სტატიები

11.12: ტეილორის თეორემა - მათემატიკა


უსასრულო სერიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი გამოყენებაა სერიის საწყისი ნაწილის გამოყენების პოტენციალი (f ) მიახლოებისთვის (f ). მაგალითად, ჩვენ ვნახეთ, რომ მონაცვლე სერიის პირველ (n ) ტერმინებს დავამატებთ შემცირებული ტერმინებით, რომ განსხვავება ამ და ნამდვილ მნიშვნელობას შორის მაქსიმალურად არის შემდეგი ტერმინის ზომა. მსგავსი შედეგია ტეილორის მრავალი სერიის შემთხვევაში.

თეორემა 11.11.1: ტეილორის თეორემა

დავუშვათ, რომ (f ) განისაზღვრება რაიმე ღია ინტერვალზე (I ) გარშემო (a ) და ჩავთვალოთ, რომ $ $ f ^ {(N + 1)} (x) $ $ არსებობს ამ ინტერვალზე. შემდეგ თითოეული (x not = a ) ში (I ) არის მნიშვნელობა (z ) (x ) და (a ) შორის ისე, რომ $$ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1 )!} (xa) ^ {N + 1}. ]

მტკიცებულება

მტკიცებულება გარკვეულ ჭკუას მოითხოვს, მაგრამ დეტალები საკმაოდ ელემენტარულია. ჩვენ გვინდა განვსაზღვროთ ფუნქცია (F (t) ). დაიწყეთ განტოლებით $$ F (t) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (t) მეტი n!} , (Xt) ^ n + B (xt) ^ { N + 1}. $ $ აქ ტეილორის სერიის პირველი (N + 1 ) ტერმინებში შევცვალეთ (a ) (t ) და ბოლოს დაამატეთ ფრთხილად არჩეული ტერმინი, (B ) განისაზღვრება. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ (x ) დროებით ვაფიქსირებთ, ამიტომ ამ განტოლებაში ერთადერთი ცვლადი არის (t ) და ჩვენ დაინტერესებული ვიქნებით მხოლოდ (t ) შორის (a ) და (x ) ) ახლა შეცვალეთ (t = a ): $ $ F (a) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (Xa) ^ n + B (xa) ^ {N + 1}. $ $ დააყენეთ ტოლი (f (x) ): $ $ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (ა) ზე n!} , (xa) ^ n + B (xa) ^ {N + 1}. $ $ მას შემდეგ, რაც (x not = a ), ამის მოგვარება შეგვიძლია (B ) - ისთვის , რაც არის "მუდმივი" --- ეს დამოკიდებულია (x ) და (a ), მაგრამ ისინი დროებით ფიქსირდება.

ახლა ჩვენ განვსაზღვრეთ ფუნქცია (F (t) ) თვისებით, რომელიც (F (a) = f (x) ). განვიხილოთ ასევე (F (x) ): ყველა (= xt) პოზიტიური დონის ყველა ტერმინი ნულდება, როდესაც (x ) - ს ჩავანაცვლებთ (t ), ასე რომ, ჩვენ გვრჩება $ $ F (x) = f ^ {(0)} (x) / 0! = f (x). $ $ So (F (t) ) არის ინტერვალის ბოლო წერტილებზე იგივე მნიშვნელობის ფუნქცია (([ ნაჯახი]). როლის თეორემის მიხედვით (6.5.1), ჩვენ ვიცით, რომ არსებობს მნიშვნელობა (z in (a, x) ) ისეთი, რომ (F '(z) = 0 ). მოდით ვნახოთ (F '(t) ). თითოეული ტერმინი (F (t) ) - ში, გარდა პირველი ტერმინისა და დამატებითი ტერმინისა, რომელიც მოიცავს (B ) - ს, არის პროდუქტი, ამიტომ წარმოებული პროდუქტის მისაღებად ვიყენებთ პროდუქტის წესს თითოეულ ამ ტერმინზე.

ეს დაგეხმარებათ განსაზღვროთ განსაზღვრების პირველი რამდენიმე ტერმინი: $ $ eqalign {F (t) = f (t) & + {f ^ {(1)} (t) 1-ზე მეტი!} (Xt) ^ 1+ {f ^ {(2)} (t) 2-ზე მეტი!} (Xt) ^ 2 + {f ^ {(3)} (t) 3-ზე მეტი!} (Xt) ^ 3 + cdots cr & + {f ^ {(N)} (t) მეტი N!} (xt) ^ N + B (xt) ^ {N + 1}. cr} $ $ აიღე წარმოებული: $ $ eqalign {F '(t) = f' (t) & + მარცხენა ({f ^ {(1)} (t) 1-ზე მეტი!} (xt) ^ 0 (-1) + {f ^ {(2)} ( t) 1-ზე მეტი!} (xt) ^ 1 მარჯვნივ) cr & + მარცხენა ({f ^ {(2)} (t) 1-ზე მეტი!} (xt) ^ 1 (-1) + {f ^ {(3)} (t) 2-ზე მეტი!} (Xt) ^ 2 მარჯვნივ) cr & + მარცხენა ({f ^ {(3)} (t) 2-ზე მეტი!} (Xt) ^ 2 (-1) + {f ^ {(4)} (t) 3-ზე მეტი!} (Xt) ^ 3 მარჯვნივ) +… + cr & + მარცხენა ({f ^ {(N)} (t) over (N-1)!} (xt) ^ {N-1} (- 1) + {f ^ {(N + 1)} (t) over N!} (xt) ^ N right) cr & + B (N + 1) (xt) ^ N (-1). cr} $ $ ახლა ამ გამოთქმაში ტერმინების უმეტესობა გაუქმდება, მხოლოდ $ $ F '(t) = {f ^ {( N + 1)} (t) მეტი N!} (Xt) ^ N + B (N + 1) (xt) ^ N (-1). $ $ გარკვეულწილად (z ), (F '( z) = 0 ) ასე რომ $ $ eqalign {0 & = {f ^ {(N + 1)} (z) მეტი N!} (xz) ^ N + B (N + 1) (xz) ^ N ( -1) cr B (N + 1) (xz) ^ N & = {f ^ {(N + 1)} (z) მეტი N!} (Xz) ^ N cr B & = {f ^ {(N +1)} (z) over (N + 1)!}. Cr} $ $ ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ $ $ F (t) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (ტ) ოვ er n!} , (x-t) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (x-t) ^ {N + 1}. $ $ გავიხსენებთ, რომ (F (a) = f (x) ) მივიღებთ $ $ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n! } , (xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (xa) ^ {N + 1}, $ $, რისი ჩვენებაც გვინდოდა .

( კვადრატი )

შეიძლება დაუყოვნებლივ არ იყოს აშკარა, რომ ეს განსაკუთრებით სასარგებლოა; მოდით ვნახოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 11.11.1

იპოვნეთ მრავალწევრის დაახლოება ( sin x ) - ის ზუსტიდან ( სთ 0.005 ).

გამოსავალი

ტეილორის თეორემიდან: $ $ sin x = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (Xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (Xa) ^ {N + 1}. $ $ რა შეგვიძლია ვთქვათ ტერმინის ზომაზე $ $ {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (Xa) ^ {N + 1}? $ $ ყოველი წარმოებული ( sin x ) არის ( pm sin x ) ან ( pm cos x ), ასე რომ (| f ^ {(N + 1)} (z) | le 1 ) ფაქტორი ((x-a) ^ {N + 1} ) ცოტა უფრო რთულია, რადგან (x-a ) შეიძლება საკმაოდ დიდი იყოს. მოდით ავირჩიოთ (a = 0 ) და (| x | le pi / 2 ); თუ ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ( sin x ) (x in [- pi / 2, pi / 2] ), რა თქმა უნდა შეგვიძლია გამოვთვალოთ ( sin x ) ყველას (x ) )

ჩვენ უნდა ავირჩიოთ (N ) ისე, რომ $ $ მარცხნივ | {x ^ {N + 1} ზე მეტი (N + 1)!} მარჯვნივ | <0.005. $ $ რადგან ჩვენ შემოვიფარგლეთ (x ) ([- - pi / 2, pi / 2] ) - ით, $ $ მარცხნივ | {x ^ {N + 1} მეტი (N + 1)!} მარჯვნივ | <{2 ^ {N + 1} over (N + 1)!}. $ $ მარჯვენა რიცხვის შემცირებით იზრდება (N ), ამიტომ ჩვენ მხოლოდ უნდა ვიპოვოთ (N ) ასე რომ $ $ {2 ^ {N + 1} ზე მეტი (N + 1)!} <0.005. $ $ მცირე ცდა და შეცდომა გვიჩვენებს, რომ (N = 8 ) მუშაობს და სინამდვილეში (2 ^ {9 } / 9! <0.0015 ), ასე რომ

[ eqalign { sin x & = sum_ {n = 0} ^ 8 {f ^ {(n)} (0) მეტი n!} , x ^ n pm 0.0015 cr & = x- { x ^ 3 6 ზე მეტი} + {x ^ 5 120 ზე მეტი} - {x ^ 7 5040} ზე მეტი 0.0015 საათზე. cr} ]

დიაგრამა 11.11.1 გვიჩვენებს გრაფიკებს ( sin x ) და დაახლოება ([0,3 pi / 2] ). როგორც (x ) იზრდება, მიახლოება მიემართება ნეგატიური უსასრულობისკენ ძალიან სწრაფად, რადგან ის არსებითად მოქმედებს ისე, როგორც (-x ^ 7 ).

მაგალითი 11.11.2

სურათი 11.11.1. ( sin x ) და მრავალწევრის მიახლოება.

გამოსავალი

ამ მაგალითიდან ცოტა მეტი ინფორმაციის მოპოვება შეგვიძლია. თუ არ ვზღუდავთ (x ) მნიშვნელობას, ჩვენ $ $ ისევ დაგვრჩა | {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} X ^ {N + 1 } მარჯვნივ | le მარცხენა | {x ^ {N + 1} ზე მეტი (N + 1)!} მარჯვნივ | $ $ ისე, რომ ( sin x ) წარმოდგენილი იყოს

[ sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (0) over n!} , x ^ n pm left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} მარჯვნივ |. ]

თუ ჩვენ შეგვიძლია დავანახოთ, რომ $ $ lim_ {N inyfty} left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} Right | = 0 $ $ თითოეული x შემდეგ

[ sin x = sum_ {n = 0} ^ უვარგისი {f ^ {(n)} (0) მეტი n!} , x ^ n = sum_ {n = 0} ^ უვარგისი (- 1) ^ n {x ^ {2n + 1} ზე მეტი (2n + 1)!}, ]

ანუ სინუსის ფუნქცია სინამდვილეში უდრის მისი მაკლაურინის სერიას ყველა x- ისთვის. როგორ დავამტკიცოთ, რომ ლიმიტი ნულოვანია? დავუშვათ, რომ N აღემატება (| x | ), და მოდით M იყოს უდიდესი მთელი რიცხვი, ვიდრე (| x | ) (თუ (M = 0 ) შემდეგი კიდევ უფრო ადვილია). შემდეგ

[ eqalign {{| x ^ {N + 1} | over (N + 1)!} & = {| x | over N + 1} {| x | over N} {| x | over N-1} cdots {| x | მეტი M + 1} {| x | მეტი M} {| x | მეტი M-1} cdots {| x | მეტი 2} {| x | მეტი 1} cr & le {| x | მეტი N + 1} cdot 1 cdot 1 cdots 1 cdot {| x | მეტი M} {| x | მეტი M-1} cdots {| x | მეტი 2} {| x | მეტი 1} cr & = {| x | მეტი N + 1} {| x | ^ M მეტი M!}. } ]

სიდიდე (| x | ^ M / M! ) მუდმივია, ამიტომ $ $ lim_ {N nfty} {| x | მეტი N + 1} {| x | ^ M მეტი M! } = 0 $ $ და ავტორი გაწურეთ თეორემა (11.1.3)

[ lim_ {N to infty} left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} right | = 0 $ $ სასურველია. არსებითად იგივე არგუმენტი მუშაობს ( cos x ) და (e ^ x ); სამწუხაროდ, უფრო ძნელია იმის ჩვენება, რომ ფუნქციების უმეტესობა მათი მაკლაურინის სერიის ტოლია.

მაგალითი 11.11.3

იპოვნეთ პოლინომური მიახლოება (e ^ x ) - ისთვის (x = 2 ) ახლოს ( pm 0.005 ).

გამოსავალი

ტეილორის თეორემიდან: $ $ e ^ x = sum_ {n = 0} ^ N {e ^ 2 over n!} , (X-2) ^ n + {e ^ z over (N + 1)! } (x-2) ^ {N + 1}, $ $ მას შემდეგ, რაც (f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) ყველა n. ჩვენ გვაინტერესებს x 2 – ის მახლობლად და (| (x-2) ^ {N + 1} | ) შემოწმება გვჭირდება, ასე რომ ასევე შეგვიძლია მივუთითოთ, რომ (| x-2 | le 1 ), ასე რომ (x in [1,3] ). ასევე $ $ მარცხენა | {e ^ z over (N + 1)!} Right | le {e ^ 3 over (N + 1)!}, $ $ ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვნოთ N, რომელიც ქმნის (e ^ 3 / (N + 1)! ლე 0.005 ). ამჯერად (N = 5 ) ქმნის (e ^ 3 / (N + 1)! <0.0015 ), ასე რომ, სავარაუდო მრავალკუთხედი არის $ $ e ^ x = e ^ 2 + e ^ 2 (x-2) + {e ^ 2 over2} (x-2) ^ 2 + {e ^ 2 over6} (x-2) ^ 3 + {e ^ 2 over24} (x-2) ^ 4 + {e ^ 2 over120} (x-2) ^ 5 pm 0.0015. $ $ ეს დამატებით პრობლემას წარმოადგენს, რადგან ჩვენ ასევე გვჭირდება მიახლოებითი (e ^ 2 ) და ნებისმიერი მიახლოება, რომელსაც ვიყენებთ, შეცდომას გაზრდის, მაგრამ ამ გართულებას ჩვენ არ დავიცავთ.

კარგად გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითებში გარკვეული სიზუსტის პოლინომები აღმოვაჩინეთ მხოლოდ მცირე ინტერვალზე, მიუხედავად იმისა, რომ ( sin x ) და (e ^ x ) სერიები ყველა (x ) გადანაწილდება; ეს ტიპიურია. იგივე სიზუსტის მისაღებად უფრო მეტ ინტერვალს, მეტი ტერმინი დასჭირდება.


ტეილორის სერიები

ტეილორის სერია ერთ-ერთი ყველაზე სასარგებლო შედეგია მათემატიკაში. მეთოდი მთელი თავისი ზოგადობით პირველად წარადგინა ბრუკ ტეილორმა. ტეილორის სერიის აპლიკაციის სანახავად, გაეცანით ეილერის ფორმულას.

ტეილორის სერიის მტკიცებულება დამოკიდებულია ძირითად ანგარიშზე.

ყველას, ვინც თავს კომფორტულად არ გრძნობს f (x) აღნიშვნასთან ან მათემატიკური ფუნქციის ცნებასთან დაკავშირებით, დაიწყეთ აქ.

ყველასთვის, ვინც არ იცის წარმოებულების ან f '(x), f' '(x) ან f n (x) აღნიშვნების შესახებ, დაიწყეთ აქ.

თეორემა: ტეილორის სერიები
თუკი
(ა) f არის ფუნქცია ყველა ბრძანების წარმოებულებით
(ბ) (lim n & # 8594 inf) [f (n + 1) (z)] / (n + 1)! (x-a) n + 1 = 0
შემდეგ:
f (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + [f ”' (a) / 2!] (x-a) 2 +. + [f (n) (a) / n!] (x-a) n +.

(1) მოდით n იყოს თვითნებური პოზიტიური მთელი რიცხვი.

(x) = f (a) + f '(a) (x-a) + f' '(a) [(x-a) 2] / 2! + + f (n) [(x-a) n] / n!

სადაც z არის a და x შორის.

(3) b ვარაუდიდან ვხედავთ, რომ:
lim (n & # 8594 inf) რ (x) = 0.

(4) შემდეგ გამომდინარეობს, რომ:
f (x) = lim (n & # 8594 inf) P (x) =


11.12: ტეილორის თეორემა - მათემატიკა

ტეილორის & # 8217 წლების თეორემა გამოიყენება უსასრულო სერიის გაფართოებისთვის, როგორიცაა ა.შ., ასე რომ ამ ფუნქციების ან მრავალწევრების მნიშვნელობების მიახლოება შეგვიძლია. Taylor & # 8217s- ის თეორემა გამოიყენება k- დროის დიფერენცირებადი ფუნქციის დაახლოებისთვის.

განცხადება:
მოდით (n-1) ე წარმოებული ე.ი. იყოს უწყვეტი მე -9 წარმოებული არსებობს და იყოს მოცემული პოზიტიური მთელი რიცხვი. მაშინ არსებობს მინიმუმ ერთი რიცხვი იტყუება 0 – დან 1 – მდე, ისე რომ:
…..

სად და
X = a + h ან h = x-a ჩასმისას ვწერთ განტოლებას, როგორც:
…..

ტეილორის ნარჩენები რ n ვადის შემდეგ:
1. კოში: ჩვენ მივიღეთ p = 1 ტეილორის თეორემაში მისაღებად
2. ლაგრანჯი: p = n იძლევა

ტეილორის ფორმულა:
ლაგრანგის დარჩენილი ნაწილის გამოყენებით ვიღებთ ტეილორის ფორმულას:
…..
სად
როგორც n & # 8594 & infin თუ R & # 85940 მაშინ ფორმულის ბოლო ტერმინი ხდება

ამიტომ ტეილორის ფორმულა კიდევ უფრო ამცირებს

ეს ფორმულა ახლა გამოიყენება f (x) უსასრულო სერიის გაფართოების მიზნით a წერტილის შესახებ.

მაგალითი:
მიიღე ტეილორის სერიის გაფართოება

x = -1 წერტილის შესახებ.

განმარტება:
ფორმულის მიხედვით აქ გვაქვს = -1 და f (x) მოგვაწოდეთ. უპირველეს ყოვლისა უნდა გამოვთვალოთ f (a) და შემდეგ გამოვთვალოთ f (x) წარმოებულები მოცემულ წერტილში, სანამ იგი არ გახდება ნული.






ახლა ჩვენ აქ ვჩერდებით, რადგან შემდეგი წარმოებული იქნება ნული. f ^ n (x)

ამრიგად, ტეილორის სერია f (x) გაფართოების შესახებ x = -1 არის:
…..

ჩვენ მიერ გამოანგარიშებული მნიშვნელობების ჩანაცვლებას მივიღებთ

ყურადღება მკითხველო! ნუ შეწყვეტ ახლა სწავლას გაითვალისწინეთ ყველა მნიშვნელოვანი CS თეორიის კონცეფცია SDE ინტერვიუებისთვის CS თეორიის კურსი სტუდენტურ ფასად და გახდით მრეწველობა მზად.


კვადრატული საქმე

$ P _ ( bfh) $ ფორმულა.

ჩვენ მიერ მოცემული განსაზღვრების თანახმად, ტეილორის მე -2 რიგით პოლინომი $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ $ $ $ $ $ bfa $ არის კვადრატული მრავალკუთხედი ისეთი, რომ $ f ( bfa) = P_ < bfa, 2> (< bf 0>) $ და ისეთი, რომ $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ პირველი და მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები $ bf h = 0 $ ემთხვევა პირველს და $ f $ მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები $ bfa $.

წინადადება 2. დაიწყოს P _ < bfa, 2> ( bfh) & amp = f ( bfa) + sum_^ n h_i partial_i f ( bfa) + frac 12 sum_^ n h_i h_j partial_i partial_j f ( bfa) nonumber & amp = f ( bfa) + nabla f ( bfa) cdot bfh + frac 12 (H ( bfa) bfh) cdot bfh ეტიკეტი დასასრული სადაც $ H ( bfa) $ ნიშნავს $ f $ მეორე წარმოებულების მატრიცას $ bfa $: $ H ( bfa): = n ჯერ n mbox <მატრიცა რომლის მატრიცა> (i, j) mbox < ჩანაწერი არის partial_i partial_j f ( bfa). $

დასტურია სავარჯიშო, დააჭირეთ აქ, რომ ნახოთ თუ როგორ უნდა დაიწყოთ.

ამის დამტკიცება შესაძლებელია $ bfh $ ცვლადში ზოგადი კვადრატული მრავალწევრის $ q $ გათვალისწინებით. ეს ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს სახით, შემდეგ $ q $ შეიძლება დაიწეროს სახით $ q ( bfh) = frac 12 (A bfh) cdot bfh + bfb cdot bfh + c, $ სადაც $ A $ არის სიმეტრიული $ n ჯერ n $ მატრიცა მასალებით $ (a_) $, $ bfb in R ^ n $ და $ c in R $. ამის შემდეგ შეიძლება განვასხვავოთ $ q $ და ვნახოთ რა პირობები უნდა დააკმაყოფილოს $ A, bfb, c $ კოეფიციენტები, რათა ყველა $ $ $ შეკვეთის ყველა წარმოებული $ bfh = bf 0 $ დათანხმდეს შესაბამის წარმოებულებს $ f $ at $ bfa $. (იხილეთ სავარჯიშოები.)

მისი მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ჩვენ ხელახლა ვაცხადებთ ტეილორის & # 39-ის თეორემას შემთხვევაში $ k = 2 $ (რამდენიმე დამატებითი დეტალის ჩათვლით, რომლებიც ზოგადად არ ვახსენეთ).

თეორემა 3. ტეილორის კვადრატული შემთხვევა და # 39-ის თეორემა. ჩათვალეთ, რომ $ S ქვეჯგუფი R ^ n $ არის ღია ნაკრები და რომ $ f: S to R $ არის $ C $ 2 $ კლასის ^ C $ 2 ფუნქცია.
შემდეგ $ bfa in S $ და $ bfh in R ^ n $ ისეთი, რომ $ bfa $ და $ bfa + bfh $ დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტი შეიცავდეს $ S $, არსებობს $ theta (0,1) $ -ში, რომ დაიწყოს ლეიბლი f ( bfa + bfh) = f ( bfa) + nabla f ( bfa) cdot bfh + frac 12 (H ( bfa + theta bfh) bfh) cdot bfh. დასასრული შედეგად (იხილეთ სავარჯიშოები), დაწყება ლეიბლი lim _ < bfh დან < bf 0 >> frac( bfh)> <| bfh | ^ 2> = 0, quad mbox R _ < bfa, 2> ( bfh) = f ( bfa + bfh) - P _ < bfa, 2> ( bfh) დაბოლოება სადაც $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ ფორმულა მოცემულია eqref.

მტკიცებულების იდეა ასეთია:

პირველ რიგში, განსაზღვრეთ $ phi (s) = f ( bfa + s bfh) = f ( bfg (s)) $ $ bfg (s) = bfa + s bfh $. ვარაუდით, $ phi $ დომენი არის ღია ნაკრები, რომელიც შეიცავს $ [0,1] $ ინტერვალს. ჩვენი დაშვებები და ჯაჭვის წესი ასევე გულისხმობს, რომ $ phi $ არის $ C ^ 2 $ კლასის ფუნქცია.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინადადება 1 $ phi $ ($ a = 0 $ და $ h = 1 $) - ით, რომ დავადგინოთ, რომ არსებობს $ $ theta (0,1) $ ისეთი, რომ დაიწყოს ლეიბლი phi (1) = phi (0) + phi & # 39 (0) + frac 12 phi & # 39 & # 39 ( theta). დასასრული

ჩვენ ვიცით, რომ $ phi (1) = f ( bfa + bfh) $ და $ phi (0) = f ( bfa) $. უფრო მეტიც, ჯაჭვის წესის მიხედვით ვიცით, რომ $ phi & # 39 (0) = bfh cdot nabla f ( bfa) $. ჩვენ შეგვიძლია შეამოწმოთ ჯაჭვის წესის გამოყენება ლეიბლი phi & # 39 & # 39 ( theta) = (H ( bfa + theta bfh) bfh) cdot bfh. დასასრული (იხ. სავარჯიშოები). ერთი იძენს eqref ამის გამოყენებით eqref გადაწერა.

დეტალებისთვის იხილეთ წვრთნები.


11.12: ტეილორის თეორემა - მათემატიკა

Სამუშაო საათები: მგვ 2: 30-3: 30

ოფისი: APM 5256, ტელ. 534-2734 წწ

კურსის წიგნი: ელემენტარული ანალიზი, ავტორი კენ როსი. მე -4, მე -5 და მე -6 თავები

ასისტენტის ასისტენტი: ჩინგიუან ჩენი, ელ.წერილი: [email protected] სამუშაო საათები: M: 6-8 https://ucsd.zoom.us/j/97108359812

დისკუსიის ბმული A01: https://ucsd.zoom.us/j/98918026102

შეფასების შეფასება: შეფასება გამოითვლება საშინაო დავალების (25%) ორი შუალედური შუალედიდან (თითოეული 25%) და A და B ნაწილი (25% თითოეული ნაწილისთვის). გულმოდგინე მკითხველმა შეამჩნია, რომ ეს 125% -ს შეადგენს: ჩვენ ავირჩევთ სამ საუკეთესო ქულას თქვენი შუალედური და ფინალური ნაწილების A და B ნაწილებიდან.

ჩვენ ჩამოაგდებთ თქვენი საშინაო დავალებების ყველაზე ცუდ ორ ქულას.

გამოცდები: გამოცდები ასევე გაიცემა გრადუსკოპზე. არ იქნება მაკიაჟის გამოცდები. შუალედური პირობები მიეცემა კლასში. ზუსტი დროისა და თარიღისთვის იხილეთ ქვემოთ მოცემული სილაბუსი.

საშინაო დავალებები ელ.ფოსტის მოთხოვნა უნდა გქონდეთ მიღებული, რომ გაცნობოთ თქვენი gradecope ჩარიცხვის შესახებ და მიუთითოთ ბმული თქვენი პირადი ანგარიშის დასაყენებლად. მიუხედავად იმისა, რომ საშინაო დავალებები შედარებით მცირეა საერთო კლასისთვის, ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ გააკეთოთ ეს, ან, თუნდაც, სერიოზულად შეეცადოთ შეასრულოთ ისინი. საგამოცდო პრობლემების უმეტესობა საშინაო დავალების ან პრაქტიკის საგამოცდო პრობლემების მსგავსი იქნება.

თქვენ შეგიძლიათ უყუროთ ამ ვიდეოს, სადაც აღწერილია, თუ როგორ უნდა დაასკანიროთ და წარადგინოთ HW ინტერნეტით.

1/13-ისთვის: თავი 23: 1, 4, 5, 7, 9, თავი 24: 2, 9, 10

1/20-ისთვის: თავი 24: 13, 14, 17, თავი 25: 2, 4, 5, 9, 15 (ა)

1/27-ისთვის: (არ არის ჩასმული, მაგრამ მნიშვნელოვანია შუალედური პერიოდისთვის) თავი 26: 3, 4, 5, 6, 7

2/3-ისთვის: თავი 28: 3 (ა), 4, 7, 8 თავი 29: 2 (თქვენ შეიძლება ჩათვალოთ, რომ ცოდვა x არის –cos x) F, 5, 7 (a), 14

2/10-ისთვის: თავი 30: 1, 4, 6 თავი 31: 1, 5, 6

2/18 – ისთვის: თავი 32: 1, 2, 5, 6, 7 (შეგიძლიათ გამოიყენოთ თეორემა 33.3 (ii)), 8

3/3-ისთვის: თავი 33: 3 (ა), 4, 7, 8, 9, 13

3/10-ისთვის: თავი 34: 2, 3, 5, 10, 11, 12

დამატებითი პრაქტიკის პრობლემები ფინალისთვის

შუალედური პერიოდისთვის შესაბამისი ინფორმაცია, გადადით ქვემოთ, პირველი შუალედურის შესახებ ინფორმაციის მიღების შემდეგ

ინფორმაცია პირველი შუალედური პერიოდის შესახებ

შინაარსი: შუალედური იქნება 50-წუთიანი გამოცდა, პრაქტიკული გამოცდების ხასიათის მსგავსი, იხილეთ ქვემოთ. დამატებით 10 წუთი გექნებათ გამოცდის დასკანერებისა და ატვირთვისთვის (იხილეთ დეტალები ქვემოთ). თქვენი პასუხისმგებლობაა ატვირთოთ გამოცდა დროულად (10 წუთი დიდი დროა!). თუ დროულად არ დაასრულებთ მას, სერიოზული ჯარიმა მიიღებთ მაშინაც კი, თუ დროზე მალე გამოგვიგზავნით. .

წესები: ეს იქნება ღია წიგნის გამოცდა: თქვენ საშუალება გექნებათ გაეცნოთ სახელმძღვანელოს, საკუთარ შენიშვნებს ან წინა საშინაო დავალებებს და ტილოებს ან ჩემს ვებგვერდზე განთავსებულ შენიშვნებს ჩემი ან TA– ს მიერ, მაგრამ სხვა რესურსების გამოყენება არ შეიძლება კერძოდ, თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ონლაინ რესურსი, ნებისმიერი სხვა ნაბეჭდი მასალა (მაგალითად, ხსნარის სახელმძღვანელოები), ან კალკულატორის ნებისმიერი ფორმა (გამოცდაზე მთელი არითმეტიკა ადვილი იქნება!) და თქვენ არ უნდა დაუკავშირდეთ სხვასთან რაიმე ფორმით. გამოცდა. თქვენ მოგიწევთ დაწეროთ, მოაწერონ ხელი და თქვენს საქმესთან ერთად წარადგინონ განცხადება, რომელიც დაადასტურებს წესების დაცვას. წესების დარღვევის შესახებ ეცნობება აკადემიური მთლიანობის ოფისს.

ტექნიკური ინფორმაცია: გამოცდა წარმოდგენილი იქნება Gradescope– ის საშუალებით, საშინაო დავალების მსგავსი ფორმით, გარდა იმ შემთხვევისა, რომ ის დროულად შესრულდება. Gradescope– ში შესვლისას თქვენ ნახავთ (და / ან გადმოწერთ) საგამოცდო ნაშრომის pdf ასლი. თქვენ უნდა დაწეროთ თქვენი პასუხები საკუთარ ფურცელზე, დაასკანიროთ და ატვირთოთ Gradescope– ში 60 წუთის განმავლობაში - ეს არის 50 წუთი ოფიციალური გამოცდის დრო, პლუს ატვირთვის დროის 10 წუთი. (გთხოვთ, დანიშნოთ შეკითხვების შესაბამისი გვერდები, ისევე როგორც საშინაო დავალების შესრულებისთვის).

თარიღი და დრო: გამოცდა ჩატარდება ჩვეულებრივი კლასის დროს: ოთხშაბათს, 27 იანვარს, 1-1.50 საათამდე. სტუდენტებმა, რომლებიც ამჟამად ცხოვრობენ სხვადასხვა სასაათო სარტყელში, რომელთა დროც ძალიან არასასიამოვნო იქნებოდა, უნდა დამიკავშირდნენ გამოცდის სხვა დროს ჩაბარების შესაძლებლობის შესახებ, კვირას, 24 იანვრამდე. თუ ასე მოიქეცით, გთხოვთ, მიუთითოთ სად ცხოვრობთ ამჟამად! მხოლოდ სხვა სტუდენტებს შეუძლიათ მიიღონ მონაწილეობა გამოცდის დაწყებამდე.

ინფორმაცია მეორე შუალედური პერიოდის შესახებ

წესები და ტექნიკური ინფორმაცია: იგივე წესები მოქმედებს, როგორც პირველი შუალედური პერიოდისთვის. გთხოვთ, წაიკითხოთ ზემოთ განთავსებული ინფორმაცია.

თარიღი და დრო: გამოცდა ჩატარდება ჩვეულებრივი კლასის დროს: ოთხშაბათს, 24 თებერვლამდე, 1-1.50 საათამდე. სტუდენტებმა, რომლებიც ამჟამად ცხოვრობენ სხვადასხვა სასაათო სარტყელში, რომელთა დროც ძალიან არასასიამოვნო იქნებოდა, უნდა დამიკავშირდნენ ორშაბათს, 22 თებერვლამდე, სხვა დროს გამოცდის ჩაბარების შესაძლებლობის შესახებ. თუ ასე მოიქეცით, გთხოვთ, მიუთითოთ სად ცხოვრობთ ამჟამად! მხოლოდ სხვა სტუდენტებს შეუძლიათ მიიღონ გამოცდა დაწყებამდე.

გთხოვთ, უგულებელყოთ ამ ხაზების ქვემოთ მოცემული არაფერი

ინფორმაცია შუალედური პერიოდის შესახებ:

ინფორმაცია მეორე შუალედური პერიოდის შესახებ:

დასკვნითი ფინალისთვის იგივე წესები მოქმედებს, როგორც შუალედურ პირობებში: არ არის მოტყუების ფურცელი, არც შენიშვნები, არც კალკულატორი. მასალა გადადის კლასში მოცემულ ყველა მონაკვეთზე, სანამ არ შეიტანება 9.5 ნაწილი. თქვენ არ გჭირდებათ მტკიცებულებების შესწავლა, სანამ შეძლებთ ყველა საშინაო დავალების შესრულებას და პრობლემების პრაქტიკას. თქვენ ასევე უნდა გადალახოთ ძველი შუალედური პრობლემები. დარწმუნდით, რომ გესმით გადაწყვეტილებები.

სპეციალური სამუშაო საათები: კვირა, 3/13: 2-4 საათამდე მოიტანეთ სტუდენტის პირადობის მოწმობა, რომ შეძლოთ APM– ის შენობაში შესვლა.


ტეილორის ფორმულა

დღევანდელ ბლოგში გადავხედავ ტეილორის ფორმულას. ეს არის თეორემა, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის სერიებისა და მაკლაურინის სერიების დასადგენად, რომელსაც ვიყენებ ეილერის პირადობის დამადასტურებელ საბუთში.

თუ თქვენ არ იცნობთ უწყვეტ ფუნქციებს ან დახურულ ინტერვალებს, დაიწყეთ აქ.

თუ გსურთ წარმოებული პროდუქტების მიმოხილვა, დაიწყეთ აქ.

მოდით f (x) იყოს უწყვეტი ფუნქცია დახურულ ინტერვალზე [a, b], რომელსაც აქვს (n + 1) წარმოებული, რომელიც მითითებულია f (n + 1) (x) - ით, სადაც n არის დადებითი მთელი რიცხვი.

f (b) = f (a) + f '(a) (b-a) +. + [f (n) (a) / n!] (b-a) n + [f (n + 1) (z) / (n + 1)!] (b-a) n + 1)

ზოგიერთი z რიცხვისთვის, რომელიც მდებარეობს a და b– ს შორის.

(1) მოდით H = f (b) - f (a) - f '(a) (b-a) - [f ”' (a) / 2!] (B-a) 2 -. - [f (n) (a) / n!] (b-a) n

(3) მოდით g (x) იყოს ისეთი ფუნქცია, რომელიც:
g (x) = f (b) - f (x) - f '(x) (b-x) - [f ”(x) / 2!] (b-x) 2 -. - [f (n) (x) / n!] (b-x) n - K (b-x) n + 1

(4) ჩვენ ვხედავთ, რომ g (x) არის უწყვეტი ფუნქცია, რადგან:

(a) f (x) უწყვეტია მოცემულით [a, b] - ზე.

(b) f (n) არის უწყვეტი ფუნქცია, რადგან მოცემული მონაცემებით ვიცით, რომ f (x) აქვს (n + 1) წარმოებული და რადგან f (x) დიფერენცირდება x- ზე, მაშინ ის უწყვეტია x- ზე (იხილეთ აქ )

(c) (b-x) n არის უწყვეტი [a, b] - ზე, რადგან f (x) არის უწყვეტი, რადგან:

h (x) არის უწყვეტი, რადგან ეს არის ორი უწყვეტი ფუნქციის დამატება i (x) = b და j (x) = - x [დამატება კანონის დამადასტურებლად] იხილეთ აქ]

(b-x) n უწყვეტია გამრავლების კანონით [იხილეთ გამრავლების კანონის მტკიცებულებისთვის]

(b-x) n = (b - x) * (b-x) *. რადგან n არის დადებითი მთელი რიცხვი.

(დ) ვ (ბ) არის უწყვეტი, რადგან ის არის მუდმივი. (იხილეთ აქ)

(ე) თითოეული f (n) (x) / n! უწყვეტია, რადგან (-1 / ნ!) შეიძლება განვიხილოთ როგორც მუდმივი ფუნქცია h (x) = (- 1 / ნ!) და ორი უწყვეტი ფუნქციის გამრავლება თავისთავად უწყვეტია (იხილეთ აქ)

ვ) დაბოლოს, g (x) არის უწყვეტი, რადგან უწყვეტი ფუნქციების ნაკრების დამატება თავისთავად უწყვეტია (იხილეთ აქ)

(5) ვხედავთ, რომ g (a) = 0 მას შემდეგ, რაც:

g (a) = H - H / (b-a) n + 1 * (b-a) n + 1 = H - H = 0

(6) ასევე შეგვიძლია დავინახოთ, რომ g (b) = 0 მას შემდეგ, რაც:

g (b) = f (b) - f (b) - f '(b) (b-b) - [f ”' (b) / 2!] (b-b) 2 -. - [f (n) (b) / n!] (b-b) n - K (b-b) n + 1

(7) როლის თეორემის თანახმად, რადგან g (x) უწყვეტია [a, b] - ზე, ჩვენ ვიცით, რომ არსებობს z მნიშვნელობა, ისეთი, რომ z & # 8712 [a, b] და g '(z) = 0. [იხილეთ აქ როლის თეორემა]

(8) თუ ჩვენ განვასხვავებთ g (x) - ზე, მივიღებთ:
g '(x) = -f' (x) + f '(x) -f (2) (x) (bx) + f (2) (x) (bx) - (1/2!) f (3 ) (x) (bx) 2 + (1/2!) f (3) (x) (bx) 2 - (1/3!) f (4) (x) (bx) 3 +. + [1 / (n-1)!] F (n) (x) (bx) n-1 - (1 / n!) F (n + 1) (x) (bx) n + (n + 1) K (bx) n მას შემდეგ, რაც:

(a) g (x) = f (b) - f (x) - f '(x) (b-x) - [f ”' (x) / 2!] (b-x) 2 -. - [f (n) (x) / n!] (b-x) n - K (b-x) n + 1

(ბ) ლემა 3 – ის მიხედვით, შეგვიძლია განვასხვავოთ თითოეული ცალკეული პროდუქტი ჯამში.

(გ) f (b) არის მუდმივი, ასე რომ d / dx (f (b)) = 0 [იხილეთ მუდმივი წესისთვის]

(d) d / dx (-f (x)) = -f '(x) [დეტალებისთვის იხილეთ აქ]

(e) d / dx [-f '(x) (bx)] = -f' '(x) (bx) - f' (x) (- 1) = f '(x) -f' '(x ) (bx) [იხილეთ პროდუქტის წესისთვის]

(ვ) d / dx [(- f "(x) / 2!) (bx) 2] = (-f (3) (x) / 2!) (bx) 2 + [-f" (x ) / 2!] (2) (bx) (- 1)] =
= (-f (3) / 2!) (b-x) 2 + f '' (x) (b-x) [იხილეთ გენერალიზებული ენერგიის წესისთვის]

(ზ) d / dx ([- f (n) (x) / n!] (bx) n) = (-f (n + 1) (x) / n!) (bx) n + [-f ( n) (n) / n!] (n) (bx) n-1 * (- 1) =
= (-f (n + 1) (x) / n!) (b-x) n + [f (n) / (n-1)!] (b-x) n-1

(თ) რადგან K მუდმივია
d / dx (-K (b-x) n + 1) = (n + 1) (- K) (b-x) n (-1) = (n + 1) K (b-x) n

(9) ჩვენ ვხედავთ, რომ ტერმინების უმეტესობა გაუქმებულია ისე, რომ მივიღებთ:
g '(x) = (n + 1) K (b-x) n - (1 / n!) f (n + 1) (x) (b-x) n

(10) მე -7 საფეხურიდან g '(z) = 0-ის გამოყენების ფაქტის გამოყენება გვაძლევს:
g '(z) = (n + 1) K (b-z) n - (1 / n!) f (n + 1) (z) (b-z) n = 0

(11) შეგვიძლია ორივე მხარე გავყოთ (b-z) n– ზე, რომ მივიღოთ:
(n + 1) K - (1 / n!) f (n + 1) (z) = 0

(12) ახლა შეგვიძლია განვალაგოთ (# 11) და მივიღოთ:
K = [(1 / n!) F (n + 1) (z)] / (n + 1) = [f (n + 1) (z)] / (n + 1)!

(13) ახლა (# 12) და (# 3) x = a– ს გამოყენებით მივიღებთ:
g (a) = 0 = f (b) - f (a) - f '(a) (b-a) - [f ”' (a) / 2!] (b-a) 2 -. - [f (n) (a) / n!] (b-a) n - [(b-a) n + 1] [f (n + 1) (z) / (n + 1)!]

(14) ახლა, თუ f (b) შემდეგ გადავაადგილებთ ყველა ელემენტს, მივიღებთ:
f (b) = f (a) + f '(a) (b-a) + [f ”' (a) / 2!] (b-a) 2 +. + [f (n) (a) / n!] (b-a) n + [(b-a) n + 1] [f (n + 1) (z) / (n + 1)!]


11.12: ტეილორის თეორემა - მათემატიკა

ჩვენ ვიცით, რომ ტეილორის სერიის გაფართოების ფორმულა დაწერილია შემდეგნაირად:

თუ ამ ფორმულაში ჩავსვით = 0, მივიღებთ მაკლაურინის სერიის გაფართოების ფორმულას. თ
ჰუს მაკლაურინის სერიის გაფართოება მოცემულია ფორმულით & # 8211

  1. ექსპონენციალური ფუნქცია:

    N დიფერენცირება,
    ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ
    ამრიგად
  2. f (x) = cos x
    …..
  3. f (x) = ცოდვა x
  4. f (x) = (ax + b) ^ m
  5. f (x) = ln (1 + x)
  6. f (x) = ln (1-x)

მაგალითი -1:
იპოვნეთ f (x) = ln (sec x) პირველი შვიდი ტერმინი.

განმარტება:


დიფერენცირება w.r.t. x,







ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ მაკლაურინის სერიას, როგორც & # 8211


მაგალითი -2:
შეაფასეთ მაკლაურინის სერია tan x- ისთვის.

განმარტება:






ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ მაკლაურინის სერიებს, როგორც & # 8211

ყურადღება მკითხველო! ნუ შეწყვეტ ახლა სწავლას გაითვალისწინეთ ყველა მნიშვნელოვანი CS თეორიის კონცეფცია SDE ინტერვიუებისთვის CS თეორიის კურსი სტუდენტურ ფასად და გახდით მრეწველობა მზად.


149. ტეილორის თეორემის გამოყენებები მაქსიმებისა და მინიმებისთვის

A. მაქსიმა და მინიმა. ტეილორის თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას Ch– ის ტესტების უფრო მეტი თეორიული სისრულით. VI, §§ 122-123, თუმცა შედეგებს დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა არ აქვს. შეგახსენებთ, რომ თუ ვივარაუდებთ, რომ ( phi (x) ) აქვს პირველი ორი რიგის წარმოებულები, ჩვენ აღვნიშნეთ, რომ საკმარისი პირობებია მაქსიმალური ან მინიმალური ( phi (x) ) - ზე (x = xi ): მაქსიმუმს, ( phi '( xi) = 0 ), ( phi & # 8221 ( xi) & lt 0 ) მინიმუმამდე, ( phi '( xi) = 0 ), ( phi & # 8221 ( xi) & gt 0 ). აშკარაა, რომ ეს ტესტები ვერ ხერხდება, თუ ( phi & # 8221 ( xi) ) ასევე ( phi '( xi) ) ნულოვანია.

მოდით ვიფიქროთ, რომ პირველი (n ) წარმოებულები [ phi '(x), quad phi & # 8221 (x), წერტილები, quad phi ^ <(n)> (x) ] არის უწყვეტი და რომ ყველა გადაარჩენს უკანასკნელ გაქრობას, როდესაც (x = xi ). შემდეგ, (h ), [ phi ( xi + h) & # 8211 phi ( xi) = frac საკმარისად მცირე მნიშვნელობებისთვის<>> phi ^ <(n)> ( xi + theta_ თ). ] იმისათვის, რომ არსებობდეს მაქსიმუმი ან მინიმუმი, ეს გამოხატვა უნდა იყოს მუდმივი ნიშანი (თ ) საკმარისად მცირე მნიშვნელობებისთვის, დადებითი ან უარყოფითი. ეს აშკარად მოითხოვს, რომ (n ) უნდა იყოს თანაბარი. თუ (n ) თუნდაც იქნება მაქსიმუმი ან მინიმუმი, რადგან ( phi ^ <(n)> ( xi) ) უარყოფითი ან დადებითია.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ტესტს: თუ უნდა იყოს მაქსიმუმი ან მინიმუმი, პირველი წარმოებული, რომელიც არ ქრება, უნდა იყოს თანაბარი წარმოებული, და იქნება მაქსიმუმი, თუ ის უარყოფითია, მინიმუმი, თუ იგი დადებითია.

1. შეამოწმეთ შედეგი, როდესაც ( phi (x) = (x & # 8211 ა) ^), (მ ) არის პოზიტიური მთელი რიცხვი და ( xi = a ).

2. შეამოწმეთ ფუნქცია ((x & # 8211 ა) ^ (x & # 8211 ბ) ^), სადაც (მ ) და (n ) პოზიტიური მთელი რიცხვია, მაქსიმუმისა და მინიმუმისთვის (x = a ) წერტილებში, (x = b ). დახაზეთ მრუდის სხვადასხვა შესაძლო ფორმის გრაფიკები (y = (x & # 8211 ა) ^ (x & # 8211 ბ) ^) .

3. შეამოწმეთ ფუნქციები ( sin x & # 8211 x ), ( sin x & # 8211 x + dfrac> <6> ), ( sin x & # 8211 x + dfrac> <6> & # 8211 dfrac> <120> ),…, ( cos x & # 8211 1 ), ( cos x & # 8211 1 + dfrac> <2> ), ( cos x & # 8211 1 + dfrac> <2> & # 8211 dfrac> <24> ), max მაქსიმუმისთვის ან მინიმუმისთვის (x = 0 ).


ალგებრა 11/21/12

ამ პროექტის დასასრულებლად დაგჭირდებათ გრაფიკული ქაღალდი.
ხაზების გრაფიკის ნახვის სანახავად, იხილეთ 11/19/12 ალგებრის პოსტი

გეომეტრია 11/21/12

  • თითოეული მეკობრის სახელი შეესაბამება წერილს A = Alph onse, B = Beumont და ა.შ.
  • ჩრდილოეთი პირდაპირ არის, ზევით არის ჩამოსული, აღმოსავლეთი მართალია და დასავლეთი მარცხნივ
  • კუთხის გასაზომად --- თუ ალფონსი ზომავს კუთხეს, A მე მწვერვალია
  • გადახედეთ რა იყო მოცემული პრობლემში და გადაწყვიტეთ შეგიძლიათ შექმნათ ერთობლივი სამკუთხედი SSS, SAS, ASA ან SAA გამოყენებით (გახსოვდეთ, ASS არ მუშაობს !!)
  • თუ არცერთი კონგრესული თეორემა / პოსტულატი არ მუშაობს, აღნიშნეთ ორი ადგილი, სადაც შეიძლება განძი იყოს (აჩვენეთ ორი სამკუთხედი, რომელთა შექმნაც შესაძლებელია giv en ინფორმაციით)

საინჟინრო მათემატიკა I შენიშვნები და ამოხსნა BTech– ის პირველი წლისთვის

ეს არის ონლაინ თემა ბრძნული გადაწყვეტილებებისა და შენიშვნების შესახებ საინჟინრო მათემატიკაზე BTech პირველი კურსის სტუდენტებისათვის.

I: ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები:

1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლების ძირითადი ცნებები და განმარტებები დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ფორმირება
დიფერენციალური განტოლებები: ცვლადი განცალკევებული, ჰომოგენური, განტოლებები შემცირებადი ერთგვაროვანი ფორმით, ზუსტი დიფერენციალური განტოლება, განტოლებები ზუსტი ფორმის შემცირება, ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლება, განტოლებები შემცირებადი ხაზოვანი ფორმიდან (ბერნულის განტოლება) ორთოგონალური ტრაექტორია, დიფერენციალური განტოლებების გამოყენება

II: მე -2 და უფრო მაღალი რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები

მეორე რიგის ხაზოვანი ჰომოგენური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით დიფერენციალური ოპერატორები ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნა ეილერ-კოშის განტოლება ხაზოვანი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა Wronskian არაჰომოგენური განტოლების ამოხსნა .

III: დიფერენციალური გამოთვლა (ორი და სამი ცვლადი)

ტეილორის თეორემა, მაქსიმა და მინიმა, ლაგრანგის მულტიპლიკატორები

IV: მატრიკები, დეტერმინანტები, განტოლებების წრფივი სისტემა

ვექტორული სივრცე, ქვე-სივრცე, საფუძველი და განზომილება მატრიცების ალგებრის ძირითადი ცნებები, წრფივი სისტემური ხაზოვანი სისტემების თანასწორობის განტოლებათა სისტემა მატრიცის წოდება Gauss გამორიცხავს მატრიცის ინვერსიას Gauss Jordan მეთოდით ხაზოვანი დამოკიდებულებით და დამოუკიდებლობა, ხაზოვანი ტრანსფორმაცია მატრიცების დეტერმინანტების ინვერსიული ტრანსფორმაციის პროგრამები კრამერის წესი.

V: მატრიცა-აიგენის მნიშვნელობის პრობლემები

Eigenvalues, Eigenvectors, Cayley Hamilton თეორემა, საფუძველი, რთული მატრიცები კვადრატული ფორმა Hermitian, SkewHermitian აყალიბებს მსგავსი მატრიცების მატრიცების დიაგონალიზაცია ფორმების გარდასახვა მთავარ ღერძზე (კონუსის განყოფილება).


Უყურე ვიდეოს: მათემატიკური ინდუქცია (დეკემბერი 2021).