სტატიები

12.4: რკალის სიგრძე და გამრუდება - მათემატიკა


სასწავლო მიზნები

  • განსაზღვრეთ ნაწილაკის ბილიკის სიგრძე სივრცეში, რკალის სიგრძის ფუნქციის გამოყენებით.
  • ახსენით მრუდის მრუდის მნიშვნელობა სივრცეში და აღნიშნეთ მისი ფორმულა.
  • აღწერეთ მრუდის ნორმალური და ბინორმალური ვექტორების მნიშვნელობა სივრცეში.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ვსწავლობთ ფორმულებს, რომლებიც უკავშირდება მრუდებს, როგორც ორი, ასევე სამ განზომილებაში და ვნახავთ, თუ როგორ უკავშირდება ისინი ერთი და იგივე მრუდის სხვადასხვა თვისებებს. მაგალითად, დავუშვათ, რომ ვექტორის ღირებულების ფუნქცია აღწერს ნაწილაკის მოძრაობას სივრცეში. ჩვენ გვსურს განვსაზღვროთ რამდენად გაიარა ნაწილაკმა მოცემული დროის ინტერვალში, რაც შეიძლება აღწერილიყო მას შემდეგ გატარებული ბილიკის რკალის სიგრძით. ან, ჩავთვალოთ, რომ ვექტორის ღირებულების ფუნქცია აღწერს გზას, რომელსაც ჩვენ ვაშენებთ და გვინდა განვსაზღვროთ რამდენად მკვეთრად მრუდება გზა მოცემულ წერტილში. ეს აღწერილია იმ მომენტისთვის ფუნქციის მრუდით. ამ ნაწილში თითოეულ ამ კონცეფციას ვსწავლობთ.

რკალის სიგრძე ვექტორული ფუნქციებისათვის

ჩვენ ვნახეთ, თუ როგორ აღწერს ვექტორის ღირებულების ფუნქცია მრუდეს ან ორი ან სამი განზომილებით. შეგახსენებთ, რომ პარამეტრიული ფუნქციებით (x = x (t), y = y (t), t_1≤t≤t_2 ) განსაზღვრული მრუდის რკალის სიგრძის ფორმულა მოცემულია

[s = int ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt. არა რიცხვი ]

ანალოგიურად, თუ განვსაზღვრავთ გლუვ მრუდეს ვექტორის მნიშვნელობის ფუნქციის გამოყენებით ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), სადაც (a≤t≤b ), რკალის სიგრძე მოცემულია ფორმულით

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2} dt. არა რიცხვი ]

სამ განზომილებაში, თუ ვექტორის მნიშვნელობის ფუნქცია აღწერილია ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf { j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ) იმავე ინტერვალზე (a≤t≤b ), რკალის სიგრძე მოცემულია

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2+ (h ′ (t)) ^ 2} dt. არა რიცხვი ]

თეორემა: თვითმფრინავისა და კოსმოსური მრუდების რკალის სიგრძის ფორმულები

თვითმფრინავის მრუდი: მოცემულია გლუვი მრუდი (C ) განსაზღვრული ფუნქციით ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), სადაც (t ) მდებარეობს ინტერვალში ([a, b] ), რკალის სიგრძე (C ) ინტერვალზე არის

[ start {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. label {Arc2D} end {align} ]

სივრცის მრუდი: მოცემულია გლუვი მრუდი (C ) განსაზღვრული ფუნქციით ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ), სადაც (t ) მდებარეობს ინტერვალში ([a, b] ), რკალის სიგრძე (C ) ინტერვალზე მეტია

[ start {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. label {Arc3D} end {align} ]

ორი ფორმულა ძალიან ჰგავს ერთმანეთს; ისინი განსხვავდებიან მხოლოდ იმით, რომ სივრცის მრუდეს ორი კომპონენტის ნაცვლად აქვს სამი კომპონენტის ფუნქცია. გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულები განისაზღვრება გლუვი მოსახვევებისთვის: მოსახვევებში, სადაც ვექტორის მნიშვნელობის ფუნქცია ( vecs r (t) ) დიფერენცირებადია არა ნულოვანი წარმოებულით. სიგლუვის მდგომარეობა იძლევა გარანტიას, რომ მრუდს არა აქვს კუპირები (ან კუთხეები), რამაც შეიძლება ფორმულა პრობლემატური გახადოს.

მაგალითი ( PageIndex {1} ): თაღის სიგრძის პოვნა

გამოანგარიშეთ რკალის სიგრძე შემდეგი ვექტორული მნიშვნელობით თითოეული ფუნქციისთვის:

  1. ( vecs r (t) = (3t − 2) , hat { mathbf {i}} + (4t + 5) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t≤5 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t cos t, t sin t, 2t⟩, 0≤t≤2 pi )

გამოსავალი

  1. გამოიყენეთ განტოლება ref {Arc2D}, ( vecs r ′ (t) = 3 , hat { mathbf {i}} + 4 , hat { mathbf {j}} ), ასე რომ

    [ დაიწყოს {align *} s & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} 5 dt = 5t big | ^ {5} _ {1} = 20. დასრულება { გასწორება *} ]

  2. განტოლების ref {Arc3D} გამოყენება, ( vecs r ′ (t) = ⟨ cos t − t sin t, sin t + t cos t, 2⟩ ), ასე რომ

    [ start {align *} s & = int ^ {b} _ {a} vecs r ′ (t) ∥dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos t − t sin t) ^ 2 + ( sin t + t cos t) ^ 2 + 2 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos ^ 2 t − 2t sin t cos t + t ^ 2 sin ^ 2 t) + ( sin ^ 2 t + 2t sin t cos t + t ^ 2 cos ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t + t ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt end {align *} ]

    აქ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ცხრილის ინტეგრაციის ფორმულა

    [ int sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} du = dfrac {u} {2} sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln , მარცხენა | , u + sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} , მარჯვნივ | + C, არა რიცხვი ]

    ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ

    [ დაიწყოს {align *} int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt ; & = frac {1} {2} bigg (t sqrt {t ^ 2 + 5} +5 ln , მარცხენა | t + sqrt {t ^ 2 + 5} მარჯვნივ | bigg) _0 ^ {2π} [4pt] & = frac {1} {2} bigg (2π sqrt {4π ^ 2 + 5} +5 ln bigg (2π + sqrt {4π ^ 2 + 5} ) bigg) bigg) - frac {5} {2} ln sqrt {5} [4pt] & ≈25.343 , text {units}. დასრულება {გასწორება *} ]

სავარჯიშო ( PageIndex {1} )

გამოთვალეთ პარამეტრირებული მრუდის რკალის სიგრძე

[ vecs r (t) = ⟨2t ^ 2 + 1,2t ^ 2−1, t ^ 3⟩, quad 0≤t≤3. არა რიცხვი ]

მინიშნება

გამოიყენეთ განტოლება ref {Arc3D}.

პასუხი

( vecs r ′ (t) = ⟨4t, 4t, 3t ^ 2⟩, ) ასე რომ (s = frac {1} {27} (113 ^ {3/2} −32 ^ {3/2 }) ≈37.785 ) ერთეული

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ამ თავში ადრე შემოღებულ სპირალს. ვექტორის ღირებულების ფუნქცია, რომელიც აღწერს სპირალს, შეიძლება დაიწეროს ფორმით

[ vecs r (t) = R cos მარცხნივ ( dfrac {2πNt} {h} მარჯვნივ) , hat { mathbf {i}} + R sin მარცხნივ ( dfrac {2πNt} { h} right) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}}, 0≤t≤h, nonumber ]

სადაც (R ) წარმოადგენს სპირალის რადიუსს, (h ) წარმოადგენს სიმაღლეს (მანძილი ორ ზედიზედ მოხვევას შორის), ხოლო სპირალი ასრულებს (N ) ბრუნვას. მოდით გამოვიტანოთ ამ სპირალის რკალის სიგრძის ფორმულა ref {Arc3D} განტოლების გამოყენებით. Პირველ რიგში,

[ vecs r ′ (t) = - dfrac {2πNR} {h} sin მარცხნივ ( dfrac {2πNt} {h} მარჯვნივ) , hat { mathbf {i}} + dfrac { 2πNR} {h} cos მარცხნივ ( dfrac {2πNt} {h} მარჯვნივ) , ქუდი { mathbf {j}} + , ქუდი { mathbf {k}}. არა რიცხვი ]

ამიტომ,

[ დაიწყოს {align *} s & = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { bigg (- dfrac {2πNR} {h } sin bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {2πNR} {h} cos bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + 1 ^ 2} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} bigg ( sin ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) + cos ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) +1} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} dt [4pt] & = bigg [t sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} bigg] ^ h_0 [4pt] & = h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2} {h ^ 2}} [4pt] & = sqrt {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2}. end {align *} ]

ეს იძლევა ფორმულას მავთულის სიგრძისთვის, რომელიც საჭიროა სპირალის შესაქმნელად (N ) ბრუნვებით, რომელსაც აქვს რადიუსი (R ) და სიმაღლე (თ ).

რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია

ახლა ჩვენ გვაქვს მრუდის რკალის სიგრძის ფორმულა, რომელიც განისაზღვრება ვექტორით შეფასებული ფუნქციით. მოდით გადავდოთ ეს ერთი ნაბიჯით და განვიხილოთ რა რკალის სიგრძის ფუნქცია არის

თუ ვექტორით შეფასებული ფუნქცია წარმოადგენს ნაწილაკის პოზიციას სივრცეში, როგორც დროის თანაფარდობა, მაშინ რკალის სიგრძის ფუნქცია ზომავს, თუ რამდენად შორს მიდის ეს ნაწილაკი, როგორც დროის ფუნქცია. რკალის სიგრძის ფუნქციის ფორმულა პირდაპირ მიჰყვება რკალის სიგრძის ფორმულას:

[s = int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du. label {arclength2} ]

თუ მრუდი ორ განზომილებაშია, მაშინ ინტეგრალის შიგნით კვადრატული ფესვის ქვეშ მხოლოდ ორი ტერმინი გამოჩნდება. დამოუკიდებელი ცვლადის გამოყენების მიზეზი შენ არის დროის და ინტეგრაციის ცვლადის გარჩევა. მას შემდეგ, რაც (s (t) ) ზომავს გავლილ მანძილს დროის მიხედვით, (s ′ (t) ) ზომავს ნაწილაკის სიჩქარეს მოცემულ დროს. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გვაქვს (s (t) ) ფორმულა ref {arclength2} განტოლებაში, ჩვენ შეგვიძლია განვასხვაოთ განტოლების ორივე მხარე:

[ start {align *} s ′ (t) & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ ( g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du bigg] [4pt] & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a } ‖ Vecs r ′ (u) ‖du bigg] [4pt] & = | vecs r ′ (t) |. End {align *} ]

თუ ვივარაუდებთ, რომ ( vecs r (t) ) განსაზღვრავს გლუვ მრუდეს, მაშინ რკალის სიგრძე ყოველთვის იზრდება, ამიტომ (s ′ (t)> 0 ) ამისთვის (t> a ). დაბოლოს, თუ ( vecs r (t) ) არის მრუდი, რომელზეც ( | vecs r ′ (t) | = 1 ) ყველა (t ), მაშინ

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du = int ^ {t} _ {a} 1 , du = t − a, არა რიცხვი ]

რაც ნიშნავს, რომ (t ) წარმოადგენს რკალის სიგრძეს, სანამ (a = 0 ).

თეორემა: რკალის სიგრძის ფუნქცია

მოდით ( vecs r (t) ) აღწერს გლუვ მრუდეს (t≥a ) - სთვის. შემდეგ მოცემულია რკალის სიგრძის ფუნქცია

[s (t) = int ^ {t} _ {a} vecs r ′ (u) ‖ , du ]

გარდა ამისა,

[ dfrac {ds} {dt} = ‖ vecs r ′ (t) ‖> 0. არა რიცხვი ]

თუ (‖ vecs r ′ (t) ‖ = 1 ) ყველა (t≥a ), მაშინ პარამეტრი (t ) წარმოადგენს რკალის სიგრძეს საწყისი წერტილიდან (t = a ) .

ამ თეორემის სასარგებლო გამოყენებაა მოცემული მრუდის ალტერნატიული პარამეტრიზაციის პოვნა, რომელსაც ეწოდება რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია. შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ვექტორის მნიშვნელობის მქონე ფუნქციის განმეორება შესაძლებელია ცვლადების შეცვლის საშუალებით. მაგალითად, თუ გვაქვს ფუნქცია ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t⟩, 0≤t≤2π ), რომელიც პარამეტრირებს რადიუსის 3 წრეს, ჩვენ შეგვიძლია პარამეტრის შეცვლა (t ) დან (4t ), ახალი პარამეტრიზაციის მიღება ( vecs r (t) = ⟨3 cos 4t, 3 sin 4t⟩ ). ახალი პარამეტრიზაცია კვლავ განსაზღვრავს რადიუსის 3 წრეს, მაგრამ ახლა საჭიროა მხოლოდ მნიშვნელობების გამოყენება (0 ≤π / 2 ) წრეზე ერთხელ გასასვლელად.

დავუშვათ, რომ აღმოვაჩენთ რკალის სიგრძის ფუნქციას (s (t) ) და შეგვიძლია გადავწყვიტოთ ეს ფუნქცია (t ) - სთვის, როგორც (s ) - ის ფუნქცია.. ამის შემდეგ შეგვიძლია განვახორციელოთ ორიგინალი ფუნქცია ( vecs r (t) ) გამოხატვის ჩანაცვლებით (t ) ისევ ( vecs r (t) ). ვექტორის მნიშვნელობის ფუნქცია ახლა იწერება პარამეტრის (s) მიხედვით.. მას შემდეგ, რაც ცვლადი (s) წარმოადგენს რკალის სიგრძეს, ჩვენ ამას ვუწოდებთ an რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია ორიგინალი ფუნქციის ( vecs r (t) ). რკალის სიგრძის პარამეტრიზაციის პოვნის ერთი უპირატესობაა ის, რომ მრუდის გასწვრივ გავლილი მანძილი დაწყებული (s = 0 ) - დან ახლა არის პარამეტრი (s ). რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია ასევე ჩნდება გამრუდების (რომელსაც შემდეგ განვიხილავთ ამ განყოფილებაში) და ხაზების ინტეგრალების კონტექსტში.

მაგალითი ( PageIndex {2} ): Arc- სიგრძის პარამეტრიზაციის პოვნა

იპოვნეთ რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია თითოეული შემდეგი მრუდისთვის:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}}, quad t≥0 )
  2. ( vecs r (t) = +t + 3,2t − 4,2t⟩, quad t≥3 )

გამოსავალი

  1. პირველ რიგში ვხვდებით რკალის სიგრძის ფუნქციას ref {arclength2} განტოლების გამოყენებით:

    [ დაიწყოს {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [4pt] & = int_0 ^ t − − 4 sin u, 4 cos u⟩‖ , du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {(- 4 sin u) ^ 2 + (4 cos u) ^ 2} , du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {16 sin ^ 2 u + 16 cos ^ 2 u} , du [4pt] & = int_0 ^ t 4 , du = 4t, end {align *} ]

  2. რომელიც იძლევა დამოკიდებულებას რკალის სიგრძეს (s ) და პარამეტრს (t ) შორის, როგორც (s = 4t; ) ასე რომ, (t = s / 4 ). შემდეგ შეცვალეთ ცვლადი (t ) თავდაპირველ ფუნქციაში ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) მოსაპოვებლად გამოთქმით (s / 4 )

    [ vecs r (s) = 4 cos left ( frac {s} {4} right) , hat { mathbf {i}} + 4 sin left ( frac {s} { 4} მარჯვნივ) , ქუდი { mathbf {j}}. არა რიცხვი ]

    ეს არის ( vecs r (t) ) რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია. მას შემდეგ, რაც თავდაპირველი შეზღუდვა (t ) - ზე მოცემულია (t≥0 ) - ით, შეზღუდვა იყო ხდება (s / 4≥0 ), ან (s≥0 ).
  3. რკალის სიგრძის ფუნქცია მოცემულია განტოლებით ref {arclength2}:

    [ დაიწყოს {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [4pt] & = int_3 ^ t ,21,2,2⟩‖ , du [4pt] & = int_3 ^ t sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2} , du [4pt] & = int_3 ^ t 3 , du [ 4pt] & = 3t - 9. end {align *} ]

    ამიტომ, დამოკიდებულება რკალის სიგრძეს (s ) და პარამეტრს (t ) შორის არის (s = 3t − 9 ), ამიტომ (t = frac {s} {3} +3 ). ამის ჩანაცვლება ორიგინალ ფუნქციაში ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩ ) შემოსავალი

    [ vecs r (s) = ⟨ left ( frac {s} {3} +3 right) +3, , 2 left ( frac {s} {3} +3 right) 4 , , 2 მარცხნივ ( frac {s} {3} +3 მარჯვნივ)⟩ = ⟨ frac {s} {3} +6, frac {2s} {3} +2, frac {2s} {3} + 6⟩. არაურიცხვი ]

    ეს არის ( vecs r (t) ) - ის რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია. პარამეტრის თავდაპირველი შეზღუდვა (t ) იყო (t≥3 ), ამიტომ (s ) - ის შეზღუდვა არის ((s / 3) + 3≥3 ), ან (s≥0 )

სავარჯიშო ( PageIndex {2} )

იპოვნეთ რკალის სიგრძის ფუნქცია სპირალისთვის

[ vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩, quad t≥0. არა რიცხვი ]

შემდეგ გამოიყენეთ კავშირი რკალის სიგრძესა და პარამეტრს შორის (t), რომ იპოვოთ რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია ( vecs r (t) ).

მინიშნება

დაიწყეთ რკალის სიგრძის ფუნქციის პოვნა.

პასუხი

(s = 5t ), ან (t = s / 5 ). ამის ჩანაცვლება ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩ ) მოცემულია

[ vecs r (s) = ⟨3 cos left ( frac {s} {5} right), 3 sin left ( frac {s} {5} right), frac {4s } {5}, quad s≥0 nonumber ]

გამრუდება

რკალის სიგრძესთან დაკავშირებული მნიშვნელოვანი თემაა მრუდი. მრუდის კონცეფცია საშუალებას გვაძლევს გავზომოთ რამდენად მკვეთრად ბრუნავს გლუვი მრუდი. წრეს მუდმივი გამრუდება აქვს. რაც უფრო მცირეა წრის რადიუსი, მით მეტია მრუდი.

იფიქრეთ გზაზე გასვლაზე. დავუშვათ, გზა დიდი წრის რკალზე დგას. ამ შემთხვევაში ძლივს მოგიწევდა ბორბლის გადაბრუნება, რომ გზაზე დარჩე. ახლა ჩათვალეთ, რომ რადიუსი უფრო მცირეა. ამ შემთხვევაში თქვენ უფრო მკვეთრად მოუხვიეთ გზაზე გასასვლელად. წრის გარდა სხვა მრუდის შემთხვევაში, ხშირად სასარგებლოა მოცემულ წერტილში მრუდზე წრის წარწერა ისე, რომ იგი იმ მომენტში მრუდისთვის იყოს შეხება და რაც შეიძლება მჭიდროდ "ჩაეხუტოს" მოსახვევში წერტილის მეზობლობა (სურათი ( PageIndex {1} )). ამის შემდეგ გრაფიკის მრუდი განისაზღვრება იგივეა, რაც წარწერილი წრის მრუდი.

განმარტება: გამრუდება

მოდით (C ) იყოს გლუვი მრუდი სიბრტყეში ან სივრცეში, რომელიც მოცემულია ( vecs r (s) ) - ით, სადაც (s ) არის რკალის სიგრძის პარამეტრი. მრუდი (κ ) at (s ) არის

[κ = bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = ‖ vecs T ′ (s) . ]

სივრცის მრუდის მრუდის შესახებ დამატებითი ინფორმაციისთვის ეწვიეთ ამ ვიდეოს.

მრუდის განმარტების ფორმულა გამოსათვლელი თვალსაზრისით ძალიან სასარგებლო არ არის. კერძოდ, გავიხსენოთ, რომ ( vecs T (t) ) წარმოადგენს მოცემული ვექტორული მნიშვნელობის ფუნქციის ერთეულ ტანგენტ ვექტორს ( vecs r (t) ) და ( vecs T (t) ფორმულა ) არის

[ vecs T (t) = frac { vecs r ′ (t)} {∥ vecs r ′ (t) ∥}. ]

მრუდის ფორმულის გამოსაყენებლად, პირველ რიგში აუცილებელია ( vecs r (t) ) გამოხატვა რკალის სიგრძის პარამეტრით (s ), შემდეგ იპოვნეთ ერთეული ტანგენტის ვექტორი ( vecs T (s) ) ) ფუნქციისთვის ( vecs r (s) ), შემდეგ აიღეთ ( vecs T (s) ) წარმოებული (s ) - ს მიმართ. ეს დამღლელი პროცესია. საბედნიეროდ, არსებობს მრუდის ექვივალენტური ფორმულები.

თეორემა: მრუდის ალტერნატიული ფორმულები

თუ (C ) არის გლუვი მრუდი, რომელიც მოცემულია ( vecs r (t) ) - ის მიერ, მაშინ (C ) - ის მრუდი (κ ) (t ) - ზე მოცემულია

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t)}. label {EqK2} ]

თუ (C ) არის სამგანზომილებიანი მრუდი, მაშინ გამრუდება შეიძლება მოცემული იყოს ფორმულით

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. label {EqK3} ]

თუ (C ) არის ფუნქციის გრაფიკი (y = f (x) ) და ორივე (y ′ ) და (y '' ) არსებობს, მაშინ გამრუდება (κ ) წერტილში ((x, y) ) მოცემულია მიერ

[κ = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}}. label {EqK4} ]

მტკიცებულება

პირველი ფორმულა პირდაპირ გამომდინარეობს ჯაჭვის წესიდან:

[ dfrac {d vecs {T}} {dt} = dfrac {d vecs {T}} {ds} dfrac {ds} {dt}, უთვალავი ]

სადაც (s ) არის რკალის სიგრძე მრუდის გასწვრივ (C ). ორივე მხარის დაყოფა (ds / dt ) და ორივე მხარის სიდიდის აღება იძლევა

[ bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = მარცხენა lVert frac { vecs T ′ (t)} { dfrac {ds} { dt}} right rVert. nonumber ]

მას შემდეგ, რაც (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ), ეს იძლევა ფორმულას მრუდის (κ ) მრუდის (C ) ნებისმიერი პარამეტრიზაციის თვალსაზრისით (C ) :

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. nonumber ]

სამგანზომილებიანი მრუდის შემთხვევაში, ჩვენ ვიწყებთ ფორმულებს ( vecs T (t) = ( vecs r ′ (t)) / ‖ vecs r ′ (t) ‖ ) და (ds /) dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ). ამიტომ, ( vecs r ′ (t) = (ds / dt) vecs T (t) ). ამ ფუნქციის წარმოებულების მიღება შეგვიძლია სკალარული პროდუქტის ფორმულის გამოყენებით:

[ vecs r ″ (t) = dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t). nonumber ]

ამ ორი ბოლო განტოლების გამოყენებით ვიღებთ

[ დაიწყოს {გასწორება *} vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = dfrac {ds} {dt} vecs T (t) big bigg ( dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t) bigg) [4pt] & = dfrac {ds} {dt} dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) × vecs T (t) + ( dfrac {ds} {dt}) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). დასრულება {გასწორება *} ]

მას შემდეგ, რაც ( vecs T (t) × vecs T (t) = 0 ), ეს მცირდება

[ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) = მარცხენა ( dfrac {ds} {dt} მარჯვნივ) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). არა რიცხვი ]

მას შემდეგ, რაც ( vecs T is ) პარალელურია ( vecs N ) და ( vecs T ) არის მართკუთხა ( vecs N ), შესაბამისად, ეს ( vecs T ) და ( vecs T ′ ) ორთოგონალურია. ეს ნიშნავს, რომ (‖ vecs T × vecs T′‖ = ‖ vecs T‖‖ vecs T′‖ sin (π / 2) = ‖ vecs T′‖ ), ასე რომ

[ | vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) | = მარცხენა ( dfrac {ds} {dt} მარჯვნივ) ^ 2‖ vecs T ′ (t) ‖. nonber ]

ახლა ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს განტოლება (‖ vecs T ′ (t) ‖ ) და გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ):

[‖ Vecs T ′ (t) ‖ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 2}. Nonumber ]

შემდეგ, ორივე მხარეს გავყოფთ (‖ vecs r ′ (t) ‖ ). ეს იძლევა

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ Vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. უთვალო ]

ეს ადასტურებს ( ref {EqK3} ). ( Ref {EqK4} ) დასამტკიცებლად ვიწყებთ დაშვებით, რომ მრუდი (C ) განისაზღვრება ფუნქციით (y = f (x) ). ამის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ( vecs r (t) = x , hat { mathbf {i}} + f (x) , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ). მრუდის წინა ფორმულის გამოყენება:

[ start {align *} vecs r ′ (t) & = , hat { mathbf {i}} + f ′ (x) , hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ″ (t) & = f ″ (x) , hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = დაიწყოს { vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} 1 & f ′ (x) & 0 0 & f ″ (x ) და 0 end {vmatrix} = f ″ (x) , hat { mathbf {k}}. დასრულება {გასწორება *} ]

ამიტომ,

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} = dfrac {| f ″ (x) |} {(1+ [f ′ (x)] ^ 2) ^ {3/2}} არა რიცხვი ]

მაგალითი ( PageIndex {3} ): მრუდის პოვნა

მოცემულ წერტილში იპოვნეთ მრუდი თითოეული შემდეგი მოსახვევისთვის:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf { k}}, quad t = dfrac {4π} {3} )
  2. ( mathrm {f (x) = sqrt {4x − x ^ 2}, x = 2} )

გამოსავალი

  1. ეს ფუნქცია აღწერს სპირალს.

სპირალის მრუდი (t = (4π) / 3 ) - ზე შეგიძლიათ ნახოთ ( ref {EqK2} ) გამოყენებით. პირველი, გამოთვალეთ ( vecs T (t) ):

[ start {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac { 4 sin t, 4 cos t, 3⟩} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = ⟨− dfrac {4} {5} sin t, dfrac {4} {5} cos t, dfrac {3} {5}. დასრულება {გასწორება *} ]

შემდეგ, გამოთვალეთ ( vecs T ′ (t): )

[ vecs T ′ (t) = ⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩. არა რიცხვი ]

ბოლოს, გამოიყენეთ ( ref {EqK2} ):

[ start {align *} κ & = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩‖} {‖⟨ 4 sin t, 4 cos t, 3⟩‖} [4pt] & = dfrac { sqrt {(- dfrac {4} {5} cos t) ^ 2 + (- dfrac {4} {5} sin t) ^ 2 + 0 ^ 2}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = dfrac {4/5} {5} = dfrac {4} {25}. დასრულება {გასწორება *} ]

ამ სპირალის მრუდი მუდმივია სპირალის ყველა წერტილში.

  1. ეს ფუნქცია აღწერს ნახევარწრეს.

ამ გრაფიკის მრუდის საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ ( ref {EqK4} ). პირველი, ჩვენ გამოვთვლით (y ′ ) და (y ″: )

[ {{{align *} y & = sqrt {4x − x ^ 2} = (4x − x ^ 2) ^ {1/2} [4pt] y y & = dfrac {1} {2 } (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} (4−2x) = (2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} [4pt] y ″ & = - (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} + (2 − x) (- dfrac {1} {2}) (4x − x ^ 2) ^ {- 3/2} (4−2x) [4pt] & = - dfrac {4x − x ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} - dfrac {(2 − x) ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac {x ^ 2−4x− (4−4x + x ^ 2)} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}}. დასრულება {გასწორება *} ]

შემდეგ, ჩვენ ვიყენებთ ( ref {EqK4} ):

[ start {align *} κ & = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1 + ((2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2 }) ^ 2 bigg] ^ {3/2}} = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1+ dfrac {(2 − x) ^ 2} {4x − x ^ 2} bigg ] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [ dfrac {4x − x ^ 2 + x ^ 2−4x + 4} {4x − x ^ 2} bigg] ^ {3/2}} = bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg | ⋅ dfrac {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} {8} [4pt] & = dfrac {1} {2}. დასრულება {გასწორება *} ]

ამ წრის გამრუდება მისი რადიუსის საპასუხო ტოლია. არის უმნიშვნელო საკითხი აბსოლუტური მნიშვნელობით ( ref {EqK4} ); ამასთან, გაანგარიშების ახლოდან გაცნობის შედეგად, მნიშვნელი დადებითია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (x).

სავარჯიშო ( PageIndex {3} )

იპოვნეთ ფუნქციით განსაზღვრული მრუდის მრუდი

[y = 3x ^ 2−2x + 4 უთვალო ]

წერტილში (x = 2 ).

მინიშნება

გამოიყენეთ ( ref {EqK4} ).

პასუხი

(κ ; = frac {6} {101 ^ {3/2}} .000.0059 )

ნორმალური და ბინორმალური ვექტორები

ჩვენ ვნახეთ, რომ ვექტორული მნიშვნელობის ფუნქციის ( vecs r ′ (t) ) წარმოებული წარმოქმნილი არის ( vecs r (t) ) და მყოფი ერთეული tangent ვექტორის მიერ განსაზღვრული მრუდის tangent ვექტორი. vecs T (t) ) შეიძლება გამოითვალოს ( vecs r ′ (t) ) მისი სიდიდით გაყოფით. მოძრაობის სამ განზომილებაში შესწავლისას, ორი სხვა ვექტორი სასარგებლოა ნაწილაკის მოძრაობის აღსაწერად სივრცეში არსებული ბილიკის გასწვრივ: ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი და ბინორმალური ვექტორი.

განმარტება: ბინორმალური ვექტორები

მოდით (C ) იყოს სამგანზომილებიანი გლუვი მრუდი წარმოდგენილია ( vecs r ) ღია ინტერვალზე (I ). თუ ( vecs T ′ (t) ≠ vecs 0 ), მაშინ ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი at (t ) განისაზღვრება, რომ იყოს

[ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t)}. label {EqNormal} ]

ბინორმალური ვექტორი (t ) - ზე განისაზღვრება, როგორც

[ vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t), label {EqBinormal} ]

სადაც ( vecs T (t) ) არის ერთეული tangent ვექტორი.

გაითვალისწინეთ, რომ, განმარტებით, ბინორმალური ვექტორი ორთოგონალურია, როგორც ერთეული tangent ვექტორისა და ნორმალური ვექტორისთვის. გარდა ამისა, ( vecs B (t) ) ყოველთვის არის ერთეულის ვექტორი. ამის ჩვენება შეიძლება ჯვარედინი პროდუქტის სიდიდის ფორმულის გამოყენებით.

[‖ Vecs B (t) ‖ = ‖ vecs T (t) × vecs N (t) ‖ = ‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta, ]

სადაც ( theta ) არის კუთხე ( vecs T (t) ) და ( vecs N (t) ). ვინაიდან ( vecs N (t) ) არის ერთეული ვექტორის წარმოებული, ვექტორით შეფასებული ფუნქციის წარმოებული თვისება (vii) გვეუბნება რომ ( vecs T (t) ) და ( vecs) N (t) ) ორთოგონალურია ერთმანეთის მიმართ, ამიტომ ( theta = π / 2 ). გარდა ამისა, ისინი ორივე ერთეული ვექტორებია, ამიტომ მათი სიდიდეა 1. ამიტომ, (‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) sin sin theta = (1) (1) sin (π / 2) = 1 ) და ( vecs B (t) ) არის ერთეული ვექტორი.

ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი გამოსაანგარიშებლად შეიძლება რთული იყოს, რადგან ერთეული ტანგენტის ვექტორი შეიცავს კოეფიციენტს და ამ კოეფიციენტს ხშირად აქვს კვადრატული ფესვი მნიშვნელში. სამგანზომილებიან შემთხვევაში, ერთეული tangent ვექტორის და ერთეული ნორმალური ვექტორის ჯვარედინი პროდუქტის პოვნა შეიძლება კიდევ უფრო რთული იყოს. საბედნიეროდ, ამ ორი ვექტორის პოვნის ალტერნატიული ფორმულები გვაქვს და ისინი მოცემულია მოძრაობაში სივრცეში.

მაგალითი ( PageIndex {4} ): ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორისა და ბინორმალური ვექტორის პოვნა

შემდეგი ვექტორებით შეფასებული ფუნქციებისთვის, იპოვნეთ ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, იპოვნეთ ბინორმალური ვექტორი.

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} - 4 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = (6t + 2) , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} - 8t , hat { mathbf { კ}} )

გამოსავალი

  1. ეს ფუნქცია აღწერს წრეს.

ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორის მოსაძებნად, პირველ რიგში, უნდა ვიპოვოთ ერთეული tangent ვექტორი ( vecs T (t): )

[ start {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (- 4 cos t) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 sin ^ 2 t + 16 cos ^ 2 t}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 ( sin ^ 2 t + cos ^ 2 t)}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} {4} [4pt] & = - sin t , hat { mathbf {i}} - cos t , hat { mathbf {j}}. end {align *} ]

შემდეგ, ჩვენ ვიყენებთ ( ref {EqNormal} ):

[ start {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- cos t) ^ 2 + ( sin t) ^ 2} } [4pt]
& = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t }} [4pt]
& = - cos t , ქუდი { mathbf {i}} + sin t , ქუდი { mathbf {j}}. დასრულება {გასწორება *} ]

გაითვალისწინეთ, რომ ერთეული ტანგენტის ვექტორი და ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი ორთოგონალურია (t ) - ის ყველა მნიშვნელობისთვის:

[ start {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = ⟨− sin t, - cos t⟩ · ⟨− cos t, sin t⟩ [4pt] & = sin t cos t− cos t sin t [4pt] & = 0. დასრულება {გასწორება *} ]

გარდა ამისა, ძირითადი ერთეული ნორმალური ვექტორია წრის ცენტრისკენ მიმართავს წრის ყველა წერტილს. მას შემდეგ, რაც ( vecs r (t) ) განსაზღვრავს მრუდს ორ განზომილებაში, ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ბინორმალური ვექტორი.

  1. ეს ფუნქცია ასე გამოიყურება:

ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორის მოსაძებნად, პირველ რიგში ვიპოვით ერთეული tangent ვექტორი ( vecs T (t): )

[ start {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {6 ^ 2+ (10 ტ) ^ 2 + (- 8) ^ 2}} [4 გვ]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {36+ 100t ^ 2 + 64}} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {100 ( t ^ 2 + 1)}} [4pt]
& = dfrac {3 , ქუდი { mathbf {i}} - 5t , ქუდი { mathbf {j}} - 4 , ქუდი { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} [4 გვ]
& = dfrac {3} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {i}} - t (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2 } , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {k}}. დასრულება {გასწორება *} ]

შემდეგ გამოვთვლით ( vecs T ′ (t) ) და (‖ vecs T ′ (t) ‖ ):

[ start {align *} vecs T ′ (t) & = dfrac {3} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t) , hat { mathbf {i}} - ((t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} (t ( dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {−3/2} (2 ტ)) , ქუდი { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ { −3/2} (2 ტ) , ქუდი { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {k}} [4pt] ‖ vecs T ′ (t) ‖ & = sqrt { bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg (- dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3 / 2}} bigg) ^ 2} [4pt]
& = sqrt { dfrac {9t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {16t ^ 2} { 25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {25t ^ 2 + 25} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {1} {t ^ 2 + 1}. დასრულება {გასწორება *} ]

ამიტომ, ( ref {EqNormal} ) - ის მიხედვით:

[ start {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt]
& = bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf { k}} bigg) (t ^ 2 + 1) [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {5} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {k} } [4pt]
& = - dfrac {3t , hat { mathbf {i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt { t ^ 2 + 1}}. დასრულება {გასწორება *} ]

კიდევ ერთხელ, ერთეული ტანგენტის ვექტორი და ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი ორთოგონალურია (t ) - ის ყველა მნიშვნელობისთვის:

[ start {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = bigg ( dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , ქუდი { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) · bigg (- dfrac {3t , hat { mathbf { i}} + 5 , ქუდი { mathbf {j}} - 4t , ქუდი { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) [4pt]
& = dfrac {3 (−3t) −5t (−5) −4 (4t)} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = dfrac {−9t + 25t − 16t} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = 0 დასრულება {გასწორება *} ]

დაბოლოს, რადგან ( vecs r (t) ) წარმოადგენს სამგანზომილებიან მრუდს, შეგვიძლია გამოვთვალოთ ბინორმალური ვექტორი ( ref {EqBinormal} ) გამოყენებით:

[ დაიწყოს {align *} vecs B (t) & = ; vecs T (t) × vecs N (t) [4pt]
& = დაიწყოს {vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} - dfrac {3t } {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} end {vmatrix} [4pt]
& = bigg ( bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {i}}
& - bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg) , ქუდი { mathbf {j}}
& + bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = bigg ( dfrac {−20t ^ 2−20} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} + bigg ( dfrac {−15−15t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = −20 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} −15 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {4} {5} , hat { mathbf {i}} - dfrac {3} {5} , hat { mathbf {k}}. დასრულება {გასწორება *} ]

სავარჯიშო ( PageIndex {4} )

იპოვნეთ ერთეულის ნორმალური ვექტორი ვექტორით შეფასებული ფუნქციისთვის ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ) და შეაფასეთ იგი აქ (t = 2 ).

მინიშნება

პირველი, იპოვნეთ ( vecs T (t) ), შემდეგ გამოიყენეთ ( ref {EqNormal} ).

პასუხი

( vecs N (2) = dfrac { sqrt {2}} {2} (, hat { mathbf {i}} - , hat { mathbf {j}}) )

სამ განზომილებაში ნებისმიერი გლუვი მრუდისთვის, რომელიც განისაზღვრება ვექტორის მნიშვნელობით, ახლა ჩვენ გვაქვს ფორმულები ერთეულის tangent ვექტორისთვის ( vecs T ), ერთეულის ნორმალური ვექტორი ( vecs N ) და ბინორმალური ვექტორი ( vecs B ). ერთეული ნორმალური ვექტორი და ბინორმალური ვექტორი ქმნიან სიბრტყეს, რომელიც მრუდის პერპენდიკულარულია მრუდის ნებისმიერ წერტილში, რომელსაც ნორმალური სიბრტყე ეწოდება. გარდა ამისა, ეს სამი ვექტორი წარმოადგენს სამგანზომილებიან სივრცეში მითითებულ ჩარჩოს, რომელსაც ეწოდება Frenet მითითების ჩარჩო (ასევე მოუწოდა TNB ჩარჩო) (სურათი ( PageIndex {2} )). დაბოლოს, ვექტორებით ( vecs T ) და ( vecs N ) განსაზღვრული სიბრტყე ქმნის მრუდის ნებისმიერ წერტილში (C ) - ის ((P )) ვიბრატორულ სიბრტყეს.

დავუშვათ, რომ წრედ ვქმნით მრუდის (P ) წერტილში (C ) - ის მოცირკულირე სიბრტყეში. ჩათვალეთ, რომ წრეს იგივე მრუდი აქვს, როგორც მრუდი (P ) წერტილში და წრეს აქვს რადიუსი (r ). შემდეგ წრის გამრუდება მოცემულია ( frac {1} {r} ) მიერ. ჩვენ (r ) - ს ვუწოდებთ მრუდის მრუდის რადიუსს და ის ტოლია მრუდის საპასუხო მიმართულების. თუ ეს წრე მრუდის ჩაზნექილ მხარეს მდებარეობს და მრუდის წერტილთან არის დატანებული (P ), მაშინ ამ წრეს ეწოდება რხევითი წრე (C ) - ზე (P ), როგორც ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {3} ).

მეტი ინფორმაცია ოსკულაციური წრეების შესახებ, იხილეთ ეს დემონსტრაცია მრუდისა და ბრუნვის შესახებ, სტატია მოციმციმე წრეების შესახებ და სერრეტის ფორმულების განხილვა.

ოკულარული წრის განტოლების ორ განზომილებაში მოსაძებნად გვჭირდება მხოლოდ წრის ცენტრი და რადიუსი.

მაგალითი ( PageIndex {5} ): მოცირკულირე წრის განტოლების პოვნა

იპოვნეთ (y = x ^ 3−3x + 1 ) ფუნქციით განსაზღვრული მრუდის რხევითი წრის განტოლება (x = 1 ).

გამოსავალი

ნახაზი ( PageIndex {4} ) აჩვენებს გრაფიკს (y = x ^ 3−3x + 1 ).

პირველი, მოდით გამოვთვალოთ მრუდი (x = 1 ):

[κ = dfrac {| f ″ (x) |} { bigg (1+ [f ′ (x)] ^ 2 bigg) ^ {3/2}} = dfrac {| 6x |} {( 1+ [3x ^ 2−3] ^ 2) ^ {3/2}}. ]

ეს იძლევა (κ = 6 ). ამიტომ, ვიბრაციული წრის რადიუსი მოცემულია (R = frac {1} {κ} = dfrac {1} {6} ) მიერ. შემდეგ, ჩვენ გამოვთვლით წრის ცენტრის კოორდინატებს. როდესაც (x = 1 ), ტანგენტური ხაზის დახრა ნულოვანია. ამიტომ, ვიბრაციული წრის ცენტრი პირდაპირ მდებარეობს გრაფიკის წერტილზე ზემოთ კოორდინატებით ((1, −1) ). ცენტრი მდებარეობს მისამართზე ((1, - frac {5} {6}) ). წრის ფორმულა რადიუსით (r ) და ცენტრით ((თ, კ) ) მოცემულია ((x − ს) ^ 2 + (y − k) ^ 2 = r ^ 2 ) მიერ. ამიტომ, ვიბრაციული წრის განტოლებაა ((x − 1) ^ 2 + (y + frac {5} {6}) ^ 2 = frac {1} {36} ). გრაფიკი და მისი ვიბრაციული წრე ჩანს შემდეგ გრაფაში.

სავარჯიშო ( PageIndex {5} )

იპოვნეთ ვექტორული მნიშვნელობის ფუნქციით (y = 2x ^ 2−4x + 5 ) განსაზღვრული მრუდის რხევითი წრის განტოლება (x = 1 ).

მინიშნება

გამოიყენეთ ( ref {EqK4} ) გრაფიკის მრუდის საპოვნელად, შემდეგ დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი (x = 1 ) გარშემო, წრის ვიზუალიზაციისთვის გრაფიკთან მიმართებაში.

პასუხი

(κ = frac {4} {[1+ (4x − 4) ^ 2] ^ {3/2}} )

(X = 1 ) წერტილში, მრუდი ტოლია (4 ). ამიტომ, ვიბრაციული წრის რადიუსია ( frac {1} {4} ).

შემდეგ გამოჩნდება ამ ფუნქციის გრაფიკი:

ამ პარაბულის მწვერვალი მდებარეობს ((1,3) წერტილში. გარდა ამისა, ძაბვის წრის ცენტრი პირდაპირ წვერზეა. ამიტომ, ცენტრის კოორდინატებია ((1, frac {13} {4}) ). ძაბვის წრის განტოლებაა

((x − 1) ^ 2 + (y− frac {13} {4}) ^ 2 = frac {1} {16} ).

ძირითადი ცნებები

  • ვექტორის მნიშვნელობის ფუნქციისთვის რკალის სიგრძის ფუნქცია გამოითვლება ინტეგრალური ფორმულის გამოყენებით ( displaystyle s (t) = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). ეს ფორმულა მოქმედებს როგორც ორ, ასევე სამ განზომილებაში.
  • მრუდის მრუდი ან ორ ან სამ განზომილებაში მდებარე წერტილში განისაზღვრება წარწერილი წრის მრუდად ამ წერტილში. რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია გამოიყენება მრუდის განსაზღვრისას.
  • მრუდის რამდენიმე სხვადასხვა ფორმულა არსებობს. წრის გამრუდება მისი რადიუსის საპასუხო ტოლია.
  • განისაზღვრება ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი (t ) - ზე

    [ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t)}. არა რიცხვი ]

  • ბინორმალური ვექტორი (t ) - ზე განისაზღვრება, როგორც ( vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t) ), სადაც ( vecs T (t) ) არის ერთეული tangent ვექტორი.
  • Frenet მითითების ჩარჩო იქმნება ერთეული tangent ვექტორი, ძირითადი ერთეული ნორმალური ვექტორი და binormal ვექტორი.
  • რხევის წრე წერტილზე მრუდისაა და აქვს იგივე მრუდი, როგორც ტანგენტ მრუდი ამ წერტილში.

ძირითადი განტოლებები

  • სივრცის მრუდის რკალის სიგრძე
    (s = { displaystyle int _a ^ b} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} , dt = { displaystyle int _a ^ b} ‖ vecs r ′ (t) , dt )
  • რკალის სიგრძის ფუნქცია
    (s (t) = { displaystyle int _a ^ t} sqrt {f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} , du ; ან ; s (t) = { displaystyle int _a ^ t} vecs r ′ (u) ‖ , du )
  • (κ = frac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} ; ან ; κ = frac {‖ vecs r ′ (t) vecs r ″ (T) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} ; ან ; κ = frac {| y ″ |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2 }} )
  • ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი
    ( vecs N (t) = frac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} )
  • ბინორმალური ვექტორი
    ( vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t) )

ტერმინების ლექსიკონი

რკალის სიგრძის ფუნქცია
ფუნქცია (s (t) ), რომელიც აღწერს მრუდის რკალის სიგრძეს (C ), როგორც ფუნქცია (t )
რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია
ვექტორით შეფასებული ფუნქციის რეპარამეტრიზაცია, რომელშიც პარამეტრი უდრის რკალის სიგრძეს
ბინორმალური ვექტორი
ერთეული ვექტორი ორთოგონალურია ერთეული tangent ვექტორისა და ერთეულის ნორმალური ვექტორი
გამრუდება
რკალის სიგრძის პარამეტრთან მიმართებაში ერთეულის tangent ვექტორის წარმოებული
Frenet მითითების ჩარჩო
(TNB ჩარჩო) მითითების ჩარჩო სამგანზომილებიან სივრცეში, რომელიც ჩამოყალიბებულია ერთეული ტანგენტის ვექტორით, ერთეულის ნორმალური ვექტორით და ბინორმალური ვექტორით
ნორმალური თვითმფრინავი
სიბრტყე, რომელიც მრუდის პერპენდიკულარულია მრუდის ნებისმიერ წერტილში
რხევითი წრე
წრე, რომელიც tangent არის მრუდის (C ) წერტილზე (P ) და იგივე მრუდისაა
რხევითი სიბრტყე
სიბრტყე, რომელიც განისაზღვრება ერთეულის tangent და ერთეულის ნორმალური ვექტორით
ძირითადი ერთეულის ნორმალური ვექტორი
ვექტორი ერთნაირი ტანგენტის ვექტორზე, მოცემულია ფორმულით ( frac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} )
მრუდის რადიუსი
მრუდის საპასუხო
გლუვი
მრუდები, სადაც ვექტორის ღირებულების ფუნქცია ( vecs r (t) ) დიფერენცირებადია არა ნულოვანი წარმოებულით

12. მრუდის სიგრძის რკალი: პარამეტრიული, პოლარული კოორდინატები

ჩვენ ჯერ განვიხილავთ მაგალითს, შემდეგ შემუშავდება ზოგადი საქმის ფორმულა.

მაგალითი 1 - რბოლა

Curvilinear Motion განყოფილებაში გვქონდა მაგალითი, როდესაც სარბოლო მანქანა მოძრაობდა პარამეტრით განტოლებებში აღწერილი მრუდის გარშემო, როგორც:

`x (t) = 20 + 0.2t ^ 3`,

`y (t) = 20t და მინუს 2t ^ 2`

სად x და y მეტრში არიან და წამში დროა.

რა მანძილი გაიარა მანქანამ პირველ 8 წამში?

გამოსავალი

ქვემოთ მოცემულია ამ საქმის დიაგრამა.

იგი ეფუძნება შეთქმულების x- და y- წერტილებს წერტილებს `t = 0` და` t = 8` შორის.

დაბოლოს, `t = 8` -ში მანქანა არის

პარამეტრული მრუდი (x(), y()), ასახული წერტილების ჩვენება.

შეფასება: გრაფიკის შემოწმების შედეგად, ჩვენი საბოლოო პასუხი უნდა იყოს დაახლოებით 150 მ.

ჩვენ ვრცელდება კონცეფცია მრუდის სიგრძის სიგრძედან პარამეტრულ კუპეზე.

ჩვენ ვიწყებთ გამოთქმებით, რომელიც წინა ნაწილში შევხვდით:

დიფერენცირება დაკავშირებით და კვადრატი იძლევა:

თითოეული მხარის პოზიტიური კვადრატული ფესვის აღება:

შემდეგ, ინტეგრირება დაკავშირებით დან t = t1 რომ = 2 გვაძლევს მრუდის სიგრძის ფორმულას პარამეტრული განტოლების ფორმაში:

დავუბრუნდეთ მაგალით 1-ს

მოცემული ფორმულის გამოყენებით იპოვნეთ საჭირო სიგრძე, რომელსაც იმოძრავებდა რბოლა.

ახლა ფორმულას ვიყენებთ, რომ მანქანით გავლილი მანძილი ვიპოვნოთ.

ამ მაგალითისთვის ჩვენი ქვედა და ზედა საზღვრებია `t = 0`` t = 8`.

მათი ჩანაცვლება მანძილის ფორმულაში იძლევა:

კომპიუტერული ალგებრული სისტემის გამოყენება (იხილეთ პასუხი ვოლფრამში | ალფაში) გვაძლევს სიგრძეს `144.7 & quotm & quot.

ჩვენი პასუხი არის გონივრული და შეესაბამება ჩვენს ადრინდელ შეფასებას.


კუბური ბეზიერების მარტივი გზაა მრუდის გაყოფა N სეგმენტებად და სეგმენტების სიგრძეების ჯამი.

ამასთან, როგორც კი დაგჭირდებათ მრუდის მხოლოდ ნაწილის სიგრძე (მაგ. სიგრძის სიგრძე 30%), რკალის სიგრძის პარამეტრიზაცია შემოვა პიესა. მე დავწერე საკმაოდ გრძელი პასუხი ბეზიერების შესახებ ჩემს ერთ კითხვაზე, მარტივი კოდის ნიმუშით.

თაღის სიგრძე ბეზიეს მოსახვევებში მხოლოდ დახურული ფორმაა ხაზოვანი და კვადრატული. კუბიკებისათვის გარანტირებული არ არის დახურული ხსნარი. რკალის სიგრძე განისაზღვრება რადიკალური ინტეგრალით, რომლისთვისაც დახურულია მხოლოდ მე -2 ხარისხის პოლინომებისთვის.

ცნობისთვის: კვადრატული ბეზიერის სიგრძეა (a, p) (b, q) და (c, r) წერტილებისთვის

ამრიგად, ეს უნდა იყოს უფრო მარტივი და იაფი თაღოვანი მიახლოებითი სხვა წესით, მაგალითად, პოლიგონის ან ინტეგრაციის სქემა, როგორიცაა Simpson– ის წესი, რადგან LN– ის კვადრატული ფესვები ძვირადღირებული ოპერაციებია.

მიუხედავად იმისა, რომ მე უკვე პასუხობთ თქვენს მიერ მიღებულ პასუხებს, მსურს დავამატო მარტივი, მაგრამ ძლიერი დაახლოების მექანიზმი, რომლის გამოყენება შეგიძლიათ ნებისმიერი ბეზიელის მრუდზე: თქვენ მუდმივად დაყავით მრუდი de Casteljau ქვედანაყოფის გამოყენებით საკონტროლო წერტილების მაქსიმალურ მანძილამდე ქვე-მრუდის საბაზისო ხაზის ქვე-მრუდის ქვემოთ არის გარკვეული მუდმივა epsilon. ამ შემთხვევაში ქვე-მრუდი შეიძლება მიახლოვდეს მისი საწყისი ხაზით.

In fact, I believe this is the approach usually taken when a graphics subsystem has to draw a Bézier curve. But do not quote me on this, I do not have references at hand at the moment.


12.4: Arc Length and Curvature - Mathematics

Unit 1. Basic Structures on R n , Length of Curves.

Addition of vectors and multiplication by scalars, vector spaces over R, linear combinations, linear independence, basis, dimension, linear and affine linear subspaces, tangent space at a point, tangent bundle dot product, length of vectors, the standard metric on R n balls, open subsets, the standard topology on R n , continuous maps and homeomorphisms simple arcs and parameterized continuous curves, reparameterization, length of curves, integral formula for differentiable curves, parameterization by arc length.

Convergence of k-planes, the osculating k-plane, curves of general type in R n , the osculating flag, vector fields, moving frames and Frenet frames along a curve, orientation of a vector space, the standard orientation of R n , the distinguished Frenet frame, Gram-Schmidt orthogonalization process, Frenet formulas, curvatures, invariance theorems, curves with prescribed curvatures.

Explicit formulas for plane curves, rotation number of a closed curve, osculating circle, evolute, involute, parallel curves, "Umlaufsatz". Convex curves and their characterization, the Four Vertex Theorem.

Unit 4. 3D Curves - Curves on Hypersurfaces

Explicit formulas, projections of a space curve onto the coordinate planes of the Frenet basis, the shape of curve around one of its points, hypersurfaces, regular hypersurface, tangent space and unit normal of a hypersurface, curves on hypersurfaces, normal sections, normal curvatures, Meusnier's theorem.

Vector fields along hypersurfaces, tangential vector fields, derivations of vector fields with respect to a tangent direction, the Weingarten map, bilinear forms, the first and second fundamental forms of a hypersurface, principal directions and principal curvatures, mean curvature and the Gaussian curvature, Euler's formula.

Unit 6. Surfaces in the 3-dimensional space

Umbilical, spherical and planar points, surfaces consisting of umbilics, surfaces of revolution, Beltrami's pseudosphere, lines of curvature, parameterizations for which coordinate lines are lines of curvature, Dupin's theorem, confocal second order surfaces ruled and developable surfaces: equivalent definitions, basic examples, relations to surfaces with K=0, structure theorem.

Unit 7. The fundamental equations of hypersurface theory

Gauss frame of a parameterized hypersurface, formulae for the partial derivatives of the Gauss frame vector fields, Christoffel symbols, Gauss and Codazzi-Mainardi equations, fundamental theorem of hypersurfaces, "Theorema Egregium", components of the curvature tensor, tensors in linear algebra, tensor fields over a hypersurface, curvature tensor.

Unit 8. Topological and Differentiable Manifolds

The configuration space of a mechanical system, examples the definition of topological and differentiable manifolds, smooth maps and diffeomorphisms Lie groups, embedded submanifolds in R n , Whitney's theorem (without proof) classification of closed 2-manifolds (without proof).

The tangent space of a submanifold of R n , identification of tangent vectors with derivations at a point, the abstract definition of tangent vectors, the tangent bundle the derivative of a smooth map.

Unit 10. The Lie Algebra of Vector Fields

Vector fields and ordinary differential equations basic results of the theory of ordinary differential equations (without proof) the Lie algebra of vector fields and the geometric meaning of Lie bracket, commuting vector fields, Lie algebra of a Lie group.

Unit 11. Differentiation of Vector Fields

Affine connection at a point, global affine connection, Christoffel symbols, covariant derivation of vector fields along a curve, parallel vector fields and parallel translation, symmetric connections, Riemannian manifolds, compatibility with a Riemannian metric, the fundamental theorem of Riemannian geometry, Levi-Civita connection.

Curvature operator, curvature tensor, Bianchi identities, Riemann-Christoffel tensor, symmetry properties of the Riemann-Christoffel tensor, sectional curvature, Schur's Theorem, space forms, Ricci tensor, Ricci curvature, scalar curvature, curvature tensor of a hypersurface.

Definition of geodesics, normal coordinates, variation of a curve, the first variation formula for the length, . Gauss Lemma, description of geodesic spheres about a point with the help of normal coordinates, minimal property of geodesics.


Analysis

Figure 1 illustrates the situation and contains the derivation of both an exact and a approximate solution. The triangle formed by x, R + δდა is a right triangle, which means that the Pythagorean theorem can be used to produce an exact solution. In addition, a simple approximation for δ is also developed assuming >> x and using a linear approximation for the square root. In Appendix A, I give examples of the computations in Mathcad.

Figure 1: Calculation of Deviation from Horizontal.

Given the situation shown in Figure 1, we can compute the deviation from horizontal as follows.

  • is the radius of the Earth (3963.2 miles)
  • x is the horizontal distance of interest (100 ft)

ფონი

Figure 1 illustrates the measurement scenario. represents the height of her observation site above the ocean. θ represents the angle measured by her theodolite.

Figure 1: Observation Scenario for Sea Life.

Figure 2: Basic Geometry of the Observation Problem.


Sample Problems

Now that we have clarified the relationship between degrees and radians, we have 4 major formulas to use, the two arc length formulas:

and the two conversion formulas:

Let’s examine some practice problems for getting a handle on these equations.

Question: A circle has a radius of r =12 meters. What is the length of an arc traced out by a 60° angle in the center of the circle?

Answer: in this problem, we know both the central angle (60°) and the radius of the circle (12). All we have to do is plug those values into our equation and we get:

So the length of an arc traced out by a 60° angle in a circle with a radius of 12 meters equals 4π meters ≈ 12.57 meters.

Question: A circle has an area of 72π square meters. What is the length of the arc traced out by a center angle of π/8 radians?

Answer: We are given the area of a circle (72π) and the angle measured in radians (π/8). The area of a circle is equal to 2π 2 so we can determine the radius of the circle by working backward:

Therefore, the radius of the circle equals 6 meters. Plugging the values into our equation for arc length gives us:

So the length of the arc traced out by an angle of π/8 rad in a circle with an area of 72 equals 3π/4 meters ≈ 2.36 meters.

Question: Jeremey cuts out a slice from a circular pizza that has a crust length of 4 inches. Considering that the circular pizza has a radius of 8 inches, how big of an angle in degrees is the hole Jeremy’s slice left?

Answer: In this case, we know the arc length (4) and the radius of the circle (8). Plugging these values into our equation yields:

The slice left a cutout with an angle of 90/π° ≈ 28.65°.


12.4: Arc Length and Curvature - Mathematics

ტექსტი ელემენტარული დიფერენციალური გეომეტრია, ენდრიუ პრესლი (სპრინგერი). კორნელის სტუდენტებს უფასო ელექტრონული წვდომა აქვთ ამ სახელმძღვანელოს.

ეს კურსი გთავაზობთ ხაზების და მრუდების გეომეტრიის მკაცრ და სისტემურ შესწავლას სამგანზომილებიან ევკლიდურ სივრცეში და ქმნის ჩარჩოს დიფერენციალური გეომეტრიის უფრო მოწინავე შესწავლისთვის. თემები მოიცავს: სივრცის მრუდების მრუდეს, რეგულარულ ზედაპირებს და მათ პარამეტრიზაციას, პირველი და მეორე ფუნდამენტური ფორმები, გაუსის რუქა, გაუსის და ზედაპირების საშუალო გამრუდება, ზედაპირების ორიენტაცია, ფორმალური რუქები და იზომეტრიები. კერძოდ, ჩვენ მოიცავს: 1-4 თავებს, მე -5 თავის 6.1-6.3, 7.1-7.4, 8.1-8.2, 9.1-9.2, 9.4, 10.1-10.2, 13.1-13.4 თავის შერჩევას. 1 და 2 თავების მასალა გაშუქდება სწრაფად, რადგან უმეტესობა წარმოადგენს მასალების მიმოხილვას მრავალმხრივი გამოთვლიდან. სტუდენტებს შეაფასებენ როგორც მასალის გამოთვლის, ისე შესწავლილ ცნებებთან დაკავშირებული მტკიცებულებების შესადგენად.

შესწორებული სილაბუსისა და გრაფიკის შესახებ ცნობა (3/14) კურსის განრიგი და სილაბუსი განახლდება ადმინისტრაციის ხელმძღვანელობით. შემდეგი ბმულები მხოლოდ ისტორიული ჩანაწერისთვისაა: -> დააწკაპუნეთ აქ უფრო დეტალური სასწავლო პროგრამისთვის. დააჭირეთ აქ, სემესტრის ყოველდღიური დღის განრიგისთვის.


მათემატიკის გამჭრიახობა

Write a parameterization for the straight-line path from the point (1,2,3) to the point (3,1,2). Find the arc length.

გამოსავალი: The vector from (1,2,3) to (3,1,2) is $vc = (3,1,2)-(1,2,3) = (2,-1,-1)$. We can parametrize the line segment by egin dllp(t) = (1,2,3) + t (2,-1,-1), qquad 0 le t le 1 end

To find arc length, we calculate egin dllp'(t) &= (2,-1,-1) | dllp'(t)| &= sqrt <2^2+(-1)^2 + (-1)^2>= sqrt<6> end Therefore, the length of the line segment is egin int_a^b | dllp'(t)| dt = int_0^1 sqrt <6>dt = sqrt <6>end

Clearly, it was silly to calculate the length this way. We knew the length of the line segment must be $| vc | = sqrt<6>$. But, this simply illustrates the method of calculating arc length of parametrized curves.

მაგალითი 2

Another parameterization for the line segment of example 1 is egin adllp(t) = (1,2,3) + (e^t-1) (2,-1,-1), quad 0 le t le log 2. end Find the length of the line segment using this parametrization.

It might not be obvious that $adllp$ parametrizes the same line segment as $dllp$ from example 1. To see this fact, notice that $(e^t-1)$ is zero when $t=0$, and it is 1 when $t=log 2$. (As mathematicians often do, we are using $log t$ to represent the natural logarithm, which is often written as $ln t$. Hence, $e^ = 2$, as required for this example.) Indeed, a particle with position $adllp(t)$ at time $t$ does move along the straight line from (1,2,3) to (3,1,2) as $t$ goes from 0 to $log 2$. It just doesn't move at a constant speed. You can read about another example where particles move along the same curve but at different speeds.

გამოსავალი: We simply use the definition of arc length to find the length of the line segment using using this parameterization. We calculate egin adllp'(t) &= e^t (2,-1,-1) |adllp'(t)| &= e^t |(2,-1,-1)| = e^t sqrt<6>, end so the arc length is egin int_a^b | adllp'(t)| dt &= int_0^ e^t sqrt <6>dt &= sqrt <6>(e^- e^0) &= sqrt <6>(2-1) = sqrt<6>, end which agrees with example 1.

Examples 1 and 2 illustrate an important principle. The length of a curve does not depend on its parametrization. Of course, this makes sense, as the distance a particle travels along a particular route doesn't depend on its speed.

მაგალითი 3

Find the arc length of the helix parametrized by $dllp(t) = (cos t, sin t, t)$ for le t le 6pi$. (This was the example used in the introduction to arc length.)

გამოსავალი: We calculate egin dllp'(t) &= (-sin t, cos t, 1) |dllp'(t)| &= sqrt = sqrt<2>. დასასრული The length is egin int_0^ <6pi>sqrt <2>dt = left.left.sqrt <2>t ight|_0^<6pi> ight. = 6sqrt <2>pi approx 26.7. დასასრული


გამრუდება

In general, there are two important types of curvature: extrinsic curvature and intrinsic curvature. The extrinsic curvature of curves in two- and three-space was the first type of curvature to be studied historically, culminating in the Frenet formulas, which describe a space curve entirely in terms of its "curvature," torsion, and the initial starting point and direction.

After the curvature of two- and three-dimensional curves was studied, attention turned to the curvature of surfaces in three-space. The main curvatures that emerged from this scrutiny are the mean curvature, Gaussian curvature, and the shape operator. Mean curvature was the most important for applications at the time and was the most studied, but Gauss was the first to recognize the importance of the Gaussian curvature.

Because Gaussian curvature is "intrinsic," it is detectable to two-dimensional "inhabitants" of the surface, whereas mean curvature and the shape operator are not detectable to someone who can't study the three-dimensional space surrounding the surface on which he resides. The importance of Gaussian curvature to an inhabitant is that it controls the surface area of spheres around the inhabitant.

Riemann and many others generalized the concept of curvature to sectional curvature, scalar curvature, the Riemann tensor, Ricci curvature tensor, and a host of other intrinsic and extrinsic curvatures. General curvatures no longer need to be numbers, and can take the form of a map, group, groupoid, tensor field, etc.

The simplest form of curvature and that usually first encountered in calculus is an extrinsic curvature. In two dimensions, let a plane curve be given by Cartesian parametric equations and . Then the curvature , sometimes also called the "first curvature" (Kreyszig 1991, p. 47), is defined by

where is the tangential angle and is the arc length. As can readily be seen from the definition, curvature therefore has units of inverse distance. The derivative in the above equation can be found using the identity


Უყურე ვიდეოს: მათემატიკა, IX კლასი - ერთეულოვანი წრე, რადიანი ტრიგონომეტრია გეომეტრიაში #ტელესკოლა (დეკემბერი 2021).