვნახეთ გამოთვლა II- ში, თუმცა ამ გარემოში ჩვენ ვუყურებდით რევოლუციის მყარ ზედაპირს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვათვალიერებდით მყარი მასალის ზედაპირს, რომელიც მიღებული იყო (x ) ან (y ) ღერძის შესახებ ფუნქციის მოტრიალებით. ამ სექციაში ჩვენ გვინდა გავითვალისწინოთ ბევრად ზოგადი გარემო, თუმცა თქვენ გაითვალისწინებთ, რომ აქ ფორმულა ძალიან ჰგავს ფორმულას, რომელიც ვნახეთ მეორე ანგარიშში.

აქ გვსურს ვიპოვოთ (z = f ) მარცხნივ მოცემული ზედაპირის ზედაპირის ფართობი ( მარჯვნივ) ) სადაც ( მარცხნივ ( მარჯვნივ) ) არის წერტილი რეგიონიდან (D ) (xy ) - სიბრტყეში. ამ შემთხვევაში ზედაპირის ფართობი მოცემულია,

მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

გახსოვდეთ, რომ პირველი ოქტანტი არის წილის ნაწილი xyz-აქსის სისტემა, რომელშიც სამივე ცვლადი დადებითია. ჯერ ავიღოთ თვითმფრინავის იმ ნაწილის ესკიზი, რომელიც ჩვენთვის საინტერესოა.

ჩვენ ასევე დაგვჭირდება რეგიონის ესკიზი (D ).

გახსოვდეთ, რომ რეგიონის (D ) მისაღებად შეგვიძლია ვიფიქროთ, რომ პირდაპირ თვითმფრინავის თავზე ვიდექით და რასაც ვხედავთ არის რეგიონი (D ). ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ განტოლება სამკუთხედის ჰიპოტენუზისთვის იმის გაცნობიერებით, რომ ეს სხვა არაფერია, თუ არა ხაზი, სადაც თვითმფრინავი კვეთს (xy ) - სიბრტყეს და ასევე ვიცით, რომ (z = 0 ) (xy) ) - თვითმფრინავი. (Z = 0 ) სიბრტყის განტოლებაში ჩართვა მოგვცემს ჰიპოტენუზის განტოლებას.

გაითვალისწინეთ, რომ ზედაპირის ფორმულის გამოსაყენებლად საჭიროა ფუნქცია გვქონდეს სახით (z = f მარცხენა) ( მარჯვნივ) ) და ა.შ. (z) - ის გადაჭრა და ნაწილობრივი წარმოებულების აღება იძლევა,

(D ) განმსაზღვრელი ლიმიტებია,

[0 le x le 2 hspace <0.5in> 0 le y le - frac <3> <2> x + 3 ]

ამ შემთხვევაში ვეძებთ (z = xy ) ნაწილის ზედაპირს, სადაც ( მარცხენა ( მარჯვნივ) ) მოდის რადიუსის 1 დისკიდან, რომლის ცენტრშია წარმოშობა, რადგან ეს არის რეგიონი, რომელიც მოცემული ცილინდრის შიგნით მდებარეობს.

აქ არის ნაწილობრივი წარმოებულები,

ზედაპირის განუყოფელი ნაწილია:

იმის გათვალისწინებით, რომ (D ) არის დისკი, აზრი აქვს ამ ინტეგრალის გაკეთებას პოლარულ კოორდინატებში.


M324 A Advanced Multivariable Calculus

ეს კურსი არის მათემატიკის 126-ის გაგრძელება. ყურადღება გამახვილებულია ძირითადად მრავალ ცვლადში ინტეგრაციაზე. ჩვენ განვიხილავთ ორმაგ და სამმაგ ინტეგრალთა გრადიენტებს და მიმართულებითი წარმოებულების ხაზის და ზედაპირის ინტეგრალებს და მწვანე, სტოქსის და გაუსის თეორემებს. კურსის მეორე ნახევარში ვექტორული ველები მნიშვნელოვან როლს შეასრულებენ - საოცარი გადაცემა მარცხნივ (კრედიტი: Houdini Gubbins ბლოგის ავტორი) ასეთი ვექტორული ველის ნაკადის ხაზების მაგალითია.


14.5: სამმაგი ინტეგრალები

შენიშვნა: დამატებითი ინფორმაცია, შესაძლო ცვლილებებით, დაემატება გამოცდის თარიღის მოახლოებასთან ერთად

წესები: დაუშვებელია კალკულატორი, ნოტები, ელექტრონული მოწყობილობები (ყურსასმენების ჩათვლით) და ა.შ. საგნების გამოცდა უნდა მოხდეს საგამოცდო პერიოდში (მაგ., ზურგჩანთაში, ჯიბეში). ნულიდან მიღებული ქაღალდი მოგეცემათ თქვენი მოხერხებულობისთვის, მაგრამ ნულიდან ქაღალდზე შესრულებული სამუშაო არ ფასდება

გამოცდა 1: პარ 20 სექტემბერი (2 საათი)

  • ჩამოწერეთ განტოლებები ხაზები და თვითმფრინავები 3 განზომილებაში
  • განსაზღვრავს კუთხე ორ ვექტორს, ხაზს ან სიბრტყეს ან კუთხეს წრფესა და სიბრტყეს შორის
  • იპოვნე (შესაძლოა ერთეული) ნორმალური ვექტორი მოცემული წერტილის სიბრტყემდე ან იპოვნეთ მოცემული ვექტორის ნორმალური სიბრტყე, რომელიც შეიცავს მოცემულ წერტილს
  • მესმის პარამეტრული / ვექტორული განტოლებები მოსახვევებისთვის 3 განზომილებაში
  • იპოვნე (შესაძლოა ერთეული) tangent ვექტორი (ან ტანგენტური ხაზი) ​​მოცემულ წერტილში მრუდისკენ
  • იპოვო რკალის სიგრძე სიბრტყის ან კოსმოსური მრუდის
  • პოვნა / ჩანახატი დომენი, დიაპაზონი, გრაფიკები 2 ცვლადის მარტივი ფუნქციებისათვის. ასევე შეძლებთ იპოვონ დონის მოსახვევები და კვეთები (კვალი).
  • დადგინდეს ნაწილობრივი წარმოებულები, გრადიენტები 2 ან 3 ცვლადის ფუნქციების და გამოიყენეთ ეს განტოლებების ჩამოსაწერად tangent თვითმფრინავი გრაფიკის z = f (x, y) წერტილში. ამის გაკეთება შეიძლება დაგჭირდეთ tangent თვითმფრინავის გამოყენება ხაზოვანი მიახლოება 2 ცვლადი ფუნქციის მნიშვნელობის მიახლოება წერტილზე.
  • გამოთვლა მიმართულებითი წარმოებულები 2 ან 3 ცვლადის ფუნქციების ფუნქციონირება, შეუძლია განსაზღვროს 2 ან 3 ცვლადის ფუნქციის უსწრაფესი ზრდის ან შემცირების მიმართულება (მაგ., გრადიენტი გადაიყვანოს ერთეულის ვექტორად)
  • იპოვნე ადგილობრივი / აბსოლუტური მინიმუმი / მაქსიმუმი, ისევე, როგორც უნაგირის წერტილები2 ცვლადის ფუნქციების შესახებ. (იფიქრეთ: კრიტიკულ წერტილებზე და მეორე წარმოებულების ტესტზე.) თქვენ შეიძლება მოგიწიოთ საქმე სასაზღვრო წერტილების მქონე რეგიონებთან.
  • ch 12 მიმოხილვა
    კონცეფციის შემოწმება: 1-6, 8,9, 11-18
    ჭეშმარიტი-ყალბი: 1-10, 15-20
    სავარჯიშოები: 1, 6, 15, 17-19, 28-34, 37
  • ch 13 მიმოხილვა:
    კონცეფციის შემოწმება: 1-3, 5, 8 ა
    ჭეშმარიტი-მცდარი: 1-4, 11, 14
    სავარჯიშოები: 1, 3, 5, 8, 9, 17, 19
  • ch 14 მიმოხილვა:
    კონცეფციის შემოწმება: 1-4, 5bc, 6, 7a, 8, 13-17
    მართალი-მცდარი: 4, 7, 9,
    სავარჯიშოები: 1-5, 13, 19, 20, 25, 27, 33, 43-45, 47, 51, 52, 55, 63

დასკვნითი გამოცდა: 17 ოქტომბერი (14 საათიდან 14 საათამდე)

  • გამოთვლა ორმაგი და სამმაგი ინტეგრალები კარტესიან (მართკუთხა) კოორდინატებში. ეს მოიცავს განმეორებითი ინტეგრალების დაყენებას და, შესაძლოა, წესრიგის შეცვლას.
  • გამოთვლა ტერიტორიები რეგიონებში თვითმფრინავში და ტომი რეგიონების 3 სივრცეში.
  • შეძლებენ კარტეზიან კოორდინატებს შორის წინ და უკან გადასვლას და პოლარული კოორდინატებიან ცილინდრული და სფერული კოორდინატები, ამ სხვადასხვა საკოორდინატო სისტემებს შორის ინტეგრალების თარგმნის ჩათვლით.
  • ვექტორული ველები: შეძლებენ მათ დახატვას (R ^ 2), განსაზღვრეთ არის თუ არა ისინი კონსერვატიული (R ^ 2 ან R ^ 3), გამოთვალეთ დახვევა და div (R ^ 3) და იცოდეთ ძირითადი ფაქტები div და curl– ის შესახებ
  • ხაზის ინტეგრალები: შეძლოს სხვადასხვა სახის სტრიქონების ინტეგრალების გამოთვლა (ds, dx, dy, dz და ვექტორული ველის ხაზების ინტეგრალები), როგორც უშუალოდ ასევე ასევე ფუნდამენტური თეორემა და მწვანეს თეორემა
  • ზედაპირის ფართობი: შეეძლოს სიბრტყის ზედაპირის გამოთვლა ორმაგი ინტეგრალით, როგორც ch 15, წრფის ინტეგრალებით ds, ან პარამეტრული ზედაპირების გამოყენებით, როგორც 16,6 წმ.
  • ზედაპირის ინტეგრალები (სკალარული ველები): შეძლოს ზედაპირების პარამეტრირება და ფუნქციების ზედაპირული ინტეგრალების გამოთვლა
  • ზედაპირის ინტეგრალები (ვექტორული ველები): შეეძლოს ვექტორული ველების ზედაპირული ინტეგრალების გამოთვლა /ნაკადი, როგორც პირდაპირ, ასევე დივერგენციის თეორემა, და ასევე გამოიყენოთ სტოქსის თეორემა R ^ 3-ში წრფის ინტეგრალის გამოთვლა, როგორც ზედაპირის ინტეგრალი.

თქვენ უნდა ელით, რომ დასკვნითი გამოცდის ფორმატი და ხანგრძლივობა მსგავსი იქნება შუალედური პერიოდისა (რამდენიმე ჭეშმარიტი, ცრუ / კონცეპტუალური / მოკლე პასუხის პასუხი და რამდენიმე პრობლემა, რაც უფრო მეტად არის ჩართული)


ს პ რ ი ნ G B R E A K!

M 03/25 მიმდინარეობს დასრულება ვექტორული ფუნქციები და პარამეტრიზებული მრუდები სამუშაო ფურცელი. Მიმოხილვა.

W 03/27 მიდის ხაზის ინტეგრალები სამუშაო ფურცელი. Მიმოხილვა.

M 04/01 დაწვრილებით შესახებ ხაზის ინტეგრალები . მეტი ხაზის ინტეგრალები.

W 04/03 დასრულდა ხაზის ინტეგრალების თეორემები სამუშაო ფურცელი. Მიმოხილვა.

M 04/15 მიმდინარეობს დასრულება დივერგენცია და Curl სამუშაო ფურცელი. Მიმოხილვა.

W 04/17 მიდის პარამეტრიული ზედაპირები სამუშაო ფურცელი. Მიმოხილვა.

M 04/22 მიმდინარეობს დასრულება ხაზის ინტეგრალები vs ზედაპირული ინტეგრალები სამუშაო ფურცელი (სკალარული ზედაპირის ინტეგრალები). Მიმოხილვა.

W 04/24 მიმდინარეობს დასრულება ხაზის ინტეგრალები vs ზედაპირული ინტეგრალები სამუშაო ფურცელი (ვექტორული ზედაპირის ინტეგრალები). Მიმოხილვა.


Ლექციის ჩანაწერები

  • ნაწილი 11.1განყოფილება 11.1. პარამეტრიული განტოლებები_მოსწავლეები აქ ვისწავლით სხვადასხვა მრუდების პარამეტრირებას. შემდეგ ანიმაციებს, რომლებიც შეიცავს შემდეგ ბმულს (დააჭირეთ ბმულს), ჩვენ გამოვიტანთ კლასში. ასევე განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ პარამეტრიული მრუდის გასწვრივ მოძრავი ნაწილაკის სიჩქარე.
  • ნაწილი 11.3 კითხვის დავალება (წაიკითხეთ კლასამდე)
  • ნაწილი 11.3 კითხვის დავალება ნაწილი 11.4 (წაიკითხეთ გაკვეთილის დაწყებამდე)
  • Section 11.4 class notes Section 11.4 (rotate clockwise to view)
  • Read Section 12.1 before class (Monday September 14th)
  • Section 12.3 Dot Product
  • Section 12.4 Cross productHandouts (worksheet)

Yankee Hill Machine

Yankee Hill Machine Co., Inc. does not offer for sale any controlled product (serialized parts) directly to the end user. This includes Complete YHM-15s, Sound Suppressors, and Lower Receivers. Follow these steps when purchasing to ensure that you receive your order as quickly as possible.

1. Visit (or call) your local firearms dealer and tell them exactly what model number you are looking for (If ordering a sound suppressor keep in mind the dealer needs to be a Class 3 dealer).If your dealer of choice does not currently a offer YHM products don't worry. They can easily become a YHM dealer.

2. IMPORTANT NOTE: EVEN IF A PRODUCT IS OUT OF STOCK ONLINE, DEALERS CAN BACK ORDER THE ITEM AT ANY TIME. Placing your order through a dealer gets you on the back order list and ensures that you will receive your product in the fastest manner possible. This can be applied to any item you are looking for on the website.

Once the order is placed, as soon as the product is ready to go out the door the dealer will be notified and the product will be on its way.

3. Once the dealer receives your order they should contact you to come and pick it up.

You, the purchaser are responsible to know your local, regional, state and federal firearms regulations regarding assault rifles and NFA weapons (Such as sound suppressors and short barreled rifles) when purchasing our products. Some of our products in this catalog require a Federal Firearms License and/or S.O.T for purchase.

Sign in to YHM's dealer portal to take advantage of the dealer direct sales from YHM. Dealers who are new to the site must request access before dealer pricing becomes available.


14.8 References

Ashikmin, Michael, and Peter Shirley. 2000. "An Anisotropic Phong Light Reflection Model." Technical report UUCS-00-014, University of Utah.

Borshukov, George, and J. P. Lewis. 2003. "Realistic Human Face Rendering for The Matrix Reloaded." In ACM SIGGRAPH 2003 Sketches and Applications.

Borshukov, George, and J. P. Lewis. 2005. "Fast Subsurface Scattering." შიგნით ACM SIGGRAPH 2005 Course on Digital Face Cloning.

d'Eon, Eugene. 2007. "NVIDIA Demo Team Secrets�vanced Skin Rendering." Presentation at Game Developer Conference 2007. Available online at http://developer.download.nvidia.com/presentations/2007/gdc/Advanced_Skin.pdf.

d'Eon, Eugene, David Luebke, and Eric Enderton. 2007. "Efficient Rendering of Human Skin." შიგნით Rendering Techniques 2007 (Proceedings of the Eurographics Symposium on Rendering), Grenoble, France.

Dachsbacher, Carsten, and Marc Stamminger. 2004. "Translucent Shadow Maps." შიგნით Proceedings of the 13th Eurographics Workshop on Rendering, pp. 197�.

Debevec, Paul, Tim Hawkins, Chris Tchou, Haarm-Pieter Duiker, Westley Sarokin, and Mark Sagar. 2000. "Acquiring the Reflectance Field of a Human Face." შიგნით Proceedings of ACM SIGGRAPH 2000, pp. 145�.

Donner, Craig, and Henrik Wann Jensen. 2005. "Light Diffusion in Multi-Layered Translucent Materials." შიგნით ACM Transactions on Graphics (Proceedings of SIGGRAPH 2005) 24(3).

Donner, Craig, and Henrik Wann Jensen. 2006. "A Spectral BSSRDF for Shading Human Skin." შიგნით Rendering Techniques (Proceedings of the Eurographics Symposium on Rendering 2006), pp. 409�.

Donner, Craig, and Henrik Wann Jensen. 2007. "Rendering Translucent Materials Using Photon Diffusion." შიგნით Rendering Techniques (Proceedings of the Eurographics Symposium on Rendering 2007).

Gosselin, David. 2004. "Real-Time Skin Rendering." Presentation at Game Developers Conference 2004. Available online at http://ati.de/developer/gdc/Gosselin_skin.pdf.

Green, Simon. 2004. "Real-Time Approximations to Subsurface Scattering." შიგნით GPU Gems, edited by Randima Fernando, pp. 263�. Addison-Wesley.

Hanrahan, Pat, and Wolfgang Krueger. 1993. "Reflection from Layered Surfaces due to Subsurface Scattering." შიგნით Computer Graphics (SIGGRAPH '93 Proceedings), pp. 165�.

Heidrich, Wolfgang, and Hans-Peter Seidel. 1999. "Realistic, Hardware-accelerated Shading and Lighting." შიგნით Proceedings of SIGGRAPH 99, pp. 171�. Available online at http://www.cs.ubc.ca/

Jensen, Henrik Wann, Stephen R. Marschner, Marc Levoy, and Pat Hanrahan. 2001. "A Practical Model for Subsurface Light Transport." შიგნით Proceedings of SIGGRAPH 2001.

Jensen, Henrik Wann, and Juan Buhler. 2002. "A Rapid Hierarchical Rendering Technique for Translucent Materials." შიგნით ACM Transactions on Graphics (Proceedings of SIGGRAPH 2002) 21(3).

Kautz, Jan, and Michael McCool. 2000. "Approximation of Glossy Reflection with Prefiltered Environment Maps." შიგნით Proceedings of Graphics Interface 2000.

Kelemen, Csaba, and László Szirmay-Kalos. 2001. "A Microfacet Based Coupled Specular-Matte BRDF Model with Importance Sampling." Presentation at Euro-graphics 2001.

Koenderink, Jan, and Sylvia Pont. 2003. "The Secret of Velvety Skin." შიგნით Machine Vision and Applications 14(4), pp. 260�.

Krishnaswamy, Aravind, and Gladimir V. G. Baranoski. 2004. "A Biophysically-Based Spectral Model of Light Interaction with Human Skin." შიგნით Computer Graphics Forum (Proceedings of Eurographics 2004) 23(3).

Ma, Wan-Chun, Tim Hawkins, Pieter Peers, Charles-Felix Chabert, Malte Weiss, and Paul Debevec. 2007. "Rapid Acquisition of Specular and Diffuse Normal Maps from Polarized Spherical Gradient Illumination." შიგნით Rendering Techniques 2007: Euro-graphics Symposium on Rendering.

Pharr, Matt, and Greg Humphreys. 2004. Physically Based Rendering: From Theory to Implementation. Morgan Kaufmann.

Piponi, Dan, and George Borshukov. 2000. "Seamless Texture Mapping of Subdivision Surfaces by Model Pelting and Texture Blending." შიგნით Proceedings of SIGGRAPH 2000, pp. 471�.

Poirer, Guillaume. 2004. "Human Skin Modeling and Rendering." Technical Report CS-2004-05, University of Waterloo, January 2004.

Schlick, Christophe. 1993. "A Customizable Reflectance Model for Everyday Rendering." შიგნით Fourth Eurographics Workshop on Rendering, Paris, France, pp. 73�.

Shirley, Peter. 2005. Fundamentals of Computer Graphics. 2nd ed. A K Peters.

Stam, Jos. 2001. "An Illumination Model for a Skin Layer Bounded by Rough Surfaces." შიგნით Rendering Techniques 2001: 12th Eurographics Workshop on Rendering, pp. 39�.

Tariq, Sarah, Andrew Gardner, Ignacio Llamas, Andrew Jones, Paul Debevec, and Greg Turk. 2006. "Efficient Estimation of Spatially Varying Subsurface Scattering Parameters." USC ICT Technical Report ICT-TR-01-2006.

Tuchin, Valery. 2000. Tissue Optics: Light Scattering Methods and Instruments for Medical Diagnosis. SPIE Tutorial Texts in Optical Engineering Vol. TT38. The International Society for Optical Engineering.

Wang, Rui, John Tran, and David Luebke. 2005. "All-Frequency Interactive Relighting of Translucent Objects with Single and Multiple Scattering". შიგნით ACM Transactions on Graphics (Proceedings of SIGGRAPH 2005) 24(3), pp. 1202�.

Weyrich, Tim, W. Matusik, H. Pfister, B. Bickel, C. Donner, C. Tu, J. McAndless, J. Lee, A. Ngan, H. W. Jensen, and M. Gross. 2006. "Analysis of Human Faces Using a Measurement-Based Skin Reflectance Model." შიგნით ACM Transactions on Graphics (Proceedings of SIGGRAPH 2006) 25(3), pp. 1013�.

Thanks to XYZ RGB, Inc., for the high-quality head scans. Special thanks to Doug Jones for allowing us to use his likeness. Thanks to George Borshukov, Paul Debevec, Craig Donner, Henrik Wann Jensen, and Sarah Tariq for answering many questions about their work. Chris Cowan and Cam de Leon were instrumental in preparing the models and textures for real-time rendering and deserve plenty of credit for the images in this book. Thanks also to Craig Duttweiler, Eric Enderton, Larry Gritz, John Tran, and Dan Wexler for proofreading, suggestions, and helpful discussions regarding the material.


Უყურე ვიდეოს: 球面座標 (დეკემბერი 2021).