სტატიები

1.3: პირველი რიგის განტოლების მიმართულების ველები


შეუძლებელია გარკვეული დიფერენციალური განტოლების ამოხსნების გამოკვეთილი ფორმულების პოვნა. ამ შემთხვევაში შეიძლება მივმართოთ გრაფიკულ ან რიცხობრივ მეთოდებს იმის გარკვევის შესახებ, თუ როგორ იქცევიან მოცემული განტოლების ამოხსნები.

განყოფილებაში 2.3. ჩვენ განვიხილავთ საკითხს პირველი რიგის განტოლების ამოხსნების არსებობის შესახებ [ label {eq: 1.3.1} y '= f (x, y). ]

ამ სექციაში ჩვენ უბრალოდ ჩავთვლით, რომ განტოლებას ref = eq: 1.3.1} აქვს ამოხსნები და განვიხილავთ გრაფიკულ მეთოდს მათი მიახლოებისთვის. მე -3 თავში განვიხილავთ ტოლობის ref {eq: 1.3.1} სავარაუდო ამოხსნების მისაღებად რიცხობრივ მეთოდებს. გავიხსენოთ, რომ ref {eq: 1.3.1} განტოლების ამოხსნა არის ფუნქცია (y = y (x) ) ისეთი, რომ

[y '(x) = f (x, y (x)) არა რიცხვი ]

(x ) - ის ყველა მნიშვნელობისთვის გარკვეულ ინტერვალში, და ინტეგრალური მრუდი არის ამოხსნის გრაფიკი ან შედგება სეგმენტებისგან, რომლებიც ამოხსნების გრაფიკებია. ამიტომ, u003d განტოლების ამოხსნის შეუძლებლობა ტოლფასია, რომ არ იცოდეთ განტოლების ინტეგრალური მრუდების განტოლებები ref {eq: 1.3.1}. ამასთან, ადვილია ამ მოსახვევთა ფერდობების გამოანგარიშება. უფრო კონკრეტულად რომ ვთქვათ, ref {eq: 1.3.1} განტოლების ინტეგრალური მრუდის დახრილობა მოცემულია წერტილში ((x_0, y_0) ) მოცემულია რიცხვით (f (x_0, y_0) ). ეს არის საფუძველი მიმართულების ველების მეთოდი.

თუ (f ) მითითებულია სიმრავლეზე (R ), ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ ა მიმართულების ველი განტოლებისთვის ref {eq: 1.3.1} in (R ) მოკლე ხაზის სეგმენტის დახაზვით თითოეული წერტილის გავლით ((x, y) ) (R ) დახრით (f (x, y) ) ). რა თქმა უნდა, როგორც პრაქტიკული საკითხი, ხაზის სეგმენტების რეალურად დახაზვა არ შეგვიძლია ყველა წერტილი (R ); უფრო მეტიც, ჩვენ უნდა ავირჩიოთ წერტილების სასრული კომპლექტი (R ) - ში. მაგალითად, დავუშვათ, რომ (f ) განისაზღვრება დახურულ მართკუთხა რეგიონში [R: {a le x le b, c le y le d }. Nonumber ]

მოდით [a = x_0 ჩამოყალიბდეს ა მართკუთხა ბადე (სურათი ( PageIndex {1} )). ქსელის თითოეული წერტილის მეშვეობით ვხატავთ მოკლე ხაზის სეგმენტს დახრილობით (f (x_i, y_j) ). შედეგი არის მიმართულების მიმართულების მიახლოება განტოლების ref {eq: 1.3.1} (R ) განტოლებისთვის. თუ ქსელის წერტილები საკმარისად მრავალრიცხოვანია და ერთმანეთთან ახლოს არის, ჩვენ შეგვიძლია დავხატოთ განტოლების ინტეგრალური მრუდები ref {eq: 1.3.1} ქსელის წერტილებში ხაზების წერტილებზე მრუდეების დახატვით, რომლებიც დაკავშირებულია ქსელის წერტილებთან.

სამწუხაროდ, მიმართულების დონის მიახლოება და ამ გზით ინტეგრალური მრუდების დიაგრამა ძალიან მოსაწყენია, რომ ხელით ეფექტურად გაკეთდეს. ამასთან, ამისთვის არსებობს პროგრამული უზრუნველყოფა. როგორც ნახავთ, მიმართულების ველებისა და ინტეგრალური მრუდების კომბინაცია სასარგებლო ინფორმაციას გვაწვდის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების ქცევის შესახებ, მაშინაც კი, თუ ზუსტი ამონახსნების მიღება არ შეგვიძლია.

ჩვენ შეისწავლით მე –3 თავში პირველი რიგის ერთიანი განტოლების განტოლების ამოხსნის ციფრულ მეთოდებს. ამ მეთოდების გამოყენება შესაძლებელია განტოლების ref {eq: 1.3.1} ამონახსნის მრუდების მართკუთხა ფორმატში რეგიონი (R ) თუ (f ) არის უწყვეტი (რ ). ფიგურები ( PageIndex {2} ), ( PageIndex {3} ) და ( PageIndex {4} ) აჩვენებს დიფერენციალური განტოლებების მიმართულების ველებს და ამოხსნის მრუდებს:

  • (y '= frac {x ^ 2-y ^ 2} {1 + x ^ 2 + y ^ 2} ),
  • (y '= 1 + xy ^ 2 ) და
  • (y '= frac {x-y} {1 + x ^ 2} ).

რომლებიც ფორმაშია განტოლება ref {eq: 1.3.1} და (f ) უწყვეტი ყველასთვის ((x, y) ).

მე -3 თავის მეთოდები არ იმუშავებს განტოლებისთვის [ label {eq: 1.3.2} y '= - x / y ]

თუ (R ) შეიცავს (x ) - ღერძის ნაწილს, ვინაიდან (f (x, y) = - x / y ) განუსაზღვრელია, როდესაც (y = 0 ). ანალოგიურად, ისინი არ იმუშავებენ განტოლებისთვის

[ label {eq: 1.3.3} y '= {x ^ 2 over1-x ^ 2-y ^ 2} ]

თუ (R ) შეიცავს ერთეულის წრის რომელიმე ნაწილს (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), რადგან განტოლების ref {eq: 1.3.3} მარჯვენა მხარე განუსაზღვრელია, თუ (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). ამასთან, განტოლება ref {eq: 1.3.2} და განტოლება ref {eq: 1.3.3} შეიძლება დაიწეროს როგორც

[ label {eq: 1.3.4} y '= {A (x, y) მეტი B (x, y)} ]

სადაც (A ) და (B ) უწყვეტია ნებისმიერ მართკუთხედზე (R ). ამის გამო, ზოგიერთი დიფერენციალური განტოლების პროგრამა ეფუძნება ფორმის წყვილთა განტოლებათა რიცხობრივად ამოხსნას

[ label {eq: 1.3.5} {dx over dt} = B (x, y), quad {dy over dt} = A (x, y) ]

სადაც (x ) და (y ) განიხილება როგორც პარამეტრი (t ). თუ (x = x (t) ) და (y = y (t) ) აკმაყოფილებს ამ განტოლებებს, მაშინ

[y '= {dy over dx} = {dy over dt} left / {dx over dt} right. = {A (x, y) over B (x, y)}, nonumber ]

ასე რომ (y = y (x) ) აკმაყოფილებს განტოლებას ref {eq: 1.3.4}.

განტოლებები ref {eq: 1.3.2} და ref {eq: 1.3.3} შეიძლება ჩამოყალიბდეს, როგორც განტოლება ref {eq: 1.3.4} = [{dx over dt} = - y, quad {dy over dt} = x nonumber ]

და

[{dx over dt} = 1-x ^ 2-y ^ 2, quad {dy over dt} = x ^ 2, nonumber ]

შესაბამისად. მაშინაც კი, თუ (f ) არის უწყვეტი და სხვაგვარად "ლამაზი" მთელ (R ) - ში, შესაძლოა თქვენს პროგრამულ უზრუნველყოფას მოსთხოვოთ განტოლების (y '= f (x, y) ) განახლება, როგორც

[{dx over dt} = 1, quad {dy over dt} = f (x, y), nonumber ]

რომელიც არის ფორმის განტოლება ref {eq: 1.3.5} (A (x, y) = f (x, y) ) და (B (x, y) = 1 ).

ნახაზი ( PageIndex {5} ) გვიჩვენებს მიმართულების ველს და ინტეგრალური მრუდების განტოლებას ref {eq: 1.3.2}. როგორც მაგალითში ვნახეთ [მაგალითი: 1.2.1} და კვლავ გადავამოწმებთ 2.2 ნაწილში, ref {eq: 1.3.2} განტოლების ინტეგრალური მრუდები წარმოშობის ცენტრში მყოფი წრეებია.

ნახაზი ( PageIndex {6} ) გვიჩვენებს მიმართულების ველს და ინტეგრალური მრუდების განტოლებას ref {eq: 1.3.3}. ინტეგრალური მოსახვევები ზედა და ქვედა ნაწილთან ახლოს არის ხსნარის მოსახვევები. ამასთან, შუა ნაწილთან ახლოს არსებული ინტეგრალური მოსახვევები უფრო რთულია. მაგალითად, სურათი ( PageIndex {7} ) გვიჩვენებს ინტეგრალური მრუდის წარმოშობის გავლით. დატეხილი მართკუთხედის წვეთები წრეზე (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ( (a დაახ. 846 ), (b დაახ .533 )), სადაც ყველა ინტეგრალური მრუდ განტოლებას ref = eQ: 1.3.3} აქვს უსასრულო დახრილობა. სურათზე ინტეგრალური მრუდის განტოლების ref {eq: 1.3.3} ხსნარის სამი ამოხსნის მრუდია: სეგმენტი დონის ზემოთ (y = b ) არის ამოხსნის გრაფიკი ((- უვარგისი, ა) ), სეგმენტი დონის ქვემოთ (y = -b ) არის ამოხსნის გრაფიკი ((- ა, უვარგისი) ), და სეგმენტი ამ ორ დონეს შორის არის ამოხსნის გრაფიკი. ჩართულია ((- ა, ა) ).

ტექნოლოგიის გამოყენება

ამ წიგნიდან სწავლის დროს, ხშირად მოგეთხოვებათ გამოიყენოთ კომპიუტერული პროგრამები და გრაფიკა. ამ მიზნისთვის სავარჯიშოები აღინიშნება როგორც (საჭიროა კომპიუტერი ან კალკულატორი), (საჭიროა კომპიუტერი და / ან გრაფიკა), ან (ლაბორატორიული სამუშაო, რომელიც მოითხოვს პროგრამულ უზრუნველყოფას და / ან გრაფიკას). ხშირად შეიძლება სრულად არ გესმოდეთ, თუ როგორ ასრულებს ეს პროგრამა. ეს მსგავსია იმ სიტუაციისა, რომელშიც უმეტესობა იმყოფება, როდესაც ისინი მართავენ მანქანას ან უყურებენ ტელევიზორს, და ეს არ ამცირებს თანამედროვე ტექნოლოგიის სწავლის დახმარების მნიშვნელობას. უბრალოდ ფრთხილად იყავით, რომ გამოიყენოთ ეს ტექნოლოგია, როგორც აზროვნების დამატება, ვიდრე მისი შემცვლელი.


Უყურე ვიდეოს: ცვანციკას ონლაინ გაკვეთილები - კვადრატული განტოლება (დეკემბერი 2021).