სტატიები

თავები - მათემატიკა


თავები - მათემატიკა

ფანგჩენგი (მათემატიკა)

ფანგჩენგი (ზოგჯერ იწერება როგორც ფანგ-ჩენგი ან ფენგ ჩენგი) (ჩინური: 方程 პინინი: feng chéng ) არის ჩინეთის მათემატიკური კლასიკური Jiuzhang suanshu- ს მერვე თავის სათაური (ცხრა თავი მათემატიკური ხელოვნების შესახებ), რომელიც შედგენილია მეცნიერთა რამდენიმე თაობის მიერ, რომლებიც აყვავდნენ ძვ.წ. X-II საუკუნეების პერიოდში. ეს ტექსტი ჩინეთიდან გადარჩენილი ერთ-ერთი ყველაზე ადრეული მათემატიკური ტექსტია. ჩინეთის მათემატიკის რამდენიმე ისტორიკოსმა დააფიქსირა ეს ტერმინი ფანჩენგი თარგმნა ადვილი არ არის. [1] [2] ამასთან, როგორც პირველი მიახლოება ითარგმნა როგორც „მართკუთხა მასივები“ ან „კვადრატული მასივები“. [1] ეს ტერმინი ასევე გამოიყენება გარკვეული პროცედურის გადაჭრის კონკრეტული პროცედურის შესახებ, რომელიც განხილულია ცხრა თავის წიგნის მე -8 თავში. [2]

ტერმინში მითითებული პროცედურა ფანჩენგი და ცხრა თავის მერვე თავში განმარტებული პროცედურა, ძირითადად, სისტემების ამოხსნის პოვნაა განტოლებები უცნობია და უდრის გარკვეულ ანალოგიურ პროცედურებს თანამედროვე სწორხაზოვან ალგებრაში. ყველაზე ადრეა დაფიქსირებული ფანჩენგი პროცედურა ანალოგიურია, რასაც ახლა ჩვენ გავისის ლიკვიდაციას ვუწოდებთ.

ფანჩენგი ეს პროცედურა პოპულარული იყო ძველ ჩინეთში და გადაეცა იაპონიას. შესაძლებელია ეს პროცედურა ევროპაშიც გადაეცა და ემსახურებოდა მატრიცების, გაუსის ელიმინაციისა და განმსაზღვრელი ფაქტორების თანამედროვე თეორიის წინამორბედებს. [3] ცნობილია, რომ საბერძნეთში ან ევროპაში წრფივ ალგებრაზე ბევრი არ მუშაობდა გოტფრიდ ლაიბნიცის ელიმინაციისა და განმსაზღვრელი ფაქტების შესწავლამდე, დაწყებული 1678 წელს. უფრო მეტიც, ლაიბნიცი სინოფილი იყო და დაინტერესებული იყო ასეთი ჩინური ტექსტების თარგმნით. როგორც მისთვის ხელმისაწვდომი იყო. [3]


თავები - მათემატიკა

მათემატიკა არსებითად აზროვნების პროცესია, რომელიც მოიცავს აბსტრაქტული, ლოგიკურად დაკავშირებული იდეების ქსელების აგებას და გამოყენებას. ეს იდეები ხშირად წარმოიშობა მეცნიერების, ტექნოლოგიისა და ყოველდღიური ცხოვრების პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობისგან და # 151 პრობლემა, დაწყებული რთული სამეცნიერო პრობლემის გარკვეული ასპექტების მოდელირებით, ჩეკის ბალანსის დაბალანსებამდე.

ამ თავში მოცემულია რეკომენდაციები ძირითადი მათემატიკური იდეების, განსაკუთრებით პრაქტიკული გამოყენების იდეების შესახებ, რომლებიც ერთად გადამწყვეტ როლს ასრულებენ ადამიანის თითქმის ყველა მცდელობაში. მე -2 თავში მათემატიკა ხასიათდება როგორც მოდელირების პროცესი, რომელშიც ხდება აბსტრაქციების გაკეთება და მანიპულირება და შედეგების შემოწმება საწყისი სიტუაციის შესაბამისად. აქ ყურადღება გამახვილებულია მათემატიკური შაბლონების იმ შვიდ მაგალითზე, რომლებიც შესაძლებელია ასეთი მოდელირებისთვის: ციფრების ხასიათი და გამოყენება, სიმბოლური ურთიერთობები, ფორმები, გაურკვევლობა, მონაცემების შეჯამება, მონაცემების შერჩევა და მსჯელობა.

N UMBERS

არსებობს რამდენიმე სახის რიცხვი, რომლებიც მათ ურთიერთდაკავშირების ლოგიკასთან ერთად ქმნის საინტერესო აბსტრაქტულ სისტემებს და შეიძლება გამოდგეს სხვადასხვა გზით. რიცხვის უძველესი კონცეფცია, ალბათ, წარმოიშვა იმ თვლის საჭიროებაში, თუ რამდენი რამ იყო ნივთების კრებულში. ამრიგად, თითები, კენჭები კონტეინერებში, ნიშნები თიხის ტაბლეტებზე, ჩხირები და ჯაჭვები კვანძები იყო დათვლილი რაოდენობის თვალყურისდევნების და წარმოდგენის ადრეული გზა. სულ ცოტა ხნის წინ, დაახლოებით 2000 წლის განმავლობაში, წერის სხვადასხვა სისტემა გამოიყენებოდა ციფრების გამოსახატავად. არაბული რიცხვითი სისტემა, როგორც დღეს ჩვეულებრივ გამოიყენება, ემყარება ათ სიმბოლოს (0, 1, 2,.. 9) და მათი კომბინაციის წესებს, სადაც პოზიცია გადამწყვეტია (მაგალითად, 203 წელს, 3 ნიშნავს სამს, 2 დგას ორი ასეული, და ნულოვანი არ ნიშნავს დამატებით ათეულებს). ორობითი სისტემაში & # 151 კომპიუტერების მათემატიკური ენა & # 151 მხოლოდ ორი სიმბოლო, 0 და 1, შეიძლება გაერთიანდეს სტრიქონში, რომ წარმოადგინოს ნებისმიერი რიცხვი. რომაული რიცხვითი სისტემა, რომელიც ჯერ კიდევ გამოიყენება გარკვეული მიზნებისათვის (მაგრამ იშვიათად გამოსათვლელად), შედგება ანბანის რამდენიმე ასოსგან და მათი კომბინირების წესებისაგან (მაგალითად, IV ოთხი, X ათი და XIV თოთხმეტი , მაგრამ არ არის სიმბოლო ნულისთვის).

არსებობს სხვადასხვა სახის რიცხვები. რიცხვები, რაც საგნების დათვლის შედეგად მოდის, არის მთელი რიცხვები, რომლებიც არის რიცხვები, რომლებსაც ძირითადად ვიყენებთ ყოველდღიურ ცხოვრებაში. მთელი რიცხვი თავისთავად აბსტრაქციაა იმისთვის, თუ რამდენი რამ არის ნაკრებში, მაგრამ არა თვით საგნებისათვის. & quot სამი და quot შეიძლება ეხებოდეს ვაშლს, ლოდებს, ხალხს ან სხვა რამეს. უმეტეს პრაქტიკულ სიტუაციებში გვინდა ვიცოდეთ რა ობიექტებია, ასევე რამდენია. ამრიგად, უმეტეს გამოთვლებზე არის სიდიდე & # 151 ა ნომერი, რომელიც დაკავშირებულია ეტიკეტთან. თუ ზოგიერთმა ადამიანმა 165 კილომეტრი გაიარა 3 საათში, მათი საშუალო სიჩქარე იყო 55 მილი და არა 55. ამ შემთხვევაში, 165, 3 და 55 არის 165 მილი, 3 საათი და 55 მილი საათში. ეტიკეტები მნიშვნელოვანია ციფრების მნიშვნელობების შესამოწმებლად.

წილადები არის რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ რაღაცის ნაწილის დასადგენად ან ორი სიდიდის შესადარებლად. შედარების ერთი ჩვეულებრივი სახეობა ხდება, როდესაც იზომება გარკვეული სიდიდე, მაგალითად სიგრძე ან წონა & # 151, ანუ შედარებულია სტანდარტულ ერთეულთან, მაგალითად, მეტრი ან ფუნტი. ორი სახის სიმბოლოები ფართოდ გამოიყენება წილადების აღსადგენად, მაგრამ ისინი რიცხობრივად ექვივალენტურია. მაგალითად, ჩვეულებრივი წილადი 3/4 და ათობითი წილადი 0,75 ორივე წარმოადგენს ერთსა და იმავე რიცხვს. გაზომილი სიდიდეების წარმოსადგენად, ამ ორ გამოთქმას შეიძლება ჰქონდეს გარკვეულწილად განსხვავებული შედეგები: 3/4 შეიძლება გამოყენებულ იქნას უბრალოდ ნიშნავს 3/4-თან უფრო ახლოს ვიდრე 2/4-ზე ან 4/4-ზე, ხოლო 0.75 ნიშნავს რომ 0.75-ზე ახლოსაა 0.74 ან 0.76 & # 151 ა-მდე ბევრად უფრო ზუსტი დაზუსტება. მთელი რიცხვებისა და წილადების ერთად გამოყენებაა შესაძლებელი: 1 1/4, 1.25, 125/100 და 5/4, მაგალითად, ყველა რიცხობრივად ერთსა და იმავეს ნიშნავს.

მათემატიკაში მეტ მოქნილობას უზრუნველყოფს უარყოფითი რიცხვების გამოყენება, რაც შეიძლება იფიქრონ რიცხვითი ხაზის მიხედვით. რიცხვითი ხაზი აყალიბებს ზედიზედ რიცხვებს თანაბარი ინტერვალებით სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც ნულოვანია. ნულის ერთ მხარეს რიცხვებს ეწოდება პოზიტიური, ხოლო მეორე მხარეს უარყოფითი. თუ ნულის მარჯვნივ რიცხვები დადებითია, ნულის მარცხნივ რიცხვები უარყოფითია, თუ მანძილი ზღვის დონიდან არის დადებითი, მანძილი ზღვის დონიდან უარყოფითია თუ შემოსავალი დადებითია, ვალი კი უარყოფითი. თუ 2:15 მოხსნის დაგეგმილი დროა, 2:10 არის & quot; მინუსი 5 წუთი. & Quot. & # 151 პოზიტიური, ნულოვანი და უარყოფითი რიცხვების სრული დიაპაზონი & # 151 საშუალებას აძლევს ნებისმიერი რიცხვის გამოკლებას ნებისმიერი სხვადან და მაინც გასცეს პასუხი.

გამოთვლა არის ციფრებით და სხვა სიმბოლოებით მანიპულირება, რომ მივიღოთ რაიმე ახალი მათემატიკური დებულება. ეს სხვა სიმბოლოები შეიძლება იყოს ასოები, რომლებიც გამოიყენება ციფრებისათვის. მაგალითად, კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას, ჩვენ შეიძლება დავუშვათ X, რომ გამოდგეს ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც დააკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. ასევე არსებობს სიმბოლოები, რომლითაც უნდა აღინიშნოს რა მოქმედებები უნდა შესრულდეს რიცხვის სიმბოლოებზე. მათ შორის ყველაზე გავრცელებულია +, -,, x და / (არსებობს სხვებიც). ოპერაციები + და - ერთმანეთის ინვერსიულია, ისევე როგორც x და / არის: ერთი ოპერაცია ანადგურებს იმას, რასაც სხვა აკეთებს. გამოთქმა ა / ბ შეიძლება გულისხმობდეს & რაოდენობას რაოდენობასთან შედარებით , & quot ან ან & quot; რიცხვი, რომელსაც იღებ გაყოფის შემთხვევაში ავტორი , & quot ან ანფრჩხილებში a (b + c) გვითხარით a გავამრავლოთ ჯამიზე და . მათემატიკოსები სწავლობენ რიცხვების სისტემებს მათი თვისებებისა და ურთიერთობების აღმოსაჩენად და მათემატიკური სიმბოლოებით მანიპულირების წესების შემუშავების მიზნით, რაც იძლევა სწორ შედეგებს.

რიცხვებს აქვს მრავალი განსხვავებული გამოყენება, რომელთაგან ზოგი არ არის რაოდენობრივი ან მკაცრად ლოგიკური. დათვლისას, მაგალითად, ნულს არაფრის განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს. საერთო ტემპერატურის მასშტაბით, ნულოვანი მხოლოდ თვითნებური პოზიციაა და არ ნიშნავს ტემპერატურის (ან სხვა რამის) არარსებობას. რიცხვების გამოყენება შესაძლებელია იმისათვის, რომ საქმეები მოწესრიგდეს და მიუთითოთ მხოლოდ რომელია უფრო მაღალი ან დაბალი ვიდრე სხვები & # 151 არ მიუთითოთ რამდენით (მაგალითად, გამარჯვებულთა რიგი რასის, ქუჩის მისამართების ან ფსიქოლოგიური ტესტების ქულებისათვის, რისთვისაც რიცხვითი განსხვავებები არ აქვთ ერთგვაროვანი მნიშვნელობა). ნომრები ხშირად გამოიყენება საგნების იდენტიფიცირების მიზნით, ყოველგვარი მნიშვნელოვანი შეკვეთის გარეშე, როგორც ტელეფონის ნომრებში და როგორც სპორტული პერანგებსა და სანომრე ნიშანებზე.

ყოველდღიური გამოცდილების სამყაროში მათი გამოყენების გარდა, თავად ციფრები საინტერესოა. ადრეული ისტორიის შემდეგ, ადამიანები სვამდნენ ისეთ კითხვებს, როგორიცაა, არის ყველაზე მეტი? ყველაზე პატარა ნომერი? შეიძლება თუ არა ყველა შესაძლო რიცხვის მიღება მთელი მთელი რიცხვის სხვაზე დაყოფით? ზოგიერთი რიცხვი, მაგალითად წრის გარშემოწერილობის შეფარდება მის დიამეტრთან (pi), იზიდავს არა მხოლოდ მათემატიკოსების, არამედ მრავალი ადამიანის ფანტაზიას.

S YMBOLIC R ელიშნაციები

მათ შორის რიცხვები და ურთიერთობები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიმბოლური დებულებებით, რომლებიც იძლევა რეალურ სამყაროში ურთიერთობების მოდელირების, გამოკვლევისა და ჩვენების საშუალებას. იშვიათად გვაინტერესებს მხოლოდ ერთი რაოდენობა ან კატეგორია, ჩვეულებრივ გვაინტერესებს ურთიერთობა მათ შორის & # 151 ურთიერთობა ასაკსა და სიმაღლეზე, ტემპერატურა და დღის დრო, პოლიტიკური პარტია და წლიური შემოსავალი, სქესი და პროფესია. ასეთი ურთიერთობების გამოხატვა შესაძლებელია სურათების (ჩვეულებრივ დიაგრამებისა და გრაფიკების), ცხრილების, ალგებრული განტოლებების ან სიტყვების გამოყენებით. დიაგრამები განსაკუთრებით სასარგებლოა სიდიდეებს შორის ურთიერთობების შესასწავლად.

ალგებრა არის მათემატიკის დარგი, რომელიც იკვლევს სხვადასხვა სიდიდეებს შორის ურთიერთობებს სიმბოლოების წარმოდგენით და სიმბოლოების დაკავშირებულ დებულებებზე მანიპულირებით. ზოგჯერ სიმბოლური დებულება გულისხმობს, რომ მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა ან მნიშვნელობთა სიმრავლე გახდის დებულებას ჭეშმარიტად. მაგალითად, განცხადება 2+4 = 10 მართალია თუ (და მხოლოდ მაშინ) = 3. ზოგადად, ამასთან, ალგებრული დებულება საშუალებას აძლევს რაოდენობას მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობის დიაპაზონი და თითოეული გულისხმობს იმას, თუ რა არის სხვა სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობა. მაგალითად, განცხადება = 2 განსაზღვრავს მნიშვნელობას ცვლადისთვის რომელიც შეესაბამება ცვლადის მნიშვნელობის ნებისმიერ არჩევანს .

მრავალი ცვლადი და სხვა ურთიერთკავშირის მრავალი შესაძლო სახეობა არსებობს. მარტივი მაგალითების ძირითადი ნაკრები მოიცავს (1) პირდაპირ პროპორციულს (ერთი რაოდენობა ყოველთვის ინარჩუნებს იმავე პროპორციას მეორეთან), (2) უკუპროპორციული (როგორც ერთი რაოდენობა იზრდება, მეორე მცირდება პროპორციულად), (3) დაჩქარებული (როგორც ერთი რაოდენობა იზრდება ერთნაირად, სხვა უფრო სწრაფად და უფრო სწრაფად იზრდება), (4) კონვერტაცია (როგორც ერთი რაოდენობა იზრდება შეუზღუდავად, სხვა უახლოვდება და უფრო ახლოვდება ზოგიერთ შეზღუდულ მნიშვნელობასთან), (5) ციკლური (როგორც ერთი რაოდენობა იზრდება, მეორე იზრდება და მცირდება განმეორებითი ციკლი) და (6) გადააბიჯა (რადგან ერთი რაოდენობა შეუფერხებლად იცვლება, მეორე ცვლილებებიც გადახტებაში).

სიმბოლური დებულებებით შეიძლება მანიპულირება მოხდეს მათემატიკური ლოგიკის წესებით, იმავე ურთიერთობის სხვა დებულებების შესაქმნელად, რამაც შეიძლება უფრო ნათლად აჩვენოს რამდენიმე საინტერესო ასპექტი. მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია განვაცხადოთ სიმბოლურად კავშირი გვერდის სიგანეს შორის, , ტიპის ხაზის სიგრძე, და თითოეული ვერტიკალური ზღვრის სიგანე, მ: P = L +2. ეს განტოლება სასარგებლო მოდელია გვერდის მაკიაჟის დასადგენად. ლოგიკურად შეიძლება გადაწყდეს იგივე ძირითადი ურთიერთობის სხვა ნამდვილი დებულებების მიცემა: მაგალითად, განტოლებები = -2 ან = (პ-ლ) / 2, რაც შეიძლება უფრო მოსახერხებელი იყოს რეალური მნიშვნელობების გამოსათვლელად ან .

ზოგიერთ შემთხვევაში, შეიძლება დაგვჭირდეს ისეთი მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც ერთდროულად დააკმაყოფილებს ორ ან მეტ განსხვავებულ ურთიერთობას. მაგალითად, გვერდის მაკიაჟის მოდელს შეიძლება დავამატოთ კიდევ ერთი პირობა: ტიპის ხაზის სიგრძე უნდა იყოს გვერდის სიგანის 2/3: = 2/3. ამ განტოლების შერწყმა m = (პ-ლ) / 2, ლოგიკურად მივალთ იმ შედეგით, რომ = 1/6. ეს ახალი განტოლება, მიღებული დანარჩენი ორიდან ერთად, განსაზღვრავს m- ის ერთადერთ მნიშვნელობებს, რომლებიც ორივე ურთიერთობაში იქნება. ამ მარტივ მაგალითში, მინდვრის სიგანის დაზუსტება შეიძლება მარტივად შემუშავდეს სიმბოლური ურთიერთობების გამოყენების გარეშე. ამასთან, სხვა სიტუაციებში აუცილებელია სიმბოლური წარმოდგენა და მანიპულირება იმისთვის, რომ მივიღოთ გამოსავალი & # 151, თუ რამდენად შესაძლებელია ეს გამოსავალი.

ხშირად, ჩვენთვის ყველაზე საინტერესო ის არის, თუ რამდენად სწრაფად იცვლება რაღაც და არა თავად ცვლილება. ზოგიერთ შემთხვევაში, ერთი სიდიდის შეცვლის სიჩქარე დამოკიდებულია ზოგიერთ სხვა სიდიდეზე (მაგალითად, მოძრავი ობიექტის სიჩქარის შეცვლა პროპორციულია მასზე გამოყენებული ძალისა). ზოგიერთ სხვა შემთხვევაში, ცვლილების სიჩქარე თავად რაოდენობის პროპორციულია (მაგალითად, თაგვების პოპულაციაში დაბადებული ახალი თაგვების რაოდენობა დამოკიდებულია იქ არსებული თაგვების რაოდენობაზე და სქესზე).

S HAPES

სივრცითი ნიმუშები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფუნდამენტური გეომეტრიული ფორმებისა და ურთიერთობების საკმაოდ მცირე კოლექციით, რომლებსაც აქვთ შესაბამისი სიმბოლური გამოსახულება. სამყაროს გასაგებად, ადამიანის გონება დიდწილად ეყრდნობა ფორმებისა და ნიმუშების აღქმას. ჩვენს გარშემო არსებული ნიმუშები (როგორიცაა შენობები, მანქანები, სათამაშოები და პირამიდები) და ნაცნობი ფორმები, რომლებსაც ბუნებაში ვხვდებით (როგორიცაა ცხოველები, ფოთლები, ქვები, ყვავილები და მთვარე და მზე) ხშირად შეიძლება ხასიათდებოდეს გეომეტრიული ფორმის მიხედვით. . გეომეტრიის ზოგიერთი იდეა და ტერმინი გახდა ყოველდღიური ენის ნაწილი. მიუხედავად იმისა, რომ რეალური ობიექტები არასდროს ემთხვევა გეომეტრიულ ფიგურას, ისინი მეტნაკლებად მიახლოებულია მათთან, ისე, რომ რაც გეომეტრიული ფიგურებისა და ურთიერთობების შესახებ არის ცნობილი, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ობიექტებზე. მრავალი მიზნისთვის საკმარისია იცოდეს წერტილები, ხაზები, თვითმფრინავების სამკუთხედები, მართკუთხედები, კვადრატები, წრეები და ელიფსები მართკუთხა მყარი და სფეროების ურთიერთობებისა და ამობურცული, ჩაზნექილი, გადაკვეთა და ტანგენტური კუთხეების ხაზთა ან სიბრტყეებს შორის პარალელური და პერპენდიკულარული მიმართებები ხაზებსა და სიბრტყეებს შორის სიმეტრიის ფორმებს, როგორიცაა გადაადგილება, ასახვა და ბრუნვა და პითაგორას თეორემა.

ფორმასაც და მასშტაბებსაც შეიძლება მნიშვნელოვანი შედეგები მოჰყვეს სისტემების მუშაობისთვის. მაგალითად, სამკუთხა კავშირები მაქსიმალურად ზრდის სიმკვრივეს, გლუვი ზედაპირი მინიმუმამდე ამცირებს ტურბულენტობას, ხოლო სფერული კონტეინერი ამცირებს ზედაპირის ზედაპირს მოცემული მასისა და მოცულობისთვის. ობიექტების ზომის შეცვლას იგივე ფორმის შენარჩუნებისას შეიძლება დიდი შედეგები მოყვეს მასშტაბის გეომეტრიის გამო: ფართობი იცვლება წრფივი ზომების კვადრატის მიხედვით, ხოლო მოცულობა - კუბიკიდან. მეორე მხრივ, ზოგიერთი განსაკუთრებით საინტერესო ტიპის შაბლონები, რომლებიც ცნობილია როგორც ფრაქტალები, ძალიან ჰგავს ერთმანეთს, როდესაც ნებისმიერი მასშტაბით შეინიშნება და # 151 და ზოგიერთი ბუნებრივი მოვლენა (როგორიცაა ღრუბლების, მთებისა და სანაპირო ზოლების ფორმები) ასე გამოიყურება.

გეომეტრიული ურთიერთობები ასევე შეიძლება გამოხატავდეს სიმბოლოებსა და რიცხვებში და პირიქით. საკოორდინაციო სისტემები რიცხვების გეომეტრიასთან ურთიერთობის ნაცნობი საშუალებაა. უმარტივესი მაგალითისთვის, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უნიკალური წერტილი წრფეზე & # 151, თუ ჩვენ ჯერ მიუთითებთ წერტილებს, რომლებიც წარმოადგენს ნულს და ერთს. ნებისმიერ ბრტყელ ზედაპირზე ადგილები შეიძლება განისაზღვროს ცალსახად რამდენიმე ციფრის ან კოორდინატის მიერ. მაგალითად, მანძილი რუკის მარცხენა მხრიდან და მანძილი ქვევიდან, ან მანძილი და მიმართულება რუკის ცენტრიდან.

საკოორდინაციო სისტემები აუცილებელია ზუსტი რუკების შესაქმნელად, მაგრამ არსებობს გარკვეული დახვეწილობები. მაგალითად, დედამიწის დაახლოებით სფერული ზედაპირი ვერ იქნება წარმოდგენილი ბრტყელ რუკაზე დამახინჯების გარეშე. რამდენიმე ათეული მილის მანძილზე, პრობლემა ძლივს შეიმჩნევა, მაგრამ ასობით ან ათასობით მილის მასშტაბით, აუცილებლად ხდება დამახინჯება. შესაძლებელია გაკეთდეს სხვადასხვა სავარაუდო წარმოდგენა და თითოეული მათგანი მოიცავს ფორმის, ფართობის ან მანძილის გარკვეულწილად განსხვავებულ დამახინჯებას. რუკის ერთი გავრცელებული ტიპი გაზვიადებს პოლუსებთან ახლოს მყოფი რეგიონების აშკარა ტერიტორიებს (მაგალითად, გრენლანდია და ალასკა), ხოლო სხვა სასარგებლო ტიპები არასწორად წარმოაჩენენ რა არის უმოკლესი მანძილი ორ ადგილს შორის, ან კიდევ რა არის მეზობელი.

ფორმის მათემატიკური დამუშავება ასევე მოიცავს რიცხვითი და სიმბოლური კავშირების გრაფიკულ გამოსახვას. რაოდენობის ვიზუალიზაცია ხდება, როგორც სიგრძე ან ფართობი (როგორც ბარის და ღვეზელის დიაგრამაში) ან როგორც დაშორება საცნობარო ღერძიდან (როგორც ხაზოვანი გრაფიკი ან გაფანტული ნაკვეთი). გრაფიკული ეკრანის საშუალებით შესაძლებელია ადვილად განისაზღვროს ნიმუშები, რომლებიც სხვაგვარად არ შეიძლება იყოს აშკარა: მაგალითად, ფარდობითი ზომები (პროპორციებით ან სხვაობებით), ცვლილებების სიჩქარე (ფერდობებით), მკვეთრი შეწყვეტა (ხარვეზები ან ნახტომი), კლასტერირება (მანძილი შედგენილი წერტილები) და ტენდენციები (როგორც ფერდობების შეცვლა ან პროგნოზები). გეომეტრიული ურთიერთობების მათემატიკა ასევე ეხმარება რთული სტრუქტურების (მაგალითად, ცილის მოლეკულების ან თვითმფრინავის ფრთების) და ლოგიკური ქსელების (მაგალითად, ტვინის უჯრედების კავშირების ან შორეული სატელეფონო სისტემების) დიზაინის ანალიზს.

U NCERTAINTY

ჩვენი ცოდნა იმის შესახებ, თუ როგორ მუშაობს სამყარო, შემოიფარგლება მინიმუმ ხუთი სახის გაურკვევლობით: (1) არაადეკვატური ცოდნა ყველა იმ ფაქტორის შესახებ, რამაც შეიძლება გავლენა მოახდინოს რაიმეზე, (2) ამ ფაქტორების დაკვირვების არაადეკვატური რაოდენობა, (3) სიზუსტის არქონა დაკვირვებები, (4) სათანადო მოდელების არარსებობა, ინფორმაციის სრულყოფილად შერწყმისთვის და (5) მოდელების გამოთვლის არაადეკვატური შესაძლებლობა. შესაძლებელია ზოგიერთი მოვლენის წინასწარმეტყველება დიდი სიზუსტით (დაბნელება), სხვისი სამართლიანი სიზუსტით (არჩევნები) და ზოგიერთის ძალიან მცირე დარწმუნებით (მიწისძვრები). მიუხედავად იმისა, რომ აბსოლუტური გარკვეულობის მიღწევა ხშირად შეუძლებელია, ჩვენ შეგვიძლია ხშირად შევაფასოთ ალბათობა & # 151 დიდი იქნება თუ მცირე & # 151 რომ მოხდეს რაღაცები და სავარაუდო შეცდომის ზღვარი.

ხშირად სასარგებლოა ალბათობის, როგორც რიცხვითი ალბათობის გამოხატვა. ჩვენ, როგორც წესი, ვიყენებთ ალბათობის სკალას 0 – დან 1 – მდე, სადაც 0 მიუთითებს ჩვენს რწმენაზე, რომ რაიმე განსაკუთრებული მოვლენა ნამდვილად არ მოხდება, 1 მიუთითებს ჩვენს რწმენაზე, რომ ის აუცილებლად მოხდება, და ყველაფერი, რაც მიუთითებს, გაურკვევლობაზე მიუთითებს. მაგალითად, .9 ალბათობა მიუთითებს რწმენაზე, რომ მოვლენაში 10 შანსს აქვს 9, რადგან წინასწარ განსაზღვრული ალბათობა .001 მიუთითებს რწმენაზე, რომ 1000-დან მხოლოდ 1 შანსია. ეკვივალენტურად, ალბათობა ასევე შეიძლება გამოიხატოს პროცენტულად, 0 პროცენტიდან (შანსი არ არის) 100 პროცენტამდე (გარკვეულობა). გაურკვევლობები ასევე შეიძლება გამოხატავდეს შანსებს: 0.8-ის ალბათობა შეიძლება გამოხატავდეს 8-დან 2-მდე (ან 4-დან 1-მდე), მისი მომხრეების სასარგებლოდ.

მოვლენის ალბათობის შეფასების ერთ-ერთი გზაა წარსული მოვლენების გათვალისწინება. თუ არსებული ვითარება წარსული სიტუაციების მსგავსია, მაშინ შეიძლება გარკვეულწილად ანალოგიურ შედეგებს ველოდოთ. მაგალითად, თუ შარშან ზაფხულის 10 პროცენტზე წვიმდა, შეიძლება ველოდოთ, რომ წლეულს ზაფხულის დღეების დაახლოებით 10 პროცენტზე წვიმს. ამრიგად, ზაფხულის მოცემულ დღეს წვიმის ალბათობის გონივრული შეფასებაა .1 და # 151 ერთი შანსი ათიდან. დამატებით ინფორმაციას შეუძლია შეცვალოს ჩვენი შეფასების ალბათობა. მაგალითად, გასულ ზაფხულს წვიმა შეიძლება დაეცა მოღრუბლული დღეების 40 პროცენტზე, ამრიგად, თუ ჩვენი დღე მოღრუბლულია, წვიმის ალბათობის მაჩვენებელს 0,1-დან 4-მდე გავზრდით. რაც უფრო მეტი გზა გვაინტერესებს სიტუაცია, როგორიც არის ის, რისთვისაც გვაქვს მონაცემები, მით უკეთესი იქნება ჩვენი შეფასება.

ალბათობათა შეფასების კიდევ ერთი მიდგომაა კონკრეტული მოვლენის შესაძლო ალტერნატიული შედეგების გათვალისწინება. მაგალითად, თუ რულეტის ბორბალზე 38 თანაბრად ფართო სლოტია, შეიძლება ველოდოთ ბურთის ჩამოსვლას თითოეულ სლოტში დროის დაახლოებით 1/38. ასეთი თეორიული ალბათობის შეფასებები ემყარება დაშვებას, რომ ყველა შესაძლო შედეგია აღრიცხული და ყველა თანაბრად უნდა მოხდეს. თუ ეს სიმართლე არ არის & # 151 მაგალითად, თუ სლოტები არ არის თანაბარი ზომის ან ზოგჯერ ბურთი ბორბლიდან გაფრინდება & # 151 გამოთვლილი ალბათობა არასწორი იქნება.

ალბათობა ყველაზე სასარგებლოა მოვლენების დიდ ნაწილში შედეგების პროპორციული პროგნოზირებისთვის. გადაბრუნებულ მონეტას აქვს 50 პროცენტიანი თავის წამოსვლის შანსი, თუმცა ადამიანი, როგორც წესი, ვერ მიიღებს ზუსტად 50 პროცენტიან თავებს გადაბრუნების ლუწი რაოდენობით. რაც უფრო მეტჯერ გადაატრიალებს მას, მით უფრო ნაკლები ალბათობაა ა ითვლიან ზუსტად 50 პროცენტით, მაგრამ რაც უფრო ახლოსაა პროპორცია ხელმძღვანელების ალბათ თეორიული 50 პროცენტი იქნება. ანალოგიურად, სადაზღვევო კომპანიებს, როგორც წესი, შეუძლიათ მოხვდნენ პროცენტული პუნქტით ან ორით, პროგნოზირებენ 20 წლის ასაკის ადამიანების წილს, რომლებიც დაიღუპებიან მოცემულ წელიწადში, მაგრამ, სავარაუდოდ, მათგან დაიღუპება ათასობით სიკვდილიანობა და # 151 განსაკუთრებით 20 წლის მოკვდება. სხვა კონტექსტებშიც მნიშვნელოვანია პროპორციისა და რეალური რაოდენობის გარჩევა. როდესაც მსგავსი მოვლენების ძალიან დიდი რაოდენობაა, შედეგიც კი ძალიან მცირე ალბათობით შეიძლება საკმაოდ ხშირად მოხდეს. მაგალითად, სამედიცინო ტესტი, რომლის ალბათობაც 99 პროცენტია, შეიძლება ძალიან ზუსტი ჩანდეს & # 151, მაგრამ თუ ეს ტესტი მილიონ ადამიანზე ჩატარდა, დაახლოებით 10,000 ადამიანი მიიღებს ცრუ შედეგებს.

ინფორმაცია ჩვენს გარშემოა & # 151, ხშირად იმდენი რაოდენობით, რომ ჩვენ ვეღარ ვწვდებით მას. მონაცემთა ნაკრები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რამდენიმე შემაჯამებელი მახასიათებლით, რამაც შეიძლება გამოავლინოს ან დაფაროს მისი მნიშვნელოვანი ასპექტები. სტატისტიკა არის მათემატიკის ფორმა, რომელიც შეიმუშავებს სასარგებლო გზებს დიდი რაოდენობით მონაცემების ორგანიზებისა და ანალიზისთვის. იმის წარმოდგენა, თუ რა არის მონაცემთა ნაკრები, მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია თითოეული შემთხვევა დავხატოთ რიცხვითი ხაზით, შემდეგ კი შევამოწმოთ ნაკვეთი, თუ სად არის დაგროვილი საქმეები, სად არის ცალკე სხვები, სადაც ყველაზე მაღალი და ყველაზე დაბალია და ა.შ. გარდა ამისა, მონაცემთა ნაკრები შეიძლება ახასიათებდეს შემაჯამებელი ფორმით, აღწერით, თუ სად არის მისი შუა და რამხელა ვარიაციაა ამ შუაზე.

მონაცემთა განაწილების შეჯამების ყველაზე ნაცნობი სტატისტიკაა საშუალო, ან საერთო საშუალო, მაგრამ უნდა იქნას გამოყენებული მისი გამოყენება ან ინტერპრეტაცია. როდესაც მონაცემები დისკრეტულია (მაგალითად, ბავშვების რაოდენობა თითოეულ ოჯახზე), საშუალო მნიშვნელობა შეიძლება არც იყოს შესაძლო მნიშვნელობა (მაგალითად, 2.2 ბავშვი). როდესაც მონაცემები უკიდურესად არის გადახრილი ერთი უკიდურესობისკენ, საშუალო მნიშვნელობა შეიძლება არც კი იყოს ტიპიურ მნიშვნელობასთან. მაგალითად, ადამიანთა მცირე ნაწილს, რომლებსაც აქვთ ძალიან დიდი პირადი შემოსავალი, შეუძლიათ საშუალო საშუალო გაცილებით მაღალი გაზარდონ, ვიდრე ქვედა ნაწილში დაგროვილი ხალხის დიდ ნაწილს შეუძლია შეამციროს იგი. მედიანა, რომელიც ყოფს მონაცემების ქვედა ნახევარს ზედა ნახევრიდან, უფრო მნიშვნელოვანია მრავალი მიზნისთვის. როდესაც რაოდენობის მხოლოდ რამდენიმე დისკრეტული მნიშვნელობაა, საშუალო ინფორმაციის ყველაზე ინფორმაციული სახე შეიძლება იყოს რეჟიმი, რომელიც არის ყველაზე გავრცელებული ერთი მნიშვნელობა & # 151 მაგალითად, აშშ-ს ოჯახზე მანქანების ყველაზე გავრცელებული რაოდენობაა 1.

ზოგადად, საშუალო მაჩვენებლები თავისთავად უგულებელყოფენ მონაცემთა ცვალებადობას და შეიძლება უფრო მეტ ერთგვაროვნებას გულისხმობდეს, ვიდრე არსებობს. მაგალითად, პლანეტა მერკურის საშუალო ტემპერატურა დაახლოებით 15 o F არ ჟღერს ძალიან ცუდად & # 151, სანამ არ ჩათვლით, რომ იგი 300 o F ზე ზემოთ ნელა ხდება 300 F F ნულამდე. ვარიაციის უგულებელყოფა შეიძლება იყოს განსაკუთრებით შეცდომაში შემყვანი საშუალო მაჩვენებლების შედარებისას. მაგალითად, ის ფაქტი, რომ მამაკაცების საშუალო სიმაღლე აშკარად მეტია ვიდრე ქალების, შეიძლება დაფიქსირდეს, რადგან ”ქალები უფრო მაღალია, ვიდრე ქალები”, მაშინ, როდესაც ბევრი ქალი უფრო მაღალია, ვიდრე ბევრი მამაკაცი. ამრიგად, საშუალო მნიშვნელობის ინტერპრეტაციისთვის მნიშვნელოვანია ინფორმაცია ჯგუფებში არსებული ვარიაციის შესახებ, მაგალითად, მონაცემთა მთლიანი დიაპაზონი ან შუა 50 პროცენტით დაფარული დიაპაზონი. რიცხვითი ხაზის გასწვრივ არსებული ყველა მონაკვეთის ნახაზი საშუალებას იძლევა დაინახოს, თუ როგორ ვრცელდება მონაცემები.

ჩვენთან ხშირად გვხვდება შემაჯამებელი მონაცემები, რომლებიც მიზნად ისახავს ორ ცვლადს შორის ურთიერთობის დემონსტრირებას, მაგრამ არ გააჩნიათ არსებითი ინფორმაცია. მაგალითად, პრეტენზია იმის შესახებ, რომ დაქორწინებული წყვილების 50 პროცენტზე მეტი, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა რელიგიები, საბოლოოდ დაშორდნენ & quot; არაფერი გვეუბნებოდა რელიგიასა და განქორწინებას შორის ურთიერთობის შესახებ, თუ არ ვიცოდით იმავე რელიგიის მქონე წყვილების პროცენტი, რომლებიც დაშორდნენ. მხოლოდ ორი პროცენტის შედარებამ შეიძლება გვითხრას, შესაძლებელია თუ არა რეალური ურთიერთობა. მაშინაც საჭიროა სიფრთხილე სინჯების შერჩევაში შესაძლო მიკერძოების გამო და პროცენტული სხვაობა შეიძლება შემთხვევით მოხდეს ნიმუშის შერჩევისას. ამგვარი ინფორმაციის სათანადო მოხსენება უნდა შეიცავდეს მიკერძოების შესაძლო წყაროების აღწერას და სტატისტიკური გაურკვევლობის შეფასებას შედარებაში.

ორი სიდიდე დადებით კორელაციაშია, თუ ერთის მეტი ასოცირდება მეორის მეტს. (ნეგატიური კორელაცია ნიშნავს, რომ ერთი მეტის ქონა ასოცირდება მეორის მეორის ქონასთან.) მაგრამ თუნდაც ძლიერი კორელაცია ორ სიდიდეს შორის არ ნიშნავს, რომ ერთი აუცილებლად მეორის მიზეზია. ან ერთმა შეიძლება გამოიწვიოს მეორე, ან ორივე შეიძლება იყოს მესამე მესამე ფაქტორის საერთო შედეგი. მაგალითად, საზოგადოებაში სიცოცხლის ხანგრძლივობა დადებითად კორელაციაშია ტელეფონების საშუალო რაოდენობაზე ერთ ოჯახზე. შეიძლება მოძებნოთ ახსნა იმის შესახებ, თუ როგორ აუმჯობესებს მეტი ტელეფონი ჯანმრთელობას ან რატომ ყიდულობენ ჯანმრთელი ადამიანები მეტ ტელეფონს. ამასთან, უფრო სავარაუდოა, რომ ჯანმრთელობაც და ტელეფონების რაოდენობაც საზოგადოების სიმდიდრის შედეგია, რაც გავლენას ახდენს კვების საერთო ხარისხზე და სამედიცინო დახმარებაზე, ასევე ტელეფონების შეძენისკენ ხალხის მიდრეკილებაზე.

მსოფლიოს შესახებ, რასაც ჩვენ ვსწავლობთ, უმეტესწილად მიღებულია ინფორმაციაზე დაყრდნობით, რასაც ჩვენ ვსწავლობთ და # 151 მაგალითზე, მაგალითად, კლდოვანი წარმონაქმნები, სინათლის ვარსკვლავები, ტელევიზორები, კიბოთი დაავადებულები, ვეშაპები ან ციფრები. ნიმუშები გამოიყენება იმიტომ, რომ შეიძლება რაღაცის შეუძლებელი, არაპრაქტიკული ან ძალიან ძვირი გამოკვლევა მოხდეს და რადგან ნიმუში ხშირად საკმარისია უმეტეს მიზნებისთვის.

მისი ნიმუშებიდან ყველაფრის შესახებ დასკვნების გაკეთებისას, ორი მთავარი საზრუნავი უნდა იქნას გათვალისწინებული. პირველ რიგში, სიფრთხილე გვმართებს შესაძლო მიკერძოების შესახებ, რომელიც შექმნილია იმის მიხედვით, თუ როგორ შეარჩიეს ნიმუში. ნიმუშების დახაზვის მიკერძოების წყარო მოიცავს მოხერხებულობას (მაგალითად, მხოლოდ მეგობრების ინტერვიუ ან მხოლოდ ზედაპირული ქანების აღება), თვით-შერჩევა (მაგალითად, მხოლოდ იმ ადამიანების შესწავლა, ვინც მოხალისეებად იღებს ან კითხვარებს აბრუნებს), ჩამოვარდნილთა ჩათვლით. გასწვრივ გზაზე (მაგალითად, მხოლოდ მოსწავლეების ტესტირება, რომლებიც სკოლაში რჩებიან ან მხოლოდ პაციენტებისთვის, რომლებიც თერაპიის კურსს გადიან) და გადაწყვეტილების მიღება მხოლოდ იმ მონაცემების გამოყენებაზე, რომლებიც ჩვენი წინასწარი მოსაზრებების მომხრეა.

მეორე მნიშვნელოვანი საზრუნავი, რომელიც განსაზღვრავს სინჯის სარგებლობას, არის მისი ზომა. თუ შერჩევა გაკეთებულია მეთოდის მიკერძოების გარეშე, მაშინ რაც უფრო დიდია ნიმუში, მით უფრო მეტია, რომ იგი ზუსტად წარმოადგენს მთელს. ეს იმიტომ ხდება, რომ რაც უფრო დიდია ნიმუში, მით უფრო მცირეა წმინდა შემთხვევითი ვარიაციების გავლენა მის შემაჯამებელ მახასიათებლებზე. არასწორი დასკვნის გაკეთების შანსი იკლებს, როდესაც ნიმუშის ზომა იზრდება. მაგალითად, შემთხვევითი შერჩევის ნიმუშებისთვის, იმის დადგენა, რომ 1,000-დან 600-ს აქვს გარკვეული თვისება, ბევრად უფრო ძლიერი დასტურია იმისა, რომ მოსახლეობის უმრავლესობას, საიდანაც იგი მოზიდულია, გააჩნია ეს თვისება, ვიდრე 10-ის 6-ის აღმოჩენა. (ან თუნდაც 9-დან 10) აქვს. მეორეს მხრივ, მთლიანი მოსახლეობის რეალური რაოდენობა, საიდანაც ნიმუში მიიღება, მცირე გავლენას ახდენს ნიმუშის შედეგების სიზუსტეზე. 1000-იანი შემთხვევითი ნიმუში დაახლოებით იგივე შეცდომის ზღვარს მიიღებს, იქნება ეს გათვლილი 10,000 მოსახლეობისგან, ან მსგავსი 100 მილიონიანი მოსახლეობისგან.

R EASONING

მსჯელობის ზოგიერთ ასპექტს აქვს მკაფიო ლოგიკური წესები, სხვებს მხოლოდ სახელმძღვანელო პრინციპები, ზოგიერთს კი თითქმის შეუზღუდავი შესაძლებლობა აქვს შემოქმედებისათვის (და, რა თქმა უნდა, შეცდომისა). დამაჯერებელი არგუმენტი მოითხოვს როგორც ჭეშმარიტ დებულებებს, ასევე მათ შორის მართებულ კავშირებს. მიუხედავად ამისა, ფორმალური ლოგიკა ეხება განცხადებებს შორის კავშირების ნამდვილობას, და არა სინამდვილეში დებულებებს. ლოგიკურად სწორია იმის მტკიცება, რომ თუ ყველა ფრინველს შეუძლია ფრენა, ხოლო პინგვინი ფრინველია, მაშინ პინგვინს შეუძლია ფრენა. მაგრამ დასკვნა სიმართლეს არ შეესაბამება, თუ შენობაში ჭეშმარიტება არ არის: მართლაც ყველა ფრინველი დაფრინავს და პინგვინი ნამდვილად ფრინველია? მოსაზრებების ჭეშმარიტების გამოკვლევა ისეთივე მსჯელობისთვის მნიშვნელოვანია, როგორც ლოგიკა, რომელიც მოქმედებს მათზე. ამ შემთხვევაში, რადგან ლოგიკა სწორია, მაგრამ დასკვნა მცდარია (პინგვინებს არ შეუძლიათ ფრენა), ერთი ან ორივე შენობა უნდა იყოს ყალბი (ყველა ფრინველს არ შეუძლია ფრენა, ან / და პინგვინი არ არის ფრინველი).

ძალიან რთული ლოგიკური არგუმენტები შეიძლება შეიქმნას მცირე რაოდენობის ლოგიკური საფეხურიდან, რაც დამოკიდებულია ძირითადი ტერმინების ”quotif,” quot & quotand, & quot & quotor, & quot & quotnot. & Quot. მაგალითად, სამედიცინო დიაგნოზი მოიცავს ლოგიკური განშტოების ჯაჭვებს, როგორიცაა & quot; თუ პაციენტს აქვს დაავადება X ან დაავადება Y და აქვს ასევე ლაბორატორიული შედეგი B, მაგრამ არ აქვს C ისტორია, მაშინ მან უნდა გაიაროს მკურნალობა D. & quot. ასეთი ლოგიკური პრობლემის გადაჭრა შეიძლება მოითხოვდეს მრავალი ურთიერთობის ცოდნას, დიდ მონაცემებზე წვდომას ურთიერთობებში შესანახი და ლოგიკური ოპერაციების განშტოებათა ჯაჭვების გამოკვეთის უნარი. იმის გამო, რომ კომპიუტერებს შეუძლიათ დიდი რაოდენობით ურთიერთობების და მონაცემების შენახვა და მოძიება და მათ შეუძლიათ ლოგიკური ნაბიჯების სწრაფი შესრულება, ისინი სულ უფრო ხშირად იყენებენ ექსპერტებს რთული პრობლემების გადაჭრაში, რომელთა გადაჭრა ძალიან რთული ან შეუძლებელი იქნება. ყველა ლოგიკური პრობლემის მოგვარება კომპიუტერებით შეუძლებელია.

ლოგიკური კავშირები ადვილად შეიძლება დამახინჯდეს. მაგალითად, წინადადება, რომ ყველა ფრინველს შეუძლია ფრენა, არ ნიშნავს ლოგიკურად, რომ ყველა არსება, რომელსაც ფრენა შეუძლია, ჩიტია. რაც შეიძლება აშკარად ჩანდეს ეს მარტივი მაგალითი, ხშირად ხდება დამახინჯება, განსაკუთრებით ემოციურად დატვირთულ სიტუაციებში. მაგალითად: ყველა დამნაშავე პატიმარი უარს ამბობს საკუთარი თავის წინააღმდეგ ჩვენების მიცემაზე პატიმარი სმიტი უარს ამბობს საკუთარი თავის ჩვენებაზე, ამიტომ პატიმარი სმიტი დამნაშავეა.

ლოგიკაში დამახინჯება ხშირად იწვევს აუცილებელ პირობებსა და საკმარის პირობებს არ განასხვავებს. მდგომარეობა, რომელიც აუცილებელია შედეგისთვის, ყოველთვის არის საჭირო, მაგრამ შეიძლება თავისთავად არ იყოს საკმარისი & # 151, რადგან აშშ-ს მოქალაქე აუცილებელია პრეზიდენტად არჩევისთვის, მაგრამ არ არის საკმარისი. შედეგი, რომელიც შედეგისთვის საკმარისია, თავისთავად საკმარისია, მაგრამ შეიძლება იმავე შედეგამდე მისასვლელი სხვა გზებიც იყოს და # 151 სახელმწიფო ლატარიის მოგება საკმარისია გამდიდრებისთვის, მაგრამ არსებობს სხვა გზები. ამასთან, პირობა შეიძლება იყოს როგორც აუცილებელი, ასევე საკმარისი, მაგალითად, საარჩევნო ხმების უმრავლესობის მიღება პრეზიდენტად გახდომისთვის აუცილებელია და ამისათვის საკმარისია, რადგან ეს ერთადერთი გზაა.

ლოგიკას აქვს შეზღუდული სარგებლობა მრავალი პრობლემის გადაჭრისას. აბსტრაქტული მოდელების მიღმა, ჩვენ ხშირად ვერ დავადგენთ არც შენობის ჭეშმარიტებას და არც მათ შორის ლოგიკურ კავშირებს. ზუსტი ლოგიკა მოითხოვს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ისეთი დეკლარაციები, როგორიცაა & quot; თუ X სიმართლეა, მაშინ Y მართალია ასევე & quot (ყეფა ძაღლი არ იკბინება), და & quotX მართალია & quot (ლაქა ქრება). როგორც წესი, მხოლოდ ის ვიცით, რომ & quotif X არის სიმართლე, მაშინ Y ხშირად მართალია ასევე & quot (ყეფა ძაღლი, როგორც წესი, არ იკბინება) და & quotX, როგორც ჩანს, მართალია ბევრ დროს & quot (ლაქა ჩვეულებრივ ყეფს). ჩვეულებრივ, მკაცრი ლოგიკა უნდა ჩანაცვლდეს ალბათობით ან სხვა სახის მსჯელობებით, რაც ბევრად ნაკლებ გარკვეულ შედეგებამდე მიგვიყვანს & # 151, მაგალითად, იმის მტკიცებით, რომ საშუალოდ წვიმა დაეცემა საღამომდე საღამოს 70 პროცენტი დღის განმავლობაში, რომელთაც აქვთ დილის ამინდი. დღევანდელის მსგავსი.

If we apply logical deduction to a general rule (all feathered creatures fly), we can produce a conclusion about a particular instance or class of instances (penguins fly). But where do the general rules come from? Often they are generalizations made from observations—finding a number of similar instances and guessing that what is true of them is true of all their class ("every feathered creature I have seen can fly, so perhaps all can"). Or a general rule may spring from the imagination, by no traceable means, with the hope that some observable aspects of phenomena can be shown to follow logically from it (example: "What if it were true that the sun is the center of motion for all the planets, including the earth? Could such a system produce the apparent motions in the sky?").

Once a general rule has been hypothesized, by whatever means, logic serves in checking its validity. If a contrary instance is found (a feathered creature that cannot fly), the hypothesis is not true. On the other hand, the only way to prove logically that a general hypothesis about a class is true is to examine all possible instances (all birds), which is difficult in practice and sometimes impossible even in principle. So it is usually much easier to prove general hypotheses to be logically false than to prove them to be true. Computers now sometimes make it possible to demonstrate the truth of questionable mathematical generalizations convincingly, even if not to prove them, by testing enormous numbers of particular cases.

Science can use deductive logic if general principles about phenomena have been hypothesized, but such logic cannot lead to those general principles. Scientific principles are usually arrived at by generalizing from a limited number of experiences—for instance, if all observed feathered creatures hatch from eggs, then perhaps all feathered creatures do. This is a very important kind of reasoning even if the number of observations is small (for example, being burned once by fire may be enough to make someone wary of fire for life). However, our natural tendency to generalize can also lead us astray. Getting sick the day after breaking a mirror may be enough to make someone afraid of broken mirrors for life. On a more sophisticated level, finding that several patients having the same symptoms recover after using a new drug may lead a doctor to generalize that all similar patients will recover by using it, even though recovery might have occurred just by chance.

The human tendency to generalize has some subtle aspects. Once formed, generalities tend to influence people's perception and interpretation of events. Having made the generalization that the drug will help all patients having certain symptoms, for example, the doctor may be likely to interpret a patient's condition as having improved after taking the drug, even if that is doubtful. To prevent such biases in research, scientists commonly use a "blind" procedure in which the person observing or interpreting results is not the same person who controls the conditions (for instance, the doctor who judges the patient's condition does not know what specific treatment that patient received).

Much of reasoning, and perhaps most of creative thought, involves not only logic but analogies. When one situation seems to resemble another in some way, we may believe that it resembles it in other ways too. For example, light spreads away from a source much as water waves spread from a disturbance, so perhaps light acts like water waves in other ways, such as producing interference patterns where waves cross (it does). Or, the sun is like a fire in that it produces heat and light, so perhaps it too involves burning fuel (in fact, it does not). The important point is that reasoning by analogy can suggest conclusions, but it can never prove them to be true.

Copyright © 1989, 1990 by American Association for the Advancement of Science


3. Projections

In the second part of this chapter, Hipparchus explains one of the greatest ideas in mathematics, that of a projection. The Earth is round, but we would like to represent it on a plane, such as a piece of paper, in order to make a map which we can put in an atlas.

There are many methods for drawing a map the Earth. The general principle is to choose a region of the Earth and to associate to each point გვ of this region a point F(p) on the plane. We have then represented the region in question on a piece of the plane. Choosing the representation is the essence of the art of cartography different choices emphasize different characteristics of the region. The ideal would be an isometric map, in which one could measure the distance between two points გვ და q by measuring the distance between their representations F(p) და F(p). Unfortunately there is no such ideal map, and we must compromise in some way or another. For example, some maps try to preserve areas. Cartography is a fascinating subject with a long history often parallel to that of mathematics, and which has recently made considerable progress thanks to very precise modern measurements and to the help of computers. Here are two sites which can serve as points of entry to the study of this science.

The map which Hipparchus presents to us bears an erudite name: stereographic projection. We should say that stereographic projection is not much used in maps today, except to represent polar zones. But we will see little by little in the course of this film that this projection has considerable mathematical interest and that it is in fact extremely useful.

The definition is very simple. We consider a plane tangent to the Earth at the south pole. For every point გვ of the sphere which is different from the north pole, we draw the line pn which joins გვ to the north pole. This line hits the tangent plane in another point, F(p). Stereographic projection is thus a representation of the sphere (with the north pole removed) in the plane .

Who invented this projection? This is another contentious historical debate. Some think it was Hipparchus, others Ptolemy, and others claim that Hipparchus did indeed invent stereographic projection but did not understand its properties.

Stereographic projection has three essential properties, closely related to one another.

first property, nicely illustrated in the film, is that the projection transforms a circle on the sphere into a circle or a line in the plane. If you have the patience to wait until the final chapter, you will understand why.

In order to demonstrate this, Hipparchus rolls the Earth on the tangent plane at the south pole. As a result, it is no longer the south pole that touches the plane, and the projection is no longer from the north pole, but rather from the "highest point" onto the tangent plane at the "lowest point." It may not be realistic to think of rolling the Earth in this way, but it gives very nice projections!

Click on the image at left for a film.

მეორე property of stereographic projection, which is not illustrated in the film, is that it respects angles. This means that if we take two curves on the sphere which intersect at a certain angle at some point, then the projections of the curves intersect in the same angle. In the image at left you can see that the projections of the meridians and parallels intersect at right angles, just as they do on the sphere. This feature is useful for a navigator who is charting his course. he would like very much for the angles he is measuring with his instruments to be exactly the same as those on his map.

მესამე property of stereographic projection is that, even though it does not realize the ideal of preserving distances, it "does the best it can." Take a point გვ on the sphere and consider a very small region surrounding გვ. Stereographic projection sends the region to a region F(R) around the point F(p). The smaller is, the better preserves the form of . What this means mathematically is that there is a constant , which we might call the scale of the map in , such that if q 1 და q 2 are two points of , then the ratio between the distances from q 1 და q 2 (in the sphere) and F(q 1 ) და F(q 2 ) (on the plane) is almost equal to . What does "almost" mean here? It means that this ratio becomes closer and close to as becomes smaller and smaller. In less precise language this means that the map respects the form of very small regions, and for that reason it is called conformal. This is the principal feature of stereographic projection: it is almost perfect for a user who employs it only in a small neighborhood of himself!

After this first excursion, let us re-emphasize the lesson of Hipparchus: the sphere is two-dimensional because we can describe its points by two numbers: latitude and longitude. Furthermore, it is very useful to represent the sphere in a plane using stereographic projection.

These lessons will come in very handy for exploring the third dimension. and then the fourth!


Chapters - Mathematics

The 2021 Pi Mu Epsilon (PME) National Meeting will be held at the Mathematical Association of America (MAA) virtual MathFest conference on August 4-7, 2021. The deadline to apply to be a PME speaker is June 11, 2021. Pl&hellip Read More

Latest News

Introducing New Hampshire Beta—SNHU #403

Southern New Hampshire University Induction Ceremony, March 04, 2020

2020 MathFest in Philadelphia, PA

Unfortunately, the PME National Council has decided that all PME activities at MathFest 2020, including travel support, have been canceled. If you have any questions, please do not hesitate to contact the Secretary-Treasurer [email protected]>. PME Student Speaker information is &hellip

Introducing Ohio Chi — PME Chapter #402

Shawnee State University, Ohio Chi, Induction Ceremony�

2019 PME Speaker Award Winners

Prizes for outstanding Pi Mu Epsilon student talks, presented to students at the Pi Mu Epsilon Banquet and Award Ceremony, MathFest, August 2, 2019, Cincinnati, Ohio Council for Undergraduate Research Award for Outstanding Student Research Maia Wichman, Grand Valley State &hellip


Class 10 Maths NCERT Solutions Chapter 3

Class 10 maths NCERT solutions chapter 3 pair of linear equations in two variables comprise of all the step-wise answers to the different topics included in this chapter such as introduction to linear equations in two variables, algebraic and graphical methods to solve linear equations such as cross multiplication.

Preparation Tips:

Given below is a list of tips that can help you understand class 10 maths NCERT solutions chapter 3 faster.

  • Make notes on the important theories such as consistent and inconsistent lines.
  • Practice the NCERT solutions regularly.
  • For graphical methods, draw proper graphs for correct analysis.

Class 10 Maths NCERT Solutions Chapter 3

Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables

Topics Covered: Class 10 maths NCERT solutions chapter 3 include an introduction to linear equations in two variables, different algebraic techniques such as substitution and elimination used to solve them. The chapter has a total of 29 questions.


Tq sir❤❤ veliya cash pay panni sollitharanga apo kooda unga alavuku yarum eduka matinguranga u are such a awesome teacher sir U AR SUCH A SERVICEMAN sir❤❤

”Sir, thank you so much sir. Without your online classes I wouldn't have scored 93/100. I got only 81 in 11th. But I came to know about your online classes only when my friend said to me. It was totally because of you I got this mark sir. Thank you so much sir”

"Sir I got 89 I lost my mark due to careless mistakes

Sir seriously I won't get this mark without you

God will always make you happy sir"

"Hi sir, I was weak in maths and used to score border marks in maths. your videos helped me to score 82/100. Thank you sir"

"Sir thank you so much for you sir I got 96 in maths because of you and my hard work.Once again thank you so so much"

"Sir with the help of your guidance I scored 84 mark in maths public exam . It's a right moment to express my gratitude Thank you sir"


Practicing NCERT Online Maths Objective Questions For Class 12 Pdf Answers is one of the best ways to prepare for the CBSE Class 12 board exam. There is no substitute for consistent practice whether one wants to understand a concept thoroughly or one wants to score better. By practicing more 2nd Year Maths MCQs with Answers Pdf Download, students can improve their speed and accuracy which can help them during their board exam.

We hope the given MCQ Questions For Class 12 Maths With Answers will help you. If you have any query regarding CBSE Class 12 Maths Multiple Choice Questions with Answers, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Making the transition to online teaching can be a difficult one. In this video, we show teachers how to create a web conference using Zoom and how to invite their students from your MHS teacher account. We also demonstrate how to teach an online class using the proven methods of teaching that they are accustomed to.

Many schools use the Google platform and this explainer video walks teachers through setting up an online web conference for their class using Google MEET and how to invite students to the class using their MHS teacher account.

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that supports HTML5 video


Უყურე ვიდეოს: ქართული, X კლასი - იაკობ ხუცესი, შუშანიკის წამება #ტელესკოლა (დეკემბერი 2021).