სტატიები

1.4: ხაზების განტოლებები


ამ განყოფილებაში განვავითარებთ ხაზის დახრილობის გადაკვეთის ფორმას. ამ მონაკვეთში სამუშაოს დასრულების შემდეგ, თქვენ უნდა შეეძლოთ ხაზის გრაფიკის დათვალიერება და მისი განტოლების განსაზღვრა ფერდობზე გადაკვეთის ფორმით.

ფერდობზე გადაკვეთის ფორმა

წინა განყოფილებაში განვავითარეთ ხაზის დახრილობის ფორმულა. დავუშვათ, რომ დამოკიდებული ცვლადი არის y და დამოუკიდებელი ცვლადი x და გვაქვს წერტილები (P მარცხნივ (x_ {1}, y_ {1} მარჯვნივ) ) და (Q მარცხნივ) x_ {2}, y_ {2} მარჯვნივ) ), როგორც ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {1} ).

როგორც კი თვალებს მარცხნიდან მარჯვნივ ვაქცევთ, გაითვალისწინეთ, რომ x- ის ცვლილება არის ( დელტა x = x_ {2} -x_ {1} ) და y- ის ცვლილება ( დელტა y = y_ {2} -y_ {1} ). ამრიგად, ხაზის დახრა განისაზღვრება ფორმულით

[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

ახლა გაითვალისწინეთ ხაზი ფიგურაში ( PageIndex {2} ). დავუშვათ, რომ ამ ხაზის შესახებ ორი ფაქტი მოგვცეს:

  1. წერტილი, სადაც ხაზი გადაკვეთს y ღერძს (y- ჩაჭრა) არის (0, b).
  2. ხაზის "ფერდობზე" არის გარკვეული რიცხვი m.

ნახაზზე გამოსახული ხაზის განტოლების მოსაძებნად ( PageIndex {2} ), აირჩიეთ თვითნებური წერტილი Q (x, y) ხაზზე, შემდეგ გამოთვალეთ ხაზის დახრა ( მარცხნივ (x_ {1) }, y_ {1} მარჯვნივ) = P (0, b) ) და ( მარცხნივ (x_ {2}, y_ {2} მარჯვნივ) = Q (x, y) ) დახრის ფორმულაში ( 1)

[ text {Slope} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {y-b} {x-0} ]

გამარტივება.

[ text {Slope} = frac {y-b} {x} ]

ჩვენ მოგვცეს, რომ ფერდობზე არის რიცხვი m, ამიტომ ამ რიცხვს ჩაანაცვლეთ სიტყვა "ფერდობზე" ბოლო შედეგით.

[m = frac {y-b} {x} ]

ბოლო განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ (x ) - ზე.

[m x = y-b ]

ბოლო განტოლების ორივე მხარეს დაამატეთ b

[მ x + ბ = წ ]

ან განტოლების მხარეების გაცვლისას,

[y = მ x + ბ ]

ზემოხსენებულ დისკუსიას მივყავართ შემდეგ შედეგამდე.

განმარტება: ხაზის დახრა-გადაკვეთა

თუ ხაზი (L ) y- ღერძს იკვეთებს (0, ბ) წერტილში და აქვს დახრილობა m, მაშინ წრფის განტოლებაა

[y = მ x + ბ label {slopeintercept eq} ]

წრფის განტოლების ამ ფორმას ეწოდება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმა. [F (x) = m x + b ] განტოლებით განსაზღვრულ ფუნქციას ეწოდება a ხაზოვანი ფუნქცია.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს ორი ძირითადი ფაქტი ფერდობზე გადაკვეთის ფორმის შესახებ y = mx + b.

  • X კოეფიციენტი (m y = mx + b) არის ხაზის დახრა.
  • მუდმივი ტერმინი (b in y = mx + b) არის y- ჩაჭრის y- კოორდინატი (0, b).

ხაზის ფერდობზე გადაკვეთის ფორმის გამოყენების წესი

წრფის დახრილობისა და წრფის y- გადაკვეთისას გამოიყენეთ დახრილობის გადაკვეთის ფორმა შემდეგნაირად:

  1. მოცემული დახრილი შეცვალეთ m ფორმულით (y = mx + b ).
  2. Y- ჩაჭრის y კოორდინატის ჩანაცვლება b ფორმულაში (y = mx + b ).

მაგალითად, თუ ხაზს აქვს დახრილი −2 და y- გადაკვეთა (წერტილი, სადაც წრფე გადაკვეთს y ღერძს) არის (0, 3), მაშინ ჩაანაცვლეთ m = −2 და b = 3 განტოლება ref {slopeintercept eq} მოპოვება

[y = x2x + 3 ].

მოდით გაეცნოთ ამ ძალიან მნიშვნელოვანი ფორმულის გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი ( PageIndex {1} )

რა არის წრფის განტოლება, რომელსაც აქვს ope2/3 დახრილობა და y- გადაკვეთა (0, 3) -ზე? სტრიქონის შედგენა გრაფიკულ ქაღალდზე.

გამოსავალი

წრფის განტოლებაა

[y = მ x + ბ ]

ჩვენ მოგვცეს, რომ ფერდობზე არის −2/3. მაშასადამე, m = −2/3. მეორეც, მოცემულია, რომ წრფე იკვეთებს y ღერძს (0, 3) წერტილში. ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში y = mx + b, გავიხსენოთ, რომ b წარმოადგენს y- ჩაჭრის y კოორდინატს. აქედან გამომდინარე, b = 3. შეცვალეთ m = −2/3 და b = 3 განტოლებაში (4), მიღება

[y = - frac {2} {3} x + 3 ]

ხაზის გრაფიკის ესკიზისთვის, პირველ რიგში, y- ჩაჭრა მოათავსეთ P- ზე (0, 3), როგორც ეს ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {3} ). Y- ჩაჭრადან P- ზე (0, 3) დაიწყეთ 3 ერთეული მარჯვნივ და 2 ერთეული ქვევით Q წერტილამდე (3, 1). საჭირო ხაზი გადის P და Q წერტილებს.

გაითვალისწინეთ, რომ ხაზი "კვეთს" y ღერძს 3-ზე და გადახრის დაღმართს, იმის შესაბამისად, რომ ამ მაგალითში ფერდობზე უარყოფითია.

მაგალითი ( PageIndex {2} )

ხაზის გრაფიკის ნახაზზე ( PageIndex {4} ) (ა) მოცემულია სტრიქონის განტოლების განსაზღვრა.

გამოსავალი

პირველ რიგში, მოათავსეთ სტრიქონის y- ჩაჭრა, რომელსაც ჩვენ დავასახელეთ P (0, −1) ფიგურაში ( PageIndex {4} ) (ბ). Y = mx + b ფორმულაში გავიხსენოთ, რომ b წარმოადგენს y- ჩაჭრის y კოორდინატს. ამრიგად, b = 1.

მეორეც, უნდა განვსაზღვროთ ხაზის დახრა. ნახაზზე ( PageIndex {4} ) (ბ), დაიწყეთ P წერტილიდან, გადაიტანეთ 2 ერთეული მარჯვნივ, შემდეგ კი 3 ერთეული ზემოთ წერტილამდე Q (2, 2). ეს ქმნის ფერდობზე [m = frac { Delta y} { Delta x} = frac {3} {2} ]

შეცვალეთ m = 3/2 და b = −1 ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში y = mx + b, რომ მიიღოთ

[y = frac {3} {2} x-1 ]

რაც წრფის სასურველი განტოლებაა.

კავშირების დამყარება

თუ კავშირი სიჩქარესა და დახრას შორის ჯერ კიდევ არ არის ნათელი, მოდით გავიხსენოთ მაგალითი, რომელიც თავში გავაკეთეთ.

სებასტიანი დაემშვიდობა თავის ძმას, რომელიც დაახლოებით 20 მეტრის მოშორებით ესაუბრება მისი მეგობრების ჯგუფს. ამის შემდეგ სებასტიანი იწყებს ძმას ფეხით დაშორებით წამში 4 მეტრი სიჩქარით.

ძმებს შორის მანძილი დამოკიდებულია გავლილ დროზე, ამიტომ ვერტიკალურ ღერძზე დავაყენეთ d მანძილი და ჰორიზონტალურ ღერძზე t დრო, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {5} ). გაითვალისწინეთ, რომ d და t იკავებენ y და x "ჩვეულებრივ" ადგილს. ძმების დაშორების მანძილი t = 0 არის d = 20 ფუტი. ეს მითითებულია ნახაზში ( PageIndex {5} ) P (0, 20) პუნქტში ”d- ჩაჭრა”.

შემდეგ, ძმებს შორის მანძილი წამში 4 მეტრით იზრდება. P წერტილიდან (0, 20) გადადით 1 წამი მარჯვნივ (2 ველი) და 4 ერთეული ზემოთ (1 ველი) Q წერტილზე (1, 24), როგორც ეს ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {5} ) წრფე P და Q წერტილების შემდეგ აყალიბებს ძმებს შორის მანძილს დროის მიხედვით.

თუ გაიხსენებთ, შემდეგ ჩვენ განვსაზღვრეთ კავშირი d მანძილსა და t დროს შორის ძმების შორის მანძილი t = 0, 1, 2 და 3 ჯერზე გამოკვლევით და შედეგების შეჯამებით ცხრილში ( PageIndex {1} ) .

020
120+4(1)
220+4(2)
320+4(3)
ცხრილი ( PageIndex {1} ) მოდელის განტოლების განსაზღვრა.

შემდეგ ინტუიციამ განაპირობა შემდეგი მოდელი, რომელიც უზრუნველყოფს ძმებს შორის მანძილს t დროის დროის გათვალისწინებით.

[დ = 20 + 4 ტ ]

კიდევ ერთხელ, მკითხველმა უნდა შეამოწმოს, რომ განტოლება (6) იძლევა შედეგებს ცხრილში ( PageIndex {1} ) t = 0, 1, 2 და 3-ში.

გარდა ამისა, ამ განყოფილებაში შემუშავებული თეორიით, ჩვენ განვავითარებთ ხაზის განტოლებას ხაზის დახრილობა-გადაკვეთის ფორმის გამოყენებით; ეს არის

[y = მ x + ბ ]

ამასთან, ამ შემთხვევაში, დამოკიდებული ცვლადი არის d, არა y, ხოლო დამოუკიდებელი ცვლადია t, არა x. ასე რომ, y და x განტოლებაში (7) ჩაანაცვლეთ d და t შესაბამისად, მიღებით

[d = m t + b ]

შემდეგ, წრფე კვეთს d ღერძს P (0, 20), ამიტომ b = 20. გარდა ამისა, ხაზის დახრა არის 4 ფუტი წამში, ასე რომ m = 4. შეცვალეთ m = 4 და b = 20 განტოლებაში (8) მოპოვება

[d = 4 ტ + 20 ]

ან ფუნქციის აღნიშვნის გამოყენებით, (d (t) = 4t + 20 ). გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება (9) იდენტურია განტოლების ინტუიციურად წარმოქმნილი მოდელისა (6).

იმედია, ამ განვითარებამ უნდა გაამყაროს ყველა დროის იდეა, რომ ხაზის დახრა არის სიჩქარე, რომელზედაც დამოკიდებული ცვლადი იცვლება დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ხაზის სტანდარტული ფორმა

ახლა ჩვენ ვიცით, რომ თუ ჩვენს განტოლებას აქვს ფორმა (y = m x + b ) (ან ამ ფორმით შეიძლება მანიპულირება), გრაფიკი იქნება ხაზი. მოდით, ერთი წუთით გამოვყოთ იმის დემონსტრირება, რომ განტოლების გრაფიკი (A x + B y = C ), სადაც A, B და C მუდმივებია, არის წრფე.

თუ ჩვენ შეგვიძლია ფორმა (A x + B y = C ) განვათავსოთ დახრილობის ფორმაში (y = m x + b ), მაშინ ეს აჩვენებს, რომ გრაფიკი (A x + B y = C ) არის ხაზი. ასე რომ, დაიწყეთ (A x + B y = C ) - ით და გამოტოვეთ Axe განტოლების ორივე მხრიდან.

[B y = -A x + C ]

ამ ბოლო განტოლების ორივე მხარე დაყავით B. გაითვალისწინეთ, რომ აქ არის დაშვება, რომ (B neq 0 ). ჩვენ განვიხილავთ საქმეს, როდესაც B = 0 ცალკე, ამ სექციის ბოლოს.

[ {{{{}}}}} frac {B y} {B} & = frac {-A x + C} {B} y & = - frac {A} {B} x + frac {C} {B} ბოლო {გასწორებული} ]

როდესაც შევადარებთ (y = - (A / B) x + (C / B) ) y = mx + b- ს, აღვნიშნავთ, რომ დახრილობა არის m = −A / B და y- ჩაჭრის y კოორდინატი არის b = C / B. იმის გამო, რომ ჩვენ წარმატებული ვიყავით განტოლების (A x + B y = C ) დაქანების ფორმაში ჩასმა, ახლა ჩვენ ვიცით, რომ გრაფიკი (A x + B y = C ) არის წრფე (ჩვენ ეს შედეგი მოგვიანებით მუშაობაში გვჭირდება).

ხაზის სტანდარტული ფორმა

Ax + By = C განტოლების გრაფიკი არის წრფე. ფორმას [A x + B y = C ] ეწოდება სტრიქონის სტანდარტულ ფორმას.

მოდით ვნახოთ მაგალითი.

მაგალითი ( PageIndex {3} )

3x + 4y = 12 განტოლება სტანდარტული ფორმაა. განათავსეთ ეს განტოლება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში, განსაზღვრეთ დახრილობა და y- გადაკვეთა, შემდეგ გამოიყენეთ ეს შედეგები ხაზის გრაფიკის დასახატად.

გამოსავალი

პირველ რიგში, ამოიღეთ 3x + 4y = 12 განტოლება y- სთვის.

[ დაწყება {გასწორებული} 3 x + 4 y & = 12 4 y & = - 3 x + 12 y & = - frac {3} {4} x + 3 დასრულება {გასწორება} ]

ბოლო ეტაპზე გაითვალისწინეთ, თუ როგორ შემოვიდა დისტრიბუციული თვისება. როდესაც divided3x + 12 გავყოთ 4-ზე, თითოეული ტერმინი გავყოთ 4-ზე, მივიღეთ (−3/4) x + 3.

როდესაც შევადარებთ y = (−3/4) x + 3 ზოგადი დახრილობის ფორმის გადაკვეთის ფორმას y = mx + b, განვსაზღვრავთ, რომ დახრა არის m = −3/4 და y- ჩაჭრის y კოორდინატი b = 3. სტრიქონის გრაფიკის ესკიზებისთვის, როგორც ეს გავაკეთეთ ნახაზზე ( PageIndex {6} ), y- ჩაკვეთა მოხაზეთ P (0, 3), შემდეგ კი 4 ერთეული გადადეთ მარჯვნივ და 3 ერთეული ქვევით Q წერტილამდე (4, 0). P და Q წერტილებში გამავალი ხაზი არის საჭირო წრფე.

კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ ფერდობზე არის m = −3/4, ხოლო ხაზის დახრილობა "დაღმართზე". ასევე, b = 3 და ხაზი "კვეთს" y ღერძს P (0, 3).

მოდით ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი ( PageIndex {4} )

მაგალითში ( PageIndex {1} ) დავადგინეთ, რომ მოცემულ სტრიქონს ჰქონდა განტოლება

[y = frac {3} {2} x-1 ]

განათავსეთ ეს განტოლება სტანდარტულიდან (Ax + By = C ), სადაც A, B და C არის მთელი რიცხვები და (A> 0 ).

გამოსავალი

ჩვენ გვთხოვენ განტოლებას (y = (3/2) x - 1 ) განვათავსოთ ფორმით (Ax + By = C ), სადაც A, B და C მთელი რიცხვია, მოდით დავიწყოთ გასუფთავებით წილადები განტოლებიდან. განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ საერთო მნიშვნელზე 2.

[ დაიწყოს {გასწორებული} y & = frac {3} {2} x-1 2 წ & = 2 მარცხენა ( frac {3} {2} x-1 მარჯვნივ) 2 წ & = 3 x-2 ბოლო {გასწორებული} ]

ახლა, განტოლების ორივე მხრიდან გამოაკელით 2y, შემდეგ კი ტოლობის ორივე მხარეს დაამატეთ 2

[2 = 3 x-2 წ ]

ან ეკვივალენტურად,

[3 x-2 y = 2 ]

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ბოლო შედეგი არის სტანდარტული ფორმა (Ax + By = C ), სადაც A, B და C არის მთელი რიცხვები და A> 0.

იკვეცებს

ახლა ვიცით, რომ (Ax + By = C ) განტოლების გრაფიკი, სადაც A, B და C მუდმივებია, არის წრფე. იმის გამო, რომ (Ax + By = C ) გრაფიკი არის წრფე, წრფის გრაფიკის დასახატად საჭიროა მხოლოდ ორი წერტილის პოვნა, რომელიც დააკმაყოფილებს განტოლებას, დავხატოთ ისინი, შემდეგ გავავლოთ ხაზი. ჩვენი ორი საყვარელი წერტილი მუშაობისთვის არის x- და y- გადაკვეთები, რადგან თითოეულში შედის ნულოვანი რიცხვი, რომლის მუშაობისთვის ადვილი რიცხვია.

განვიხილოთ გრაფიკი ნახაზზე ( PageIndex {7} ) (ა). გაითვალისწინეთ, რომ გრაფიკი სამჯერ გადის x ღერძზე. იმ წერტილებს, სადაც გრაფიკი აფიქსირებს x ღერძს, ეწოდება x-intercepts. გაითვალისწინეთ, რომ თითოეულ ამ წერტილს აქვს საერთო განმსაზღვრელი მნიშვნელობა: თითოეული ამ x- ჩაჭრის y- მნიშვნელობა ნულის ტოლია.

როგორ მოვძებნოთ x- ჩაჭრა

X ჩაჭრის მოსაძებნად, y = 0 განტოლებაში და x– ს ამოხსნა.

მეორე მხრივ, გაითვალისწინეთ გრაფიკი ნახაზზე ( PageIndex {7} ) (ბ). გაითვალისწინეთ, რომ ეს არ არის ფუნქცია (ვერტიკალური ხაზის ტესტს ვერ ასრულებს), მაგრამ გრაფიკი y ღერძს სამჯერ ცალკე ჩაყოფს. იმ წერტილებს, სადაც გრაფიკი y ღერძს კვეთს, y- გადაკვეთები ეწოდება. გაითვალისწინეთ, რომ ფიგურაში ( PageIndex {7} ) (ბ) თითოეულ y- გადაკვეთას აქვს საერთო განმსაზღვრელი მნიშვნელობა: თითოეული y- ჩაჭრის x-მნიშვნელობა ნულის ტოლია.

როგორ მოვძებნოთ y- ჩაჭრა

Y- ჩაჭრის მოსაძებნად, x = 0 განტოლებაში და y– ს გადაჭრა.

მოდით პრაქტიკაში გამოვიყენოთ ის, რაც ვისწავლეთ.

მაგალითი ( PageIndex {5} )

3x + 4y = 12 გრაფიკის ესკიზირება.

გამოსავალი

3x + 4y = 12 განტოლების გრაფიკი დავხატეთ ნახაზზე ( PageIndex {6} ). იქ ჩვენ გადავწყვიტეთ y განტოლება, რათა განვსაზღვროთ დახრილობა და y- გადაკვეთა. ეს, თავის მხრივ, გამოყენებული იქნა 3x + 4y = 12 გრაფიკის ნახაზზე ( PageIndex {6} ).

აქ ჩვენი მიდგომა განსხვავებული იქნება. ჩვენ ჯერ განვსაზღვრავთ x- და y- გადაკვეთებს, მოვაწესრიგებთ მათ, შემდეგ კი გავკვეთთ ხაზს ამ გადაკვეთებში. იმედია, მივიღებთ შედეგს, რომელიც ემთხვევა სურათს ( PageIndex {6} ).

X-intercept- ის მოსაძებნად, მოდით (y = 0 ) (3x + 4y = 12 ) და გადავჭრათ x.

[ დაწყება {გასწორებული} 3 x + 4 y & = 12 3 x + 4 (0) & = 12 3 x & = 12 x & = 4 დასრულება {გასწორებული} ]

ამრიგად, x-intercept არის წერტილი Q (4, 0). Y- ჩაჭრა რომ იპოვოთ, მოდით x = 0 (3x + 4y = 12 ) და ამოვხსნათ y.

[ დაწყება {გასწორებული} 3 x + 4 y & = 12 3 (0) +4 y & = 12 4 y & = 12 y & = 3 დასრულება {გასწორებული} ]

აქედან გამომდინარე, y- ჩაჭრა არის წერტილი P (0, 3). ნახაზზე ( PageIndex {8} ), ჩვენ შევადგინეთ ორივე x- და y- ინტერპრეტაციები და ვხატავთ ხაზს მათ მეშვეობით. გაითვალისწინეთ, რომ სურათზე გამოსახული სტრიქონი ( PageIndex {8} ) ემთხვევა ნახაზზე გამოსახულ ხაზს ((PageIndex {6} ) (სადაც ჩვენ სხვა მეთოდი გამოვიყენეთ).


ჩვენ გირჩევთ, როდესაც სტრიქონი მოცემულია სტანდარტული ფორმით (Ax + By = C ), იპოვნეთ x- და y- გადაკვეთები, მონიშნეთ ისინი, შემდეგ კი დახაზეთ ხაზი მათში. ეს ტექნიკა საკმაოდ ეფექტურია, რადგან ნულოვან რიცხვთან მუშაობა მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს.

ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზები

ჩვენ დავნერგეთ ხაზის სტანდარტული ფორმა (Ax + By = C ). შემთხვევა, როდესაც A და B ერთდროულად ნულის ტოლია, ძალიან საინტერესო არ არის .4 თუმცა საინტერესოა შემდეგი ორი შემთხვევა.

  1. თუ A = 0 და B 6 = 0 დავუშვებთ სტანდარტულ ფორმას (Ax + By = C ), მაშინ By = C, ან ეკვივალენტურად y = C / B. გაითვალისწინეთ, რომ ამას აქვს ფორმა y = b, სადაც b არის გარკვეული მუდმივა.
  2. ანალოგიურად, თუ დავუშვებთ B = 0 და A 6 = 0 სტანდარტული ფორმით (Ax + By = C ), მაშინ Ax = C, ან ეკვივალენტურად, x = C / A. გაითვალისწინეთ, რომ ამას აქვს x = a ფორმა, სადაც a არის გარკვეული მუდმივა.

ხაზები, რომლებსაც აქვთ x = a და y = b ფორმა, ნახატის ორი ყველაზე მარტივი ხაზია. მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანის მაგალითი.

მაგალითი ( PageIndex {6} )

X = 3 განტოლების გრაფიკის ესკიზირება.

გამოსავალი

მიმართულება ”x = 3 განტოლების გრაფიკის ესკიზის დასმა” შეიძლება საკმაოდ აწუხებს, თუ არ გახსოვთ, რომ განტოლების გრაფიკი არის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. ამრიგად, მიმართულება უკეთესად არის ასახული, თუ ვიტყვით ”ესკიზით ყველა წერტილისა (x, y), რომელიც აკმაყოფილებს x = 3”, ან ეკვივალენტურად, ”ესკიზის ყველა წერტილის (x, y) სიმრავლე 3. ” მაშინ ადვილი საკითხია ვერტიკალური ხაზის ესკიზზე, რომელიც ნაჩვენებია ნახატზე ( PageIndex {9} ).

გაითვალისწინეთ, რომ წრფის თითოეულ წერტილს x ტოლი აქვს 3-ის ტოლი. ასევე, გაითვალისწინეთ, რომ ამ ვერტიკალური ხაზის დახრა განუსაზღვრელია.

მაგალითი ( PageIndex {7} )

Y = 3 განტოლების გრაფიკის ესკიზირება.

გამოსავალი

ეს მიმართულება უკეთესად არის დასახული, თუ ვიტყვით ”ესკიზით ყველა წერტილისა (x, y), რომელიც აკმაყოფილებს y = 3”, ან ეკვივალენტურად, ”ესკიზის ყველა წერტილის (x, y) სიმრავლე, რომელთა y- მნიშვნელობაა 3 ” მაშინ ადვილი საკითხია ჰორიზონტალური ხაზის ესკიზზე, რომელიც ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {10} ).

გაითვალისწინეთ, რომ წრფის თითოეულ წერტილს აქვს y- ის ტოლი 3-ის. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ამ ჰორიზონტალურ ხაზს აქვს ნულოვანი დახრილი.

ორი საბოლოო კომენტარი მწყობრშია. იმის გამო, რომ ფიგურა 10-ში მოცემულ სტრიქონს აქვს დახრილი ნული და y- გადაკვეთა (0, 3), ჩვენ შეგვიძლია ჩავსვათ m = 0 და b = 3 დახრილობის ფორმა y = mx + b და მივიღოთ

[y = 0 x + 3 ]

რაც, რა თქმა უნდა, ექვივალენტურია y = 3. თუმცა, ვერტიკალურ ხაზს, რომელიც ნაჩვენებია ნახაზზე ( PageIndex {9} ), აქვს "განუსაზღვრელი" დახრილი, ამიტომ ეს მიდგომა მიუწვდომელია. ჩვენ უბრალოდ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ფიგურა ( PageIndex {9} ) ვერტიკალური წრფე შედგება ყველა წერტილისგან, რომელთა x სიდიდე 3-ის ტოლია და შემდეგ უნდა განვაცხადოთ, რომ მისი განტოლება არის x = 3.


თქვენი შენატანი: იპოვნეთ წრფის განტოლება, სადაც მოცემულია ორი წერტილი $ $ P = მარცხნივ (-4, 7 მარჯვნივ) $ $ და $ $ Q = მარცხნივ (1, 2 მარჯვნივ) $ $.

ხაზის დახრილობა, რომელიც გადის ორ წერტილს `P = (x_1, y_1)` და `Q = (x_2, y_2)` მოცემულია `m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1)` -ით.

ჩვენ გვაქვს ეს $ $ x_1 = -4 $ $, $ $ y_1 = 7 $ $, $ $ x_2 = 1 $ $, $ $ y_2 = 2 $ $.

ახლა, y- ჩაჭრა არის `b = y_1-m * x_1` (ან` b = y_2-m * x_2`, შედეგი იგივეა).

$ $ ბ = 7- მარცხნივ (-1 მარჯვნივ) cdot მარცხნივ (-4 მარჯვნივ) = 3 $ $.

დაბოლოს, წრფის განტოლება შეიძლება დაიწეროს `y = mx + b` სახით.

ხაზის დახრა არის $ $ მ = -1 $ $.

წრფის განტოლება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაშია $ $ y = -x + 3 $ $.

წრფის განტოლება წერტილ-დახრილობის ფორმაშია $ $ y - 7 = - (x + 4) $ $.

წრფის განტოლება წერტილ-დახრილობის ფორმაშია $ $ y - 2 = - (x - 1) $ $.

წრფის ზოგადი განტოლებაა $ $ x + y - 3 = 0 $ $.


Დავიწყოთ

ჩვენ ვაპირებთ შეისწავლოთ თუ როგორ დავწეროთ განტოლება წრფისთვის დახრის გამოყენებით და y-შეუკვეთე. თქვენ ასევე შეისწავლით თუ როგორ უნდა დაწეროთ განტოლება წერტილოვანი ჩაკვეთის ფორმის გამოყენებით.

TEKS– ის სტანდარტები და სტუდენტური მოლოდინები

ა (2) ხაზოვანი ფუნქციები, განტოლებები და უტოლობები. სტუდენტი იყენებს მათემატიკური პროცესის სტანდარტებს წრფივი ფუნქციების თვისებების გამოყენებისას, რათა დაწეროს და წარმოაჩინოს მრავალნაირი, ტექნოლოგიით, ხაზოვანი განტოლებებით, უტოლობებით და განტოლებების სისტემებით და მის გარეშე. სტუდენტი სავარაუდოდ:

A (2) (B) წრფივი განტოლებების დაწერა ორ ცვლადში სხვადასხვა ფორმით, მათ შორის y = მx + ბ, აx + ბy = C და y - y1 = მ (x - x1), მოცემულია ერთი წერტილი და დახრა და მოცემულია ორი წერტილი

რესურსების მიზნები

მოცემულია ორი წერტილი, ფერდობზე და წერტილზე, ან ფერდობზე და y-ინცეპტი, მოსწავლე დაწერს წრფივ განტოლებებს ორ ცვლადში.

არსებითი კითხვები

ახსენით, თუ როგორ შეგიძლიათ შექმნათ განტოლება დახრილობის გადაკვეთის ფორმაში, როდესაც მოცემულია ორი წერტილი.

ახსენით, თუ როგორ შეგიძლიათ შექმნათ განტოლება წერტილ-დახრილობის ფორმაში, როდესაც მოცემულია ორი წერტილი.


1.4: ხაზების განტოლებები

საშუალო სკოლის ალგებრის მნიშვნელოვანი თემაა & წრფის განტოლება. & Quot ეს ნიშნავს განტოლებას x და y, რომლის ამოხსნის სიმრავლე არის წრფე (x, y) სიბრტყეში.

ალგებრაში ყველაზე პოპულარული ფორმაა & quotslope-intercept & quot ფორმა

ეს ფაქტობრივად იყენებს x- ს როგორც პარამეტრი და წერს y- ს x ფუნქციის სახით: y = f (x) = mx + b. როდესაც x = 0, y = b და წერტილი (0, b) არის წრფის გადაკვეთა y- ღერძთან.

ხაზზე გეომეტრიულ ობიექტად და არა ფუნქციის გრაფიკზე ფიქრი, აზრი აქვს x და y უფრო თანაბრად მოპყრობას. წრფის ზოგადი განტოლებაა (ნორმალური ფორმა)

იმ პირობით, რომ a ან b- დან ერთი მაინც არის ნულოვანი. ეს ადვილად შეიძლება გადაკეთდეს ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში y– ს ამოხსნით:

გარდა განსაკუთრებული შემთხვევისა b = 0, როდესაც წრფე y- ღერძის პარალელურია.

თუ ნორმალურ ფორმაზე კოეფიციენტები გამრავლებულია ნულოვანი მუდმივით, ამონახსნების სიმრავლე ზუსტად იგივეა, ასე რომ, მაგალითად, ყველა ამ განტოლებას აქვს იგივე ხაზი, როგორც ამოხსნა.

2x + 3 y = 4
4x + 6y = 8
-x - (3/2) y = -2
(1/2) x + (3/4) y = 1

ზოგადად, თუ k არის ნულოვანი მუდმივა, მაშინ ესენი არიან განტოლებები იმავე ხაზისთვის, ვინაიდან მათ ერთი და იგივე გადაწყვეტილებები აქვთ.

ცული + მიერ = გ
(ka) x + (kb) y = kc.

K- ს პოპულარული არჩევანია, იმ შემთხვევაში, როდესაც c არ არის ნულოვანი, არის k = (1 / c). შემდეგ ხდება განტოლება

განტოლების კიდევ ერთი სასარგებლო ფორმაა გაყოფა | (a, b) | - ზე, 2 + b 2 – ის კვადრატული ფესვი. ეს არჩევანი აიხსნება აქ ნორმალური ვექტორის განყოფილება.

ვარჯიში: თუ O არის წრფეზე, აჩვენე, რომ განტოლება ხდება ax + by = 0, ან y = mx.

ვარჯიში: იპოვნეთ ამ ხაზის გადაკვეთები საკოორდინატო ღერძებთან.

ვარჯიში: რა არის წრფის (0,0) და წერტილის (h, k) განტოლება?

წრფის განტოლების პოვნა სიბრტყეში 2 წერტილით

ნებისმიერი ორი წერტილისთვის P და Q, წერტილების საშუალებით არის ზუსტად ერთი წრფე PQ. თუ P და Q კოორდინატები ცნობილია, მაშინ წრფის განტოლების a, b, c კოეფიციენტები შეიძლება მოიძებნოს წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნით.

მაგალითი: P = (1, 2), Q = (-2, 5), იპოვნეთ განტოლება ax + by = c ხაზის PQ.

რადგან P არის წრფეზე, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას: a1 + b2 = c, ან a + 2b = c.
რადგან Q წრფეზეა, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას: a (-2) + b5 = c, ან -2 a + 5b = c.

გავამრავლოთ პირველი განტოლება 2-ზე და დავამატოთ a განტოლების აღმოსაფხვრელად: 4b + 5b = 9b = 2c + c = 3c, ასე რომ b = (1/3) c. შემდეგ შეცვალეთ პირველი განტოლება, a = c - 2b = c - (2/3) c = (1/3) c.

ეს იძლევა განტოლებას [(1/3) c] x + [(1/3) c> y = გ. რატომ არ არის გადაწყვეტილი გ? გახსოვდეთ, რომ სტრიქონისთვის არსებობს უსასრულო განტოლებები, რომელთაგან თითოეული მრავლდება მეორისა. ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ c (ან დავაყენოთ c = 1 იგივე შედეგი) და მივიღოთ (1/3) x + (1/3) y = 1 ხაზის განტოლების ერთ-ერთი არჩევანი. სხვა არჩევანი შეიძლება იყოს c = 3: x + y = 3, რომელმაც გაასუფთავა მნიშვნელები.

ეს მეთოდი ყოველთვის მუშაობს ნებისმიერი განსხვავებული P და Q- სთვის. რა თქმა უნდა არსებობს a, b, c ფორმულაც. ამის პოვნა შესაძლებელია განმსაზღვრელები, ან ჯვარედინი პროდუქტი.

Სავარჯიშოები: იპოვნეთ ამ სტრიქონების განტოლებები. გაითვალისწინეთ განსაკუთრებული შემთხვევები.

ხაზის გავლით (3, 4) და (1, -2).
ხაზის გავლით (3, 4) და (-6, -8).
ხაზის გავლით (3, 4) და (3, 7).

კავშირი ხაზის პარამეტრიულ ფორმასთან

ორი და P წერტილების გათვალისწინებით, PQ ხაზის წერტილები შეიძლება დაიწეროს როგორც F (t) = (1-t) P + tQ, t რომ გადაფარავს ყველა რეალურ რიცხვს. თუ ორივე P და Q აკმაყოფილებენ ერთნაირ განტოლებას ax + by = c, მაშინ გამოთვლებიდან ჩანს, რომ ეს ასევე შეესაბამება (1-t) P + tQ– ს, t– ს ნებისმიერი არჩევანისთვის.

აი ეს გამოთვლა. მოდით P = (გვ1გვ2), Q = (q1q2) მას შემდეგ, რაც წერტილები ხაზზეა, ვიცით, რომ ორივე

F (t) წერტილისთვის უნდა გადავამოწმოთ a ((1-t) p1+ კვ1] + ბ [(1-ტ) გვ2+ კვ2] = გ მაგრამ მარცხენა მხარე შეიძლება გადალაგდეს როგორც (1-t) (აპ.)1 + ბპ2) + t (aq1 + bq2), და ეს უდრის (1-t) c + tc = c. ასე რომ, განტოლება მოქმედებს. შეადარე ეს გამოთვლილი გამოთვლა სიბრტყისთვის მოცემულ გამოთვლას, რომელიც იყენებს წერტილოვან პროდუქტს. გამოთვლები იგივეა, მაგრამ ერთი აჩვენებს უფრო დეტალებს და ერთი მალავს კოორდინატებს და აჩვენებს უფრო კონცეპტუალურ სურათს.

თვითმფრინავის განტოლება

3 სივრცეში არსებულ სიბრტყეს აქვს განტოლება

სადაც a, b, c რიცხვებიდან ერთ-ერთი მაინც უნდა იყოს ნულოვანი.

რაც შეეხება წრფეს, თუ განტოლება გამრავლებულია ნებისმიერი არა ნულოვანი მუდმივის k- ზე, რომ მიიღოთ განტოლება kax + kby + kcz = kd, ამონახსნების სიბრტყე იგივეა.

თუ c არ არის ნულოვანი, ხშირად სასარგებლოა ვიფიქროთ სიბრტყეზე, როგორც x და y ფუნქციის z. განტოლება შეიძლება გადალაგდეს ასე:

კიდევ ერთი სასარგებლო არჩევანი, როდესაც d არ არის ნული, არის გაყოფა d –ზე ისე, რომ მუდმივი ტერმინი = 1.

განტოლების კიდევ ერთი სასარგებლო ფორმაა გაყოფა | (a, b, c) |, კვადრატული ფესვი 2 + b 2 + c 2. ეს არჩევანი აიხსნება აქ ნორმალური ვექტორის განყოფილება.

ვარჯიში: სად კვეთს თვითმფრინავის ცული + by + cz = d კოორდინატთა ღერძებს?

ვარჯიში: რა არის განსაკუთრებული სიბრტყის განტოლებაში, რომელიც გადის 0-ზე.

სივრცეში 3 წერტილის საშუალებით თვითმფრინავის განტოლების პოვნა

მოცემულია სივრცეში P, Q, R წერტილები, იპოვნეთ სიბრტყის განტოლება 3 წერტილის მეშვეობით.

მაგალითი: P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). ჩვენ ვეძებთ ax + განტოლების კოეფიციენტებს + cz = d, სადაც P, Q და R აკმაყოფილებენ განტოლებებს, ამრიგად:

a + b + c = d
a + 2b + 0c = d
-a + 2b + c = d

პირველი განტოლების მეორედან გამოკლებას და შემდეგ მესამე განტოლების დამატებას მესამეზე, გამოვრიცხავთ მისაღებად

განტოლებების დამატება იძლევა 5b = 2d, ან b = (2/5) d, შემდეგ გადაჭრის c = b = (2/5) d და შემდეგ a = d - b - c = (1/5) d.

ასე რომ, განტოლება (ასარჩევად ნულოვანი მუდმივით დარჩა) არის d (1/5) x + d (2/5) y + d (2/5) z = d, ამიტომ მუდმივის ერთი არჩევანი იძლევა

ან სხვა არჩევანი იქნება (1/5) x + (2/5) y + (2/5) z = 1

P, Q, R კოორდინატების გათვალისწინებით, არსებობს თვითმფრინავის კოეფიციენტების ფორმულა, რომელიც იყენებს დეტერმინანტებს ან ჯვარედინი პროდუქტი.

ვარჯიში. რა არის სიბრტყის განტოლება I, J, K წერტილების მეშვეობით?

ვარჯიში: რა არის სიბრტყის განტოლება (1, 1, 1), (-1, 1, -1) და (1, -1, -1) მეშვეობით?

სავარჯიშო: შეადარე სიბრტყის განტოლების პოვნის ეს მეთოდი ჯვარედინი პროდუქტის მეთოდთან.

კავშირი თვითმფრინავის პარამეტრიულ ფორმასთან

3 წერტილისთვის P, Q, R, სიბრტყის წერტილები შეიძლება დაიწეროს პარამეტრული ფორმით F (s, t) = (1 - s - t) P + sQ + tR, სადაც s და t დიაპაზონშია ყველა რეალური რიცხვები

ხაზის განტოლების მსგავსად ზემოთ მოცემული გამოთვლა გვიჩვენებს, რომ თუ P, Q, R ყველა აკმაყოფილებს ერთსა და იმავე განტოლებას ax + by + cz = d, მაშინ F (s, t) ყველა წერტილი ასევე აკმაყოფილებს იმავე განტოლებას.

ეს არის გასაღები იმის დასადგენად, რომ განტოლება ax + by + cz = d ნამდვილად არის სიბრტყის განტოლება (როდესაც a, b, c– დან ერთი მაინც არ არის ნული.

ეს გამოთვლა აქ არ გაკეთდება, რადგან ამის გაკეთება ბევრად უფრო მარტივია, თუ იყენებთ წერტილოვანი პროდუქტი.


1.4: ხაზების განტოლებები

ხაზების ფერდობები და განტოლებები

რამდენიმე სასარგებლო ინფორმაცია ხაზების შესახებ

ფაქტი თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს ფაქტი, როდესაც იცით:
ფერდობის ფორმულა: წრფეზე ორი წერტილი
ფერდობზე გადაკვეთის ფორმულა: y = mx + b ხაზის დახრა და y- გადაკვეთა
წერტილ-დახრილობის ფორმულა: y - y1 = მ (x - x1) ხაზის დახრილობა და წერტილი წრფეზე
პარალელურ ხაზებს თანაბარი ფერდობები აქვთ ხაზის დახრა
პერპენდიკულარული ხაზების ფერდობები საპირისპირო ორმხრივია ხაზის დახრა


ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე მოცემულია ის მეთოდები, რომელთა გამოყენება მიზანშეწონილია კონკრეტული ტიპის პრობლემების გადაჭრისას.

რისი პოვნა გსურთ? რა იცით უკვე? გამოყენების მეთოდი
ხაზის დახრა ხაზის ორი წერტილის კოორდინატები გამოიყენეთ ფერდობის ფორმულა
ხაზის დახრა და y- გადაკვეთა წრფის განტოლება სტანდარტული ფორმით დაწერეთ განტოლება დახრილობის-ჩაკვეთის ფორმით
წრფის განტოლება ხაზის დახრა და წერტილი ამ ხაზზე გამოიყენეთ წერტილ-დახრილობის ფორმულა
წრფის განტოლება ხაზის დახრა და y- გადაკვეთა გამოიყენეთ ფერდობზე გადაკვეთის ფორმულა
წრფის განტოლება ხაზის ორი წერტილის კოორდინატები გამოიყენეთ დახრის ფორმულა ხაზის დახრის მოსაძებნად, შემდეგ გამოიყენეთ ფერდობზე და წერტილოვანი ფერდობის ფორმულის ერთ-ერთ წერტილში
წრფის განტოლება მოცემული წრფის პარალელურად მოცემული პარალელური სტრიქონის განტოლება და თქვენი წრფის წერტილი მოცემული წრფის განტოლების დახრილობა-ჩაკვეთის ფორმით დაწერეთ მისი დაქანების დასადგენად, შემდეგ გამოიყენეთ იგივე დახრილი და თქვენი წერტილი წერტილ-დახრილობის ფორმულაში
მოცემული წრფის პერპენდიკულარული წრფის განტოლება მოცემული პერპენდიკულარული ხაზის განტოლება და თქვენი წრფის წერტილი დაწერე მოცემული წრფის განტოლება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში, რათა დადგინდეს მისი დახრილობა, შემდეგ გამოიყენე ამ ფერდობზე საპირისპირო საპასუხო და შენი წერტილი წერტილოვანი ფერდობის ფორმულაში.

მოდით ვნახოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1 რა არის წრფის დახრილი წერტილები (2,3) და (4, -5) წერტილებში? რისი მოძებნა გვინდა? ხაზის დახრა

რა ვიცით უკვე? ორი წერტილი წრფეზე

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? გამოიყენეთ ფერდობზე ფორმულა


მაგალითი 2 რა არის 2x - 3y = 5-ის დახრილობა და y- გადაკვეთა? რისი მოძებნა გვინდა? ფერდობზე და y- ჩაჭრა

რა ვიცით უკვე? წრფის განტოლება სტანდარტული ფორმით

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? დაწერეთ განტოლება დახრილობის-ჩაკვეთის ფორმით

მას შემდეგ, რაც განტოლება ახლა არის y = mx + b ფორმაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ დახრილი m = 2/3 და y- ჩაჭრა b = -5 / 3


მაგალითი 3 რა არის წრფის განტოლება - 2, რომელიც გადის (3, -5)? რისი მოძებნა გვინდა? წრფის განტოლება

რა ვიცით უკვე? ფერდობზე და წერტილზე წრფეზე

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? გამოიყენეთ წერტილ-დახრილობის ფორმულა


მაგალითი 4 რა არის წრფის განტოლება 3/4 დახრილობისა და y- გადაკვეთის მქონე - 3? რისი მოძებნა გვინდა? წრფის განტოლება

რა ვიცით უკვე? ფერდობზე და y- ჩაჭრა

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? გამოიყენეთ ფერდობზე გადაკვეთის ფორმულა


მაგალითი 5 რა არის წრფის განტოლება, რომელიც შეიცავს წერტილებს (3,4) და (1, -2)? რისი მოძებნა გვინდა? წრფის განტოლება

რა ვიცით უკვე? ორი წერტილი წრფეზე

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? გამოიყენეთ დახრის ფორმულა ხაზის დახრის მოსაძებნად, შემდეგ გამოიყენეთ ფერდობზე და წერტილოვანი ფერდობის ფორმულის ერთ-ერთ წერტილში

ახლა გამოიყენეთ ერთი წერტილი და ჩვენი ფერდობზე წერტილის დახრილობის ფორმულაში:


მაგალითი 6 იპოვნეთ წრფის განტოლება, რომელიც გადის (-1, 4) და არის 3x-y = 5 პარალელური. რისი მოძებნა გვინდა? წრფის განტოლება

რა ვიცით უკვე? წერტილი ჩვენს წრფეზე და წრფის განტოლება ჩვენი ხაზის პარალელურად

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? მოცემული წრფის განტოლების დახრილობა-ჩაკვეთის ფორმით დაწერეთ მისი დახრის დასადგენად, შემდეგ გამოიყენეთ იგივე დახრილი და თქვენი წერტილი წერტილ-დახრილობის ფორმულაში

ასე რომ, მოცემული ხაზის დახრა არის 3

პარალელურ ხაზებს თანაბარი დახრილობა აქვთ, ამიტომ ჩვენი ხაზის დახრა ასევე 3ა. ჩვენი ხაზი ასევე გადის წერტილზე (-1,4), ამიტომ ჩვენ დავწერთ განტოლებას წერტილოვანი ფერდობის ფორმულასთან.


მაგალითი 7 იპოვნეთ წრფის განტოლება (4, -1) –ს მეშვეობით, რომელიც 4x + 3y = 2 – ის პერპენდიკულარულია რისი მოძებნა გვინდა? წრფის განტოლება

რა ვიცით უკვე? წერტილი ჩვენს წრფეზე და წრფის განტოლება ჩვენს წრფეზე

რა მეთოდს გამოვიყენებთ? დაწერე მოცემული წრფის განტოლება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში, რათა დადგინდეს მისი დახრილობა, შემდეგ გამოიყენე ამ ფერდობზე საპირისპირო საპასუხო და შენი წერტილი წერტილოვანი ფერდობის ფორმულაში.

პერპენდიკულარულ ხაზებს აქვთ ფერდობები, რომლებიც საპირისპიროა ორმხრივი, ამიტომ ჩვენი ხაზის დახრილობა არის საპირისპირო ორმხრივი -4/3, ან 3/4. ჩვენი ხაზი ასევე გადის წერტილს (4, -1), ამიტომ ჩვენ დავწერთ განტოლებას წერტილოვანი ფერდობის ფორმულასთან.


წრფის სტანდარტული ფორმის პოვნა

ახლა ჩვენ შევხედავთ სტრიქონის სტანდარტული ფორმის წერის რამდენიმე მაგალითს, როდესაც სტრიქონი უკვე მოცემულია y = mx + b ფორმით.

პირველ რიგში, დავიწყოთ ერთით, სადაც & # 8217 ბევრი ნაბიჯი არ არის საჭირო.

მაგალითი

სტრიქონის განტოლების სტანდარტული ფორმით ჩაწერა:
(y = -2x + 4 )

გამოსავალი

ეს არის უმარტივესი შემთხვევა, რადგან x და y კოეფიციენტები უკვე მთელი რიცხვია (უარყოფითი ან დადებითი მთლიანი რიცხვები). ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უბრალოდ უნდა მოვიყვანოთ x-term მეორე მხარეს.

ხაზის სტანდარტული ფორმაა:
( bbox [border: 1px solid black padding: 2px] <2x + y = 4> )

უფრო რთული შემთხვევაა, როდესაც ან დახრილობა, მუდმივი ან, შესაძლოა, ორივე ერთად არის წილადები. ვინაიდან x და y კოეფიციენტები სასურველია დაწერილი იყოს როგორც მთელი რიცხვი, ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა „გაასუფთაოთ წილადები“. ეს ნაჩვენებია შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი

სტრიქონის განტოლების სტანდარტული ფორმით ჩაწერა.
(y = - dfrac <2> <3> x + dfrac <1> <4> )

წილადების გასასუფთავებლად შეგიძლიათ განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ მთელ რიცხვზე. მთელი რიცხვი უნდა იყოს ორივე მნიშვნელის ჯერადი (იდეალურ შემთხვევაში ეს ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადია). ჩვენი მნიშვნელები აქ არის 3 და 4, ამიტომ გამოვიყენებთ 12-ს.

წილადების გასასუფთავებლად გავამრავლოთ ორივე მხარე 12-ზე.

ახლა შეგვიძლია ორივე მხარეს დავუმატოთ 8x, რომ მივიღოთ ხაზის სტანდარტული ფორმა.

( bbox [border: 1px solid black padding: 2px] <8x + 12y = 3> )


ხაზის განტოლება

განტოლება, y = mx + b, წრფის განტოლებისთვის არის დახრილი-ჩაჭრა. როდესაც განტოლება ამ ფორმაშია, წრფის დახრილობა მოცემულია m- ით და y- გადაკვეთა მდებარეობს b- ზე.

მაგალითად, y = 2x + 4 განტოლების ხაზს აქვს 2 დახრილობა და y- ინტერფეცია 4.

შემდეგ დიაგრამაზე მოცემულია განტოლება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში. გადაახვიეთ გვერდზე დამატებითი მაგალითებისა და გადაწყვეტილებების მისაღებად, თუ როგორ გამოიყენოთ განტოლების დახრილობის გადაკვეთის ფორმა.


განტოლების დახრილობა და y- ჩაჭრა

როგორ დავწეროთ განტოლებები ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში?

დახრილობა-ინტერპრეტაცია სასარგებლოა, როდესაც გვინდა ვიპოვოთ განტოლების დახრილი ან y- გადაკვეთა. განტოლების დასაწერად დახრილობა-ჩაკვეთა ფორმით, ჩვენ გამოვყოფთ y განტოლების ერთ მხარეს.

შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა შეიცვალოს წრფივი განტოლება ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში.

Y = mx + b ფორმით დაწერილი წრფივი განტოლება არის ფერდობზე გადაკვეთის ფორმაში, სადაც m არის დახრილი და b არის წრფის y გადაკვეთა.

მაგალითი:
დაწერეთ განტოლება -3x + 4y = 8 დახრილობის გადაკვეთის ფორმაში. განაცხადეთ ფერდობი და y ჩაჭრა.

როგორ მოვძებნოთ წრფის დახრილობა და y- გადაკვეთა განტოლების დახრილობის-ჩაჭრა ფორმით დაწერით?

მაგალითები:
იპოვნეთ ფერდობზე:
y = -3x + 8
3x - 5y = 10
y = 5
x = -2

როგორ ვიპოვოთ დახრილი და y- ინტერპრეტაცია წრფივი განტოლებისთვის?

მაგალითები:
წრფივი განტოლებისათვის იპოვნეთ დახრილობა და y- ჩაჭრა.
ა) y = -2x + 3
ბ) y = 4 - 2/3 x
გ) 2x - 5y = 10
დ) 3x + 7y - 10 = 0
ე) 8y + 24 = 0

ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების განტოლებები

ჰორიზონტალურ ხაზს აქვს ნულის დახრა, რაც ნიშნავს, რომ m = 0. ჰორიზონტალური ხაზის განტოლება ფორმაშია

y = 0x + b, რაც იგივეა, რაც y = b, სადაც b არის y- ჩაჭრა.

ვერტიკალურ ხაზს აქვს დახრილი, რომელიც განუსაზღვრელია. Therefore, it cannot be written in slope-intercept form. Instead, the equation of a vertical line is in the form

x = a, where a is the x-intercept.

How to write the equation of vertical and horizontal lines?

Writing the Equation of a Line from Two Points

To find the equation of a line when given two points on the line, we first find the slope and then find the y-intercept.

The slope is the ratio of the change in the y-value over the change in the x-value. Given any two points on a line, you can calculate the slope of the line by using this formula:

მაგალითი:
Given two points, P = (0, –1) and Q = (4,1), on the line, find the equation of the line.

გამოსავალი:
Step 1: Calculate the slope.
slope =
=

Step 2: Substitute m = , into the equation, y = mx + b, to get the equation

Step 3: Select one of the given points, for example (4, 1), and substitute the x and y values into the equation.

We, then, get that b = −1, which is the y-intercept.

Step 4: Substitute b = −1 to get the equation.
y = x − 1

How to determine the equation of a line in slope-intercept form given two points on the line?

მაგალითი:
Determine the equation of the line passing through (-2, -3) and (4, -2). Write the linear equation in slope-intercept form.

Examples of getting the slope and y-intercept given two points and then obtaining the equation of the line.

How To Graph An Equation Using The Slope-Intercept Form?

This video explains how to graph a linear equation given in slope intercept form.

მაგალითი:
Identify the slope and y-intercept. Graph.
a) y = -2/3 x + 1
b) y = 5x - 2
c) y = x
d) 3x - 2y = 8

How to graph a linear equation using the slope and y-intercept?

სცადეთ უფასო მათემატიკის კალკულატორი და პრობლემების გადაჭრის ქვემოთ, სხვადასხვა მათემატიკის თემების სავარჯიშოდ. სცადეთ მოცემული მაგალითები, ან აკრიფეთ საკუთარი პრობლემა და გადახედეთ თქვენს პასუხს ეტაპობრივი განმარტებებით.

ჩვენ მივესალმებით თქვენს გამოხმაურებას, კომენტარს და კითხვებს ამ საიტის ან გვერდის შესახებ. გთხოვთ, გამოაგზავნოთ თქვენი გამოხმაურება ან შეკითხვები უკუკავშირის გვერდის მეშვეობით.


1.4: Equations of Lines

2. The students will be able to write lines in slope intercept form and point slope form.

3. The students will be able to solve systems of equations using ordered pairs, graphing and substitution.

4. The students will be able to solve systems of equations by adding, subtracting and multiplying.
Day 1: Slope of a line

Slope of a segment is the ratio of the "rise" or the vertical distance over the "run" or the horizontal distance.

Now, given 2 points connected by a segment on a graph, count the slope using the above definition.

Example #1

Example #2

Some rules for finding slope: 1. Always find the change in y first and let that be your numerator, then find the change in x and let that be your denominator.

2. When counting UP, that is a positive number.
When counting DOWN, that is a negative number.

More Examples

Plot the following points, connect them and count the slope using the rules that you know

1. (4,3) (-1, 1) 2. (-3, -7) (2,4) 3. (0,2) (3,5) 4. (5,0) (-1, 4)

Now, pick your own sets of 2 points. Use graph paper to plot these points and connect the dots. Compute the slope for each line that you have drawn. Do 5 examples this way using the graph paper given.

Day 2 : Slope (con't) Let's review the definition of slope:


Compute the slope of the following lines.

Example #1

What happens to the slope of lines that are vertical and horizontal? Compute the slopes and put the calculations into the calculator and see what you get.

What can we call lines with a positive slope? These lines go up or "increase"

What can we call lines with a negative slope?
These lines go down or "decrease"

An easier way to write the slope formula is:

Now, graph the line that passes through the given point and has the given slope.


Day 3: Parallel and Perpendicular Lines

Explore the following:

1. Plot the following points
A(-10, 0) B(6, 12) C(-4, -5) D(12, 7)
Next, draw the segments AB and CD. What do you notice?
Find the slopes of each line segment.

2. Investigate the following diagram:
What pairs of segments appear to be parallel?
Find the slope of each segment. What is true?

3. Based on the results in 1 and 2, what conclusion can you make about the slope of parallel lines?

4. Now plot the following points:
A(-1, 3) B(5, -6) C(6, 1) D(-3, -5)
Draw the segments AB and CD. What do you notice about these segments?
Find the slopes of these line segments. What is their relationship to each other?
What do you get when you multiply these slopes together?

5. Investigate the following diagram:
What pairs of lines appear to be perpendicular?
Find the slope of each segment. What is true?
What do you get when you multiply these slopes together?

6. Based on the results 4 and 5, what conclusion can you make about the slopes of perpendicular lines?

დასკვნები
* If two lines are parallel, they have the same slope.
* If two lines are perpendicular, the have a slope that is the negative reciprocal and their product is -1. Investigate the slopes above. Ეს მართალია?

Use Geometer's Sketchpad to compute the slopes of the following points and find the slope of a line parallel and the slope of a line perpendicular to the given line.

1. A(6, 3) and B(4, 6)
2. C(-1, -5) and D(3, -2)
3. E(0, 5) and F(-1, 6)
4. G(-4, -2) and H(-5, -2)

Now, using Algebra Xpresser to find 3 lines parallel to each other and 2 lines perpendicular through the parallel lines. Give each slope and two points that lie on each line.

Day 4: Slope-Intercept Form of an Equation

The standard form that equations are written in is called slope-intercept form of the line where y=mx + b. In this form, m represents the slope and b represents the y-intercept. The y-intercept is the point where the graph crosses the y axis.

Find the slope and y-intercept of the following lines.

Now, using Algebra Xpresser, graph the above lines.

Determine whether the 2 lines are parallel, perpendicular or neither.


Now, plug these equations into your TI-82 calculator. Check to see of you were correct about your assumptions of slope.
Day 5: Writing Equations for Lines

When writing an equation, you nust look at the information that is given to you.

1. For example, write an equation for a line with slope=4 and y-intercept that is 2.
Given: m=4 and b=2
Therefore, the equation in y=mx + b form is y=4x + 2.

Now, what is the slope and a point on the line were given?

2. Write an equation for a line whose slope is 5 and contains the point (3, -2).
Given: m=5, x=3 and y=-2.
The form for the equation is y=mx + b and we are looking for the
y-intercept.
So, -2 = 5(3) +b
-2 = 15 +b
b= -17
Therefore, the equation for the line is y=5x - 17.

What happens if you are given 2 points?

3. Write the equation for the line that passes through the points
(4, 3) and (-1, -5).
Given two points, we can easily find the slope of this line.

Now, we have slope also x=4 and y=3 (or we could have picked the other point to use.)


Using the information that we now know about writing the equation of lines using the given slope, point, and/or y-intercept, try some on your own.

Day 6 and 7: Systems of Equations

An ordered pair is a solution of a systems of equations if it is a solution for each of the equations.

State whether the ordered pair is a solution of the system of equations.

გამოსავალი:
2(2) - (-3) = 10
4 + 3 = 10
7 = 10

So, (2, -3) is not a solution for this system of equations.

გამოსავალი:
-4(2) + 5 = -3
-8 + 5 = -3
-3 = -3

So, (2, 5) is a solution for this system of equations.

To solve a system of equations using graphs, graph each equation on the same pair of axes. All points of intersection are solutions to the system of equations.

Solve each system of equations by graphing.

By looking at the graph of these two equations, you can clearly see that they intersect at (2, -2). Once we find an intersection point, we must put that value into both of our original equations to see if the point satifies both equations.

Check your intersection point:
ა -2 = 2(2) - 6
-2 = 4 - 6
-2 = -2

Now we can see that the point (2, -2) is a solution for the system of equations.

In order to graph these equations, we need to put them in y=mx+b form.
So,
ა 3x - 2y = 4
-2y = -3x + 4
y = (3/2)x - 2

From the graph of these two equations, we can clearly see that (2, 1) is the intersection point of the two lines. Now we must check our point to see if it satisfies both equations.

Check your intersection point:

So, the point (2, 1) is a solution to the system of equations.

More examples:
Solve the systems of equations by graphing:

5. y = 4x - 2
x - 4y = 2
Day 8: Substitution

One of the methods of solving systems of equations is called substitution. This method is helpful when one of the equations is already solved for one variable. For substitution, you need to eliminate one variable so that you will have the equation in one variable to solve.

Steps for substitution:
1. Solve one of the equations for one variable in terms of the other.
2. Substitute that expression in the other equation and solve.
3. Substitute that value in one of the original equations and solve.
4. Check in both of the original equations.

Solve by the substitution method:

Ნაბიჯი 1:
x + y = 6
y = -x + 6
ნაბიჯი 2:
x - 2(-x+6) = 3
x + 2x - 12 = 3
3x - 12 = 3
3x = 15
x = 5.
ნაბიჯი 3:
5 + y = 6
y = 1.
ნაბიჯი 4:
ა 5 + 1 = 6
6 = 6
ბ 5 - 2(1) = 3
5 - 2 = 3
3 = 3.

So, the point (5, 1) is a solution for this system of equations.

Ნაბიჯი 1:
x + y = 7
y = -x + 7.
ნაბიჯი 2:
2x - (-x + 7) = 14
2x + x - 7 = 14
3x - 7 = 14
3x = 21
x = 7.
ნაბიჯი 3:
7 + y = 7
y = 0.
ნაბიჯი 4:
ა 2(7) - 0 = 14
14 = 14
ბ 7 + 0 = 7
7 = 7.

So, the point (7, 0) is a solution to this system of equations.

Ნაბიჯი 1:
x - 2y = -9
x = 2y - 9.
ნაბიჯი 2:
-2(2y - 9) + 4y = -13
-4y + 18 +4y = -13
18 = -13 is not true.
So, there is no solution to this system of equations.


4. At the food truck, Joe bought 3 hot dogs and 4 drinks for $10. Cindy paid $5 for 1 hot dog and 3 drinks. Find the cost of each hot dog and each drink.

Let h=hot dog and d=drink
3h + 4d = 10
1h + 3d = 5

Ნაბიჯი 1:
1h + 3d = 5
h = -3d + 5.
ნაბიჯი 2:
3(-3d + 5) + 4d = 10
-9d +15 + 4d = 10
-5d + 15 = 10
-5d = -5
d = 1.
ნაბიჯი 3:
h + 3(1) = 5
h + 3 = 5
h = 2.
ნაბიჯი 4:
ა 3(2) + 4(1) = 10
6 + 4 = 10
10 = 10
ბ 1(2) + 3(1) = 5
2 + 3 = 5
5 = 5.

So, each hot dog cost $2 and each drink cost $1.

More examples:

Use substitution to solve the systems of equations:

5. Jim bought 4 jars of jelly and 6 jars of peanut butter. Adam bought 3 jars of the same jelly and 5 jars of the same peanut butter. Jim paid $19.32 and Adam paid $15.67. What is the cost of a jar of peanut butter?

6. On a construction site there are 14 cranes and trucks. Three times the number of cranes is 2 more than twice the number of trucks. How many cranes are there on the site?
Day 9: Adding and Subracting to Solve Systems of Equations

Simplify these expressions:
(3x - y -6)- (3x - 2y - 6) = y

(4x + y + 4) + (2x - y - 10) = 6x - 6


Steps to follow when adding or subtracting:

1. If the coefficients of one of the variables are opposites, add the equations to eliminate one of the variables. If the coefficients of one of the variables are the same, subtract the equations to eliminate one of the variables.
2. Solve the resulting equation for the remaining variable.
3. Substitute the value for the variable in one of the original equations and solve for the unknown variable.
4. Check the solution in both of the original equations.


Solve the systems of equations by adding or subtracting:

Steps 1 and 2:
subtract the two equations and solve for resulting variable

ნაბიჯი 3:
2(1) + 7y = -5
2 + 7y = -5
7y = =7
y = -1.
ნაბიჯი 4:
ა 2(1) + 7(-1) = -5
2 - 7 = -5
-5 = -5
ბ -5(1) + 7(-1) = -12
-5 - 7 = -12
-12 = -12.

So, the point (1, -1) is the solution to the system of equations.

Steps 1 and 2:
solve using addition and solve for resulting variable

ნაბიჯი 3:
5(-2) - y = -9
- 10 - y = -9
-y = 1
y = -1
ნაბიჯი 4:
ა 3(-2) + (-1) = -7
-6 - 1 = -7
-7 = -7
ბ 5(-2) - (-1) = -9
-10 + 1 = -9
-9 = -9.

So, the point (-2, -1) is a solution for the system of equations.

Solve by adding or subtracting:

5. x - y = -1
x + y = 9
Day 10: Multiplying to Solve Systems of Equations

Solve the systems of equations by multiplying:

Step 1: In order to solve this system, we need to multiply each equation by a constant so that one of the variables has a coefficient that is either opposite or the same.
2(3x -4y = 10) = 6x -8y = 20
3( -2x +3y = -7) = -6x + 9y = -21
Step 2: Since the coefficients of x are opposites, we need to add these two equations together.

Step 3: Now, we must solve the resulting equation for the remaining variable.
3x - 4(-1) = 10
3x + 4 = 10
3x = 6
x = 2.
Step 4: Again, we need to check the solution in both of the original equations.
ა 3(2) - 4(-1) = 10
6 + 4 = 10
10 = 10
ბ -2(2) +3(-1) = -7
-4 - 3 = -7
-7 = -7.

So, the point (2, -1) is a solution for this system of equations.

Ნაბიჯი 1:
4x - 2y = -12
4(-x + 3y = 13) = -4x + 12y = 52
ნაბიჯი 2:

ნაბიჯი 3:
3(4) = x + 13
12 = x + 13
x = -1
ნაბიჯი 4:
ა 4(-1) = 2(4) -12
-4 = 8 -12
-4 = -4
ბ 3(4) = -1 + 13
12 = -1 + 13
12 = 12.

So, the point (-1, 4) is a solution to this system of equations.

Tim sold 25 movie tickets for a total of $132. If each adult ticket sold for $6 and each children's ticket sold for $4, how many of each kind did he sell?

Let A=Adult tickets and C=Child tickets
So, since Tim sold 25 Adult and Child tickets, we can set up this equation:
A + C = 25
Since, Tim sold Adult tickets for $6 and Child tickets for $4, we can set up this equation:
6A + 4C = $132

Our system of equations is:
A + C = 25
6A + 4C = 132

Now, solve this system by multiplying the first equation by 4:
Ნაბიჯი 1:
4(A + C = 25) = 4A + 4C = 100
ნაბიჯი 2:
By subtracting the two equations we get:

ნაბიჯი 3:
16 + C = 25
C = 9.
ნაბიჯი 4:
ა 16 + 9 = 25
25 = 25.
ბ 6(16) + 4(9) = 132
96 + 36 = 132
132 = 132.

So, Adult tickets cost $16 and Child tickets cost $9.

Solve the systems of equations by multiplying:

5. Adult tickets for a benefit breakfast cost $2.50. Children's tickets cost $1.50. If 56 tickets were sold for total sales of $97, how many of each kind were sold?

6. A class of 31 students was divided into seven groups consisting of 4 or 5 students each. How many of each size group were there?

7. Jason spent $130 on six items of clothing consisting of jeans and shirts. If jeans cost $27 each and shirts cost $19 each, how many of each did he buy? Return to Homepage