სტატიები

6.4: სასრული განზომილებიანი სივრცეები - მათემატიკა


ამ ეტაპზე არ გვაქვს გარანტია იმისა, რომ თვითნებური ვექტორული სივრცე იქნება აქვს საფუძველი და, შესაბამისად, არანაირი გარანტია იმისა, რომ ლაპარაკი შეიძლება საერთოდ (V ) განზომილების. ამასთან, თეორემა [thm: 019430] აჩვენებს, რომ ნებისმიერ ადგილს, რომელსაც ვექტორთა სასრული კომპლექტი ფარავს, აქვს (სასრული) საფუძველი: მტკიცებულება მოითხოვს შემდეგ ძირითად ლემას, რომელიც თავისთავად საინტერესოა, რაც მოცემული გადიდების საშუალებას იძლევა. ვექტორების დამოუკიდებელი ნაკრები.

დამოუკიდებელი Lemma019357 მოდით იყოს ( { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k} } ) ვექტორების დამოუკიდებელი ნაკრები ვექტორული სივრცე (V ). თუ ( vect {u} in V ) მაგრამ ( vect {u} notin func {span} { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, ვექტები {v} _ {კ} } ), შემდეგ ( { ვექტები {u}, ვექტები {v} _ {1}, ვექტები {v} _ {2}, წერტილები , vect {v} _ {k} } ) ასევე დამოუკიდებელია.

მოდით (t vect {u} + t_ {1} vect {v} _ {1} + t_ {2} vect {v} _ {2} + წერტილები + t_ {k} vect {v} _ {k} = vect {0} ); უნდა ვაჩვენოთ, რომ ყველა კოეფიციენტი ნულოვანია. პირველი, (t = 0 ) რადგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ( vect {u} = - frac {t_1} {t} vect {v} _1 - frac {t_2} {t} vect {v} _2 - წერტილები - frac {t_k} {t} vect {v} _k ) არის ( func {span} { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2 }, წერტილები, vect {v} _ {k} } ), ჩვენი ვარაუდის საწინააღმდეგოდ. აქედან (t = 0 ). მაგრამ შემდეგ (t_ {1} vect {v} _ {1} + t_ {2} vect {v} _ {2} + წერტილები + t_ {k} vect {v} _ {k} = vect {0} ) ასე რომ დანარჩენი (t_ {i} ) ნულის ტოლია დამოუკიდებლობისთვის ( { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k} } ). ეს ჩვენ გვინდოდა.

l8 სმ

გაითვალისწინეთ, რომ ლემას [lem: 019357] საუბარი ასევე მართებულია: თუ ( { vect {u}, vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k} } ) დამოუკიდებელია, შემდეგ ( vect {u} ) არ არის ( func {span} { vect {v} _ {1}, vect { v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k} } ).

ილუსტრაციულად, ჩათვალეთ, რომ ( { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2} } ) დამოუკიდებელია ( RR ^ 3 ). მაშინ ( vect {v} _ {1} ) და ( vect {v} _ {2} ) პარალელური არ არის, ამიტომ ( func {span} { vect {v} _ {1 }, vect {v} _ {2} } ) სიბრტყეა წარმოშობის გავლით (დაჩრდილულია დიაგრამაზე). ლემას მიერ [lem: 019357], ( vect {u} ) არ არის ამ სიბრტყეში, თუ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ( { vect {u}, vect {v} _ {1}, vect {v } _ {2} } ) დამოუკიდებელია.

სასრული განზომილებიანი და უსასრულო განზომილებიანი ვექტორული სივრცეები 019411 ვექტორული სივრცე (V ) ეწოდება სასრული განზომილებიანი თუ მას ვექტორების სასრული კომპლექტი ალაგებს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, (V ) იწოდება უსასრულო განზომილებიანი.

ამრიგად, ნულოვანი ვექტორული სივრცე ( { vect {0} } ) სასრული განზომილებიანია, რადგან ( { vect {0} } ) გასწორებული ნაკრებია.

019415 მოდით (V ) იყოს სასრული განზომილებიანი ვექტორული სივრცე. თუ (U ) არის (V ) - ის ნებისმიერი ქვე-სივრცე, მაშინ (U ) - ის ნებისმიერი დამოუკიდებელი ქვეჯგუფი შეიძლება გაიზარდოს სასრულ საფუძველზე (U ).

დავუშვათ, რომ (I ) არის დამოუკიდებელი ქვეჯგუფი (U ). თუ ( func {span} I = U ) მაშინ (I ) უკვე წარმოადგენს (U ) საფუძველს. თუ ( func {span} I neq U ), აირჩიეთ ( vect {u} _ {1} in U ) ისეთი, რომ ( vect {u} _ {1} notin func { span} I ). მაშასადამე, ნაკრები (I cup { vect {u} _ {1} } ) დამოუკიდებელია ლემას მიერ [lem: 019357]. თუ ( func {span} (I cup { vect {u} _ {1} }) = U ) დავასრულეთ; წინააღმდეგ შემთხვევაში აირჩიეთ ( vect {u} _ {2} in U ) ისეთი, რომ ( vect {u} _ {2} notin func {span} (I cup { vect {u} _ {1} }) ). აქედან გამომდინარე, (I cup { vect {u} _ {1}, vect {u} _ {2} } ) დამოუკიდებელია და პროცესი გრძელდება. ჩვენ ვამბობთ, რომ საბოლოოდ მიიღწევა (U ) საფუძველი. მართლაც, თუ (U ) საფუძველი არასოდეს იქნა მიღწეული, ეს პროცესი ქმნის თვითნებურად დიდ დამოუკიდებელ ნაკრებებს (V ). მაგრამ ეს შეუძლებელია ფუნდამენტური თეორემის მიერ, რადგან (V ) სასრული განზომილებიანია და მას ვექტორების სასრული კომპლექტი ავრცელებს.

019430 მოდით (V ) იყოს სასრული განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, რომელიც მოიცავს ვექტორებს.

  1. (V ) აქვს სასრული საფუძველი და ( func {dim} V leq m ).

  2. ვექტორების ყველა დამოუკიდებელი ნაკრები (V ) - ში შეიძლება გადიდდეს (V ) - ის საფუძველზე და დაამატოთ ვექტორები (V ) ნებისმიერი ფიქსირებული საფუძველიდან.

  3. თუ (U ) არის (V ) ქვე-სივრცე, მაშინ

    1. (U ) არის სასრული განზომილებიანი და ( func {dim} U leq func {dim} V ).

    2. თუ ( func {dim} U = func {dim} V ) მაშინ (U = V ).

  1. თუ (V = { vect {0} } ), მაშინ (V ) აქვს ცარიელი საფუძველი და ( func {dim} V = 0 leq m ). წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოდით ( vect {v} neq vect {0} ) იყოს ვექტორი (V ). მაშინ ( { vect {v} } ) დამოუკიდებელია, ამიტომ (1) გამომდინარეობს ლემადან [lem: 019415] (U = V ).

  2. ჩვენ დახვეწეთ ლემას მტკიცებულება [lem: 019415]. შეასწორეთ (V ) - ის საფუძველი და მოდით, (I ) იყოს დამოუკიდებელი ქვეჯგუფი (V ). თუ ( func {span} I = V ) მაშინ (I ) უკვე არის (V ) - ის საფუძველი. თუ ( func {span} I neq V ), მაშინ (B ) არ შეიცავს (I ) (რადგან (B ) სიგრძეები (V )). ამიტომ აირჩიეთ ( vect {b} _ {1} in B ) ისეთი, რომ ( vect {b} _ {1} notin func {span} I ). მაშასადამე, ნაკრები (I cup { vect {b} _ {1} } ) დამოუკიდებელია ლემას მიერ [lem: 019357]. თუ ( func {span} (I cup { vect {b} _ {1} }) = V ) დავასრულეთ; წინააღმდეგ შემთხვევაში, მსგავსი არგუმენტი გვიჩვენებს, რომ ((I cup { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2} }) ) ზოგიერთისთვის დამოუკიდებელია ( vect {b} _ {2} B- ში). გააგრძელეთ ეს პროცესი. როგორც ლემას მტკიცებულებაში [lem: 019415], საბოლოოდ მიიღწევა (V ) საფუძველი.

    1. ეს გასაგებია, თუ (U = { vect {0} } ). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ( vect {u} neq vect {0} ) შედით (U ). შემდეგ ( { vect {u} } ) შეიძლება გაიზარდოს L (Lem: 019415] მიერ L (Lem: 019415) სასრული საფუძველზე (B ) (U ) და დაამტკიცოს, რომ (U ) სასრული განზომილებიანია . მაგრამ (B ) დამოუკიდებელია (V ) - ში, ამიტომ ( func {dim} U leq func {dim} V ) ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით.

    2. ეს გასაგებია, თუ (U = { vect {0} } ) რადგან (V ) აქვს საფუძველი; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს გამომდინარეობს (2) –დან.

თეორემა [thm: 019430] გვიჩვენებს, რომ ვექტორული სივრცე (V ) არის სასრული განზომილებიანი თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას აქვს სასრული საფუძველი (შესაძლოა ცარიელი), და რომ სასრული განზომილებიანი სივრცის ყველა ქვე-სივრცე ისევ სასრულ განზომილებიანია.

019464 გაზარდეთ დამოუკიდებელი ნაკრები (D = მარცხნივ { leftB start {array} {rr} 1 & 1 1 & 0 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 1 1 & 1 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 1 & 0 1 & 1 end {array} rightB right } ) საფუძველზე ( vectspace {M} _ {22} ).

( Vectspace {M} _ {22} ) - ის სტანდარტული საფუძველია ( მარცხენა { მარცხენა B დაწყება {მასივი} {rr} 1 და 0 0 & 0 ბოლო {მასივი} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 1 0 & 0 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 0 1 & 0 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 0 0 & 1 end {array} rightB right } ), ასე რომ, ერთ – ერთი მათგანი (D ) - ში შეიქმნება საფუძველი თეორემა [thm: 019430]. სინამდვილეში მათ შორის ნებისმიერი ამ მატრიცებიდან (D ) წარმოქმნის დამოუკიდებელ სიმრავლეს (გადაამოწმეთ) და, შესაბამისად, საფუძველი თეორემის მიერ [thm: 019633]. რა თქმა უნდა, ეს ვექტორები არ არის ერთადერთი შესაძლებლობები, მაგალითად, ( leftB start {array} {rr} 1 & 1 0 & 1 end {array} rightB ) ასევე მუშაობს.

019475 იპოვნეთ ( vectspace {P} _ {3} ) - ის საფუძველი, რომელიც შეიცავს დამოუკიდებელ სიმრავლეს ( {1 + x, 1 + x ^ {2} } ).

( Vectspace {P} _ {3} ) - ის სტანდარტული საფუძველია ( {1, x, x ^ {2}, x ^ {3} } ), ამიტომ ამ ვექტორებისგან ორი შედის . თუ ჩვენ ვიყენებთ (1 ) და (x ^ {3} ), შედეგი იქნება ( {1, 1 + x, 1 + x ^ {2}, x ^ {3} } ). ეს დამოუკიდებელია, რადგან პოლინომებს აქვთ მკაფიო ხარისხები (მაგალითი [exa: 018606]) და ამიტომ თეორემის საფუძველია [thm: 019430]. რა თქმა უნდა, ( {1, x } ) ან ( {1, x ^ {2} } ) ჩათვლით არა იმუშავე!

019490 აჩვენეთ, რომ ყველა მრავალწევრის სივრცე ( vectspace {P} ) უსასრულო განზომილებიანია.

თითოეული (n geq 1 ), ( vectspace {P} ) აქვს განზომილების ( vectspace {P} _ {n} ) ქვე-სივრცე (n + 1 ). დავუშვათ, რომ ( vectspace {P} ) სასრული განზომილებიანია, ვთქვათ ( func {dim} vectspace {P} = m ). შემდეგ ( func {dim} vectspace {P} _ {n} leq func {dim} vectspace {P} ) თეორემის [thm: 019430] მიერ, ეს არის (n + 1 leq m ) ) ეს შეუძლებელია, რადგან (n ) თვითნებურია, ამიტომ ( vectspace {P} ) უნდა იყოს უსასრულო განზომილებიანი.

შემდეგი მაგალითი გვიჩვენებს, თუ როგორ შეიძლება გამოყენებულ იქნას თეორემის [2] [thm: 019430].

019499 თუ ( vect {c} _ {1}, vect {c} _ {2}, წერტილები, vect {c} _ {k} ) დამოუკიდებელი სვეტია ( RR ^ n ) , აჩვენეთ, რომ ისინი არიან პირველი (k ) სვეტები ზოგიერთ ინვერსიულ (n ჯერ n ) მატრიცაში.

თეორემის [thm: 019430] გაფართოება ( { vect {c} _ {1}, vect {c} _ {2}, წერტილები, vect {c} _ {k} } ) საფუძველი ( { vect {c} _ {1}, vect {c} _ {2}, წერტილები, vect {c} _ {k}, vect {c} _ {k + 1} , წერტილები, vect {c} _ {n} } ) ( RR ^ n ). შემდეგ მატრიცა (A = leftB start {array} {ccccccc} vect {c} _ {1} & vect {c} _ {2} & წერტილები & vect {c} _ {k} & vect {c} _ {k + 1} & წერტილები & vect {c} _ {n} end {array} rightB ) ამ საფუძველზე, რადგან მისი სვეტები არის (n ჯერ n ) მატრიცა და ის შექცევადია თეორემის მიერ [thm: 014205].

019525 მოდით, (U ) და (W ) იყოს სასრული განზომილებიანი სივრცის ქვე-სივრცე (V ).

  1. თუ (U subseteq W ), მაშინ ( func {dim} U leq func {dim} W ).

  2. თუ (U subseteq W ) და ( func {dim} U = func {dim} W ), მაშინ (U = W ).

მას შემდეგ, რაც (W ) სასრული განზომილებიანია, (1) შემდეგ მოდის (V = W ) თეორემის (3) ნაწილში [thm: 019430]. ახლა ჩავთვალოთ ( func {dim} U = func {dim} W = n ) და მოდით, (B ) იყოს საფუძველი (U ). მაშინ (B ) არის დამოუკიდებელი სიმრავლე (W ) - ში. თუ (U neq W ), მაშინ ( func {span} B neq W ), ასე რომ (B ) შეიძლება გავრცელდეს (n + 1 ) ვექტორების დამოუკიდებელ ნაკრებში ( W ) ლემას მიერ [lem: 019357]. ეს ეწინააღმდეგება ფუნდამენტურ თეორემას (თეორემა [thm: 018746]), რადგან (W ) გაშლილია ( func {dim} W = n ) ვექტორებით. მაშასადამე (U = W ), დამადასტურებელი (2).

თეორემა [thm: 019525] ძალიან სასარგებლოა. ეს ილუსტრირებულია მაგალითში [exa: 014418] ( RR ^ 2 ) და ( RR ^ 3 ); აქ არის კიდევ ერთი მაგალითი.

019539 თუ (a ) რიცხვია, მოდით (W ) აღვნიშნოთ ყველა მრავალწევრის ქვე-სივრცე ( vectspace {P} _ {n} ), რომელსაც აქვს (a ) ძირეული: [ W = {p (x) mid p (x) in vectspace {P} _n mbox {and} p (a) = 0 } ] აჩვენეთ, რომ ( {(x - a), ( x - ა) ^ {2}, წერტილები, (x - ა) ^ {n} } ) არის საფუძველი (W ).

ჯერ დააკვირდით, რომ ((x - ა), (x - ა) ^ 2, წერტილები, (x - ა) ^ n ) წევრები არიან (W ) და ისინი დამოუკიდებლები არიან, რადგან მათ აქვთ მკაფიო ხარისხები (მაგალითი [exa: 018606]). დაწერეთ [U = func {span} {(x - ა), (x - ა) ^ 2, წერტილები, (x - ა) ^ n } ] შემდეგ გვაქვს (U subseteq W subseteq vectspace {P} _ {n} ), ( func {dim} U = n ) და ( func {dim} vectspace {P} _ {n} = n + 1 ). მაშასადამე (n leq func {dim} W leq n + 1 ) თეორემის მიერ [thm: 019525]. რადგან ( func {dim} W ) მთელი რიცხვია, უნდა გვქონდეს ( func {dim} W = n ) ან ( func {dim} W = n + 1 ). შემდეგ კი (W = U ) ან (W = vectspace {P} _ {n} ), ისევ თეორემის მიერ [thm: 019525]. იმის გამო, რომ (W neq vectspace {P} _ {n} ), შესაბამისად, ამას მოჰყვება (W = U ), როგორც საჭიროა.

ვექტორების ერთობლიობას ეწოდება დამოკიდებული თუ ის არის არა დამოუკიდებელი, ეს იმ შემთხვევაში, თუ რაიმე არატრიული ხაზოვანი კომბინაცია გაქრება. შემდეგი შედეგი არის დამოკიდებულების მოსახერხებელი ტესტი.

დამოკიდებული Lemma019559 კომპლექტი ვექტორების ნაკრები ვექტორული სივრცე V დამოკიდებულია მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ზოგიერთი ვექტორი (D ) არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

მოდით, ( vect {v} _ {2} ) (ვთქვათ) იყოს დანარჩენი ხაზოვანი კომბინაცია: ( vect {v} _ {2} = s_ {1} vect {v} _ {1} + s_ {3} vect {v} _ {3} + წერტილები + s_ {k} vect {v} _ {k} ). შემდეგ [s_ {1} vect {v} _ {1} + (-1) vect {v} _ {2} + s_ {3} vect {v} _ {3} + წერტილები + s_ { k} vect {v} _ {k} = vect {0} ] არატრივიალური ხაზოვანი კომბინაციაა, რომელიც ქრება, ამიტომ (D ) დამოკიდებულია. პირიქით, თუ (D ) არის დამოკიდებული, მოდით (t_ {1} vect {v} _ {1} + t_ {2} vect {v} _ {2} + წერტილები + t_ {k} vect {v} _ {k} = vect {0} ) სადაც ზოგიერთი კოეფიციენტი არ არის ნულოვანი. თუ (ვთქვათ) (t_ {2} neq 0 ), მაშინ ( vect {v} _2 = - frac {t_1} {t_2} vect {v} _1 - frac {t_3} {t_2} vect {v} _3 - წერტილები - frac {t_k} {t_2} vect {v} _k ) არის სხვების ხაზოვანი კომბინაცია.

ლემა [lem: 019357] იძლევა საშუალებას, გაზარდოს დამოუკიდებელი სიმრავლეები ბაზაზე; ამის საპირისპიროდ, ლემა [lem: 019559] გვიჩვენებს, რომ დაფარვის კომპლექტი შეიძლება შემცირდეს საფუძვლად.

019593 მოდით (V ) იყოს სასრული განზომილებიანი ვექტორული სივრცე. / V () =

მას შემდეგ, რაც (V ) არის სასრული განზომილებიანი, მას აქვს სასრული გასვლის კომპლექტი (S ). (S ) - ში მოცემული ყველა გასწორების ნაკრებიდან აირჩიეთ (S_ {0} ) ვექტორების ყველაზე მცირე რაოდენობა. საკმარისია იმის ჩვენება, რომ (S_ {0} ) დამოუკიდებელია (მაშინ (S_ {0} ) არის თეორემის დამადასტურებელი საფუძველი). დავუშვათ, რომ პირიქით, (S_ {0} ) არ არის დამოუკიდებელი. შემდეგ, ლემას მიერ [lem: 019559], ზოგიერთი ვექტორი ( vect {u} in S_ {0} ) არის სიმრავლის კომბინაცია (S_ {1} = S_ {0} setminus { ვექტორი {u} } ) ვექტორებში (S_ {0} ) გარდა ( vect {u} ). აქედან გამომდინარეობს, რომ ( func {span} S_ {0} = func {span} S_ {1} ), ანუ (V = func {span} S_ {1} ). მაგრამ (S_ {1} ) - ს ნაკლები ელემენტები აქვს, ვიდრე (S_ {0} ), ამიტომ ეს ეწინააღმდეგება (S_ {0} ) - ის არჩევანს. შესაბამისად, (S_ {0} ) დამოუკიდებელია.

გაითვალისწინეთ, რომ თეორემა [thm: 019430], თეორემა [thm: 019593] ასრულებს დაპირებული მტკიცებულების თეორემას [thm: 014407] საქმისთვის (V = RR ^ n ).

019616 იპოვნეთ ( vectspace {P} _ {3} ) საფუძველი spanning კომპლექტში (S = {1, x + x ^ {2}, 2x - 3x ^ {2}, 1 + 3x - 2x ^ {2}, x ^ {3} } ).

მას შემდეგ, რაც ( func {dim} vectspace {P} _ {3} = 4 ), უნდა გამოვრიცხოთ ერთი პოლინომი (S ) - დან. ეს არ შეიძლება იყოს (x ^ {3} ), რადგან (S ) დანარჩენი span შეიცავს ( vectspace {P} _ {2} ). მაგრამ (1 + 3x - 2x ^ {2} ) აღმოფხვრა საფუძველს ტოვებს (გადაამოწმეთ). გაითვალისწინეთ, რომ (1 + 3x - 2x ^ {2} ) არის პირველი სამი მრავალწევრის ჯამი (S ) - ში.

[სასარგებლო: 019430] და [thm: 019593] თეორემებს სხვა სასარგებლო შედეგები მოაქვს.

019633 მოდით, იყოს (V ) ვექტორული სივრცე ( func {dim} V = n ) და ვთქვათ (S ) არის ზუსტად (n ) ვექტორების ნაკრები (V ). მაშინ (S ) დამოუკიდებელია, თუ მხოლოდ მაშინ, თუ (S ) გაშლის (V ).

ჯერ ჩათვალეთ, რომ (S ) დამოუკიდებელია. თეორემის მიერ [thm: 019430], (S ) შეიცავს (B ) - ის საფუძველს (V ). მაშასადამე, (| S | = n = | B | ) ასე რომ, ვინაიდან (S subseteq B ), ეს გამომდინარეობს, რომ (S = B ). კერძოდ (S ) მოიცავს (V ).

პირიქით, ჩათვალეთ, რომ (S ) მოიცავს (V ), ასე რომ (S ) შეიცავს საფუძველს (B ) თეორემის მიერ [thm: 019593]. ისევ (| S | = n = | B | ) ასე რომ, მას შემდეგ, რაც (S supseteq B ), შემდეგნაირად მოყვება ამას (S = B ). აქედან გამომდინარე, (S ) დამოუკიდებელია.

ერთი დამოუკიდებლობის ან მასშტაბის დადგენა ხშირად უფრო ადვილია, ვიდრე მეორე, როდესაც აჩვენებს, რომ ვექტორების ნაკრები საფუძველია. მაგალითად, თუ (V = RR ^ n ) ადვილია შეამოწმოთ არის თუ არა ორთოგონალური ( RR ^ n ) ( RR ^ n ) ქვეჯგუფის, მაგრამ დამოუკიდებლობის შემოწმება შეიძლება დამღლელი იყოს. აქ კიდევ სამი მაგალითია.

019643 განვიხილოთ მრავალწევრების (S = {p_ {0} (x), p_ {1} (x), წერტილები, p_ {n} (x) } ) ( vectspace {P}) _ {n} ). თუ ( func {deg} p_ {k} (x) = k ) თითოეული (k ), აჩვენეთ, რომ (S ) წარმოადგენს ( vectspace {P} _ {n} ) საფუძველს )

სიმრავლე (S ) დამოუკიდებელია - ხარისხები მკაფიოა - იხილეთ მაგალითი [exa: 018606]. მაშასადამე, (S ) არის თეორიის [thm: 019633] მიერ ( vectspace {P} _ {n} ) საფუძველი, რადგან ( func {dim} vectspace {P} _ {n} = n + 1 ).

019657 მოდით (V ) აღვნიშნოთ ყველა სიმეტრიული (2 ჯერ 2 ) მატრიცების სივრცე. იპოვნეთ (V ) - ის საფუძველი, რომელიც შექცევადი მატრიცებისგან შედგება.

ჩვენ ვიცით, რომ ( func {dim} V = 3 ) (მაგალითი [exa: 018930]), ასე რომ, საჭიროა სამი ინვერსიული, სიმეტრიული მატრიცების ნაკრები, რომლებიც (თეორემის [თმ: 019633] გამოყენებით) ან დამოუკიდებელია ან გაშლის (V ). დაყენება & -1 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} rightB right } ) დამოუკიდებელია (გადამოწმება) და ასევე საჭირო ტიპის საფუძველი.

019664 მოდით (A ) იყოს ნებისმიერი (n ჯერ n ) მატრიცა. აჩვენეთ, რომ არსებობს (n ^ {2} + 1 ) მასშტაბები (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, წერტილები, a_ {n ^ {2}} ) ყველა ნულოვანია, ისეთი, რომ [a_0I + a_1A + a_2A ^ 2 + წერტილები + a_ {n ^ 2} A ^ {n ^ 2} = 0 ] სადაც (I ) აღნიშნავს (n ჯერ n ) პირადობის მატრიცას .

ყველა (n ჯერ n ) მატრიცების ( vectspace {M} _ {nn} ) აქვს განზომილება (n ^ {2} ) მაგალითისთვის [exa: 018880]. მაშასადამე, (n ^ {2} + 1 ) მატრიცა (I, A, A ^ {2}, წერტილები, A ^ {n ^ {2}} ) არ შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი თეორემის მიერ [thm: 019633] , ასე რომ nontrivial ხაზოვანი კომბინაცია ქრება. ეს არის სასურველი დასკვნა.

[მაგალითად: [exa: 019664] შედეგი შეიძლება დაიწეროს როგორც (f (A) = 0 ), სადაც (f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + წერტილები + a_ {n ^ {2}} x ^ {n ^ {2}} ). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, (A ) აკმაყოფილებს არაზულოვანი მრავალწევრის (f (x) ) ხარისხს მაქსიმუმ (n ^ {2} ). სინამდვილეში ჩვენ ვიცით, რომ (A ) აკმაყოფილებს ხარისხის ნულოვანი პოლინომიას (n ) (ეს არის კალეი-ჰამილტონის თეორემა - იხ. თეორემა [thm: 025927]), მაგრამ ხსნარის მოკლედ მოცემულია მაგალითში [exa: 019616] ამ მეთოდების სიმძლავრის მაჩვენებელია.

თუ (U ) და (W ) ვექტორული სივრცის ქვე-სივრცეა (V ), საინტერესოა ორი დაკავშირებული ქვე-სივრცე, მათი ჯამი (U + W ) და მათი კვეთა (U cap W ), განისაზღვრება [ "ამომბეჭდავი საშუალებით)) } vect {w} in W } U cap W & = { vect {v} in V mid vect {v} in U mbox {and} vect {v} W } end {შეესაბამება} ] რუტინულია იმის გადამოწმება, რომ ეს ნამდვილად არის (V ) ქვე-სივრცე, რომ (U cap W ) შეიცავს ორივე (U ) და (W ) და ეს (U + W ) შეიცავს როგორც (U ) და (W ). ამ ნაწილს დავასრულებთ სასარგებლო ფაქტით ამ სივრცეების ზომების შესახებ. მტკიცებულება კარგი ილუსტრაციაა იმისა, თუ როგორ გამოიყენება ამ სექციაში მოცემული თეორემები.

019692 დავუშვათ, რომ (U ) და (W ) არის ვექტორული სივრცის სასრული განზომილებიანი ქვე-სივრცე (V ). შემდეგ (U + W ) არის სასრული განზომილებიანი და [ func {dim} (U + W) = func {dim} U + func {dim} W - func {dim} (U cap W) . ]

მას შემდეგ, რაც (U cap W subseteq U ), მას აქვს სასრული საფუძველი, ვთქვათ ( { vect {x} _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d} } ) . გააფართოვეთ იგი ბაზაზე ( { vect {x} _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d}, vect {u} _ {1}, წერტილები, vect {u} თეორემის მიერ [თმ .: 019430] _ს ({U}) _ ის {{}}}}. ანალოგიურად ვრცელდება ( { vect {x} _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d} } ) ბაზაზე ( { vect {x} _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d}, vect {w} _ {1}, წერტილები, vect {w} _ {p} } ) of (W ). შემდეგ [U + W = func {span} { vect {x} _1, წერტილები, vect {x} _d, vect {u} _1, წერტილები, vect {u} _m, vect {w} _1, წერტილები, vect {w} _p } ] როგორც მკითხველს შეუძლია დაადასტუროს, ასე რომ (U + W ) სასრული განზომილებიანია. დანარჩენებისთვის საკმარისია ამის ჩვენება
( { vect {x} _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d}, vect {u} _ {1}, წერტილები, vect {u} _ {m}, vect {w} _ {1}, წერტილები, vect {w} _ {p} } ) დამოუკიდებელია (გადაამოწმეთ). დავუშვათ, რომ [ label {eq: thm6_4_5proof} r_1 vect {x} _1 + წერტილები + r_d vect {x} _d + s_1 vect {u} _1 + წერტილები + s_m vect {u} _m + t_1 vect {w} _1 + წერტილები + t_p vect {w} _p = vect {0} ] სადაც (r_ {i} ), (s_ {j} ) და (t_ { კ} ) სკალერებია. შემდეგ [r_1 vect {x} _1 + წერტილები + r_d ვექტები {x} _d + s_1 vect {u} _1 + წერტილები + s_m vect {u} _m = - (t_1 vect {w} _1 + წერტილები + t_p vect {w} _p) ] არის (U ) (მარცხენა მხარეს) და ასევე (W ) (მარჯვენა მხარე) და ასევე არის (U cap W ) . მაშასადამე, ((t_ {1} vect {w} _ {1} + წერტილები + t_ {p} vect {w} _ {p}) ) არის წრფივი კომბინაცია ( { vect {x) } _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d} } ), ასე რომ (t_ {1} = წერტილები = t_ {p} = 0 ), რადგან ( { vect {x} _ {1}, წერტილები, vect {x} _ {d}, vect {w} _ {1}, წერტილები, vect {w} _ {p} } ) დამოუკიდებელია. ანალოგიურად, (s_ {1} = წერტილები = s_ {m} = 0 ), ასე რომ ([eq: thm6_4_5proof]) ხდება (r_ {1} vect {x} _ {1} + წერტილები + r_ {d} vect {x} _ {d} = vect {0} ). შესაბამისად, (r_ {1} = წერტილები = r_ {d} = 0 ), როგორც საჭიროა.

თეორემა [thm: 019692] განსაკუთრებით საინტერესოა, თუ (U cap W = { vect {0} } ). შემდეგ არის არა ვექტორები ( vect {x} _ {i} ) ზემოთ მოცემულ მტკიცებულებაში და არგუმენტი გვიჩვენებს, რომ თუ ( { vect {u} _ {1}, წერტილები, vect {u} _ {m } } ) და ( { vect {w} _ {1}, წერტილები, vect {w} _ {p} } ) არის (U ) და (W ) ბაზები შესაბამისად, შემდეგ ( { vect {u} _ {1}, წერტილები, vect {u} _ {m}, vect {w} _ {1}, წერტილები, vect {w} _ { p} } ) არის (U ) + (W ) - ის საფუძველი. ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ (U + W ) არის a პირდაპირი თანხა (დაწერილი (U oplus W )); ჩვენ ამას ვუბრუნდებით თავში [თავ: 9].

სავარჯიშოები 1-ისთვის

გადაწყვეტილებები

2

თითოეულ შემთხვევაში მოძებნეთ საფუძველი (V ) - ს, რომელიც მოიცავს ვექტორს ( vect {v} ).

  1. (V = RR ^ 3 ), ( vect {v} = (1, -1, 1) )

  2. (V = RR ^ 3 ), ( vect {v} = (0, 1, 1) )

  3. (V = vectspace {M} _ {22} ), ( vect {v} = leftB start {array} {rr} 1 & 1 1 & 1 end {array} rightB )

  4. (V = vectspace {P} _ {2} ), ( vect {v} = x ^ {2} - x + 1 )

  1. ({(0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)})

  2. ( {x ^ {2} - x + 1, 1, x } )

თითოეულ შემთხვევაში, მოძებნეთ საფუძველი (V ) მოცემულ ვექტორებს შორის.

  1. (V = RR ^ 3 ), ( {(1, 1, -1), (2, 0, 1), (-1, 1, -2), (1, 2, 1) } )

  2. (V = vectspace {P} _ {2} ), ( {x ^ {2} + 3, x + 2, x ^ {2} - 2x -1, x ^ {2} + x } )

  1. ნებისმიერი სამი გარდა (( {x ^ {2} + 3, x + 2, x ^ {2} - 2x - 1 } )

თითოეულ შემთხვევაში იპოვნეთ (V ) - ის საფუძველი, რომელიც შეიცავს ( vect {v} ) და ( vect {w} ).

  1. (V = RR ^ 4 ), ( vect {v} = (1, -1, 1, -1) ), ( vect {w} = (0, 1, 0, 1) )

  2. (V = RR ^ 4 ), ( vect {v} = (0, 0, 1, 1) ), ( vect {w} = (1, 1, 1, 1) )

  3. (V = vectspace {M} _ {22} ), ( vect {v} = leftB start {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} rightB ), ( vect {w} = leftB start {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} rightB )

  4. (V = vectspace {P} _ {3} ), ( vect {v} = x ^ {2} + 1 ), ( vect {w} = x ^ {2} + x )

  1. დაამატეთ ((0, 1, 0, 0) ) და ((0, 0, 1, 0) ).

  2. დაამატეთ (1 ) და (x ^ {3} ).

  1. თუ (z ) არ არის ნამდვილი რიცხვი, აჩვენეთ, რომ ( {z, z ^ {2} } ) წარმოადგენს ყველა რთული რიცხვის რეალური ვექტორული სივრცის ( mathbb {C} ) საფუძველს. .

  2. თუ (z ) არც რეალურია და არც სუფთა წარმოსახვითი, აჩვენეთ, რომ ( {z, overline {z} } ) წარმოადგენს საფუძველს ( mathbb {C} ).

  1. თუ (z = a + bi ), მაშინ (a neq 0 ) და (b neq 0 ). თუ (rz + s overline {z} = 0 ), მაშინ ((r + s) a = 0 ) და ((r - s) b = 0 ). ეს ნიშნავს, რომ (r + s = 0 = r - s ), ასე რომ (r = s = 0 ). ამრიგად, ( {z, overline {z} } ) დამოუკიდებელია; ეს საფუძველია, რადგან ( func {dim} mathbb {C} = 2 ).

თითოეულ შემთხვევაში გამოიყენეთ თეორემა [thm: 019633] იმის დასადგენად, არის თუ არა (S ) საფუძველი (V ).

  1. (V = vectspace {M} _ {22} );
    (S = left { leftB start {array} {rr} 1 & 1 1 & 1 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 1 1 & 1 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 0 1 & 1 end {array} rightB, leftB start {array} {rr} 0 & 0 0 & 1 end {array} rightB right } )

  2. (V = vectspace {P} _ {3} ); (S = {2x ^ {2}, 1 + x, 3, 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} } )

  1. (S ) პოლინომებს აქვთ მკაფიო ხარისხები.

  1. იპოვნეთ ( vectspace {M} _ {22} ) საფუძველი, რომელიც შედგება მატრიზებისაგან თვისებით, რომელიც (A ^ {2} = A ).

  2. იპოვნეთ ( vectspace {P} _ {3} ) - ის საფუძველი, რომელიც შედგება მრავალწევრებისაგან, რომელთა კოეფიციენტებია = (4 ). რა მოხდება, თუ ისინი ჯამს (0 )?

  1. ( {4, 4x, 4x ^ {2}, 4x ^ {3} } ) არის ( vectspace {P} _ {3} ) - ის ასეთი საფუძველი. თუმცა, არსებობს არა ( vectspace {P} _ {3} ) - ის საფუძველი, რომელიც შედგება მრავალწევრებისგან, რომლებსაც აქვთ თვისება, რომლის კოეფიციენტები ნულს უდრის. თუ ასეთი საფუძველი არსებობს, მაშინ ( vectspace {P} _ {3} ) ყველა პოლინომიას ექნება ეს თვისება (რადგან ასეთი მრავალწევრების ჯამები და სკალარული ჯერადები ერთნაირი თვისება აქვთ).

თუ ( { vect {u}, vect {v}, vect {w} } ) წარმოადგენს საფუძველს (V ), განსაზღვრეთ რომელია ფუძე.

  1. ( { vect {u} + vect {v}, vect {u} + vect {w}, vect {v} + vect {w} } )

  2. ( {2 vect {u} + vect {v} + 3 vect {w}, 3 vect {u} + vect {v} - vect {w}, vect {u} - 4 vect {w} } )

  3. ( { vect {u}, vect {u} + vect {v} + vect {w} } )

  4. ( { vect {u}, vect {u} + vect {w}, vect {u} - vect {w}, vect {v} + vect {w} } )

  1. არ არის საფუძველი.

  2. არ არის საფუძველი.

  1. შეიძლება ორი ვექტორი გაშლილიყო ( RR ^ 3 )? შეიძლება ისინი ხაზობრივად დამოუკიდებლები იყვნენ? ახსენით.

  2. შეიძლება ოთხი ვექტორი გაშლილიყო ( RR ^ 3 )? შეიძლება ისინი ხაზობრივად დამოუკიდებლები იყვნენ? ახსენით.

  1. დიახ არა

აჩვენეთ, რომ სასრული განზომილებიანი ვექტორული სივრცის ნებისმიერი არაზულოვანი ვექტორი საფუძვლის ნაწილია.

თუ (A ) არის კვადრატული მატრიცა, აჩვენეთ, რომ ( func {det} A = 0 ) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე სტრიქონი წარმოადგენს სხვათა ხაზოვან კომბინაციას.

( func {det} A = 0 ) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (A ) არ არის ინვერსიული; თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (A ) სტრიქონები დამოკიდებულია (თეორემა [thm: 014205]); თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე სტრიქონი წარმოადგენს სხვების ხაზოვან კომბინაციას (ლემა [lem: 019415]).

მოდით (D ), (I ) და (X ) აღვნიშნოთ ვექტორების სასრული, არაცარიელი ნაკრები ვექტორულ სივრცეში (V ). ჩათვალეთ, რომ (D ) არის დამოკიდებული და (I ) დამოუკიდებელია. თითოეულ შემთხვევაში უპასუხეთ დიახ ან არა და დაიცავით თქვენი პასუხი.

  1. თუ (X supseteq D ), უნდა იყოს (X ) დამოკიდებული?

  2. თუ (X subseteq D ), უნდა იყოს (X ) დამოკიდებული?

  3. თუ (X supseteq I ), უნდა იყოს (X ) დამოუკიდებელი?

  4. თუ (X subseteq I ), (X ) დამოუკიდებელი უნდა იყოს?

  1. No. ( {(0, 1), (1, 0) } subseteq {(0, 1), (1, 0), (1, 1) } ).

  2. დიახ იხილეთ სავარჯიშო [მაგ .: 6_3_15].

თუ (U ) და (W ) ქვე-სივრცეა (V ) და ( func {dim} U = 2 ), აჩვენეთ ეს ან (U subseteq W ) ან ( func {dim} (U cap W) leq 1 ).

მოდით, (A ) იყოს ნულოვანი (2 ჯერ 2 ) მატრიცა და დავწეროთ (U = {X mbox {in} vectspace {M} _ {22} mid XA = AX } ) . აჩვენეთ, რომ ( func {dim} U geq 2 ). [მინიშნება: (I ) და (A ) არის (U ).]

თუ (U subseteq RR ^ 2 ) ქვე-სივრცეა, აჩვენეთ, რომ (U = { vect {0} } ), (U = RR ^ 2 ), ან (U ) არის ხაზი წარმოშობის გავლით.

მოცემულია ( vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, vect {v} _ {3}, წერტილები, vect {v} _ {k} ) და ( vect {v} ), მოდით (U = func {span} { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k} } ) და (W = func {span} { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k }, vect {v} } ). აჩვენეთ, რომ ან ( func {dim} W = func {dim} U ) ან ( func {dim} W = 1 + func {dim} U ).

თუ ( vect {v} U ) მაშინ (W = U ); თუ ( vect {v} notin U ) მაშინ ( { vect {v} _ {1}, vect {v} _ {2}, წერტილები, vect {v} _ {k} , vect {v} } ) არის დამოუკიდებელი ლემას მიერ (W ) - ის საფუძველი.

დავუშვათ, რომ (U ) არის ( vectspace {P} _ {1} ), (U neq {0 } ) და (U neq vectspace {P} _ {{) 1} ). აჩვენეთ, რომ ან (U = RR ) ან (U = RR (a + x) ) ზოგიერთისთვის (a ) ( RR ).

მოდით (U ) ვიყოთ (V ) ქვე-სივრცე და ვივარაუდოთ ( func {dim} V = 4 ) და ( func {dim} U = 2 ). ( (V )) ყოველი საფუძველი გამომდინარეობს ((ორი) ვექტორის დამატებით (U ) რომელიმე საფუძველს? დაიცავი შენი პასუხი.

მოდით (U ) და (W ) ვექტორული სივრცის ქვე-სივრცეები იყოს (V ).

  1. თუ ( func {dim} V = 3 ), ( func {dim} U = func {dim} W = 2 ) და (U neq W ), აჩვენეთ ( func {dim} (U cap W) = 1 ).

  2. გეომეტრიულად ინტერპრეტაცია, თუ (V = RR ^ 3 ).

  1. ორი განსხვავებული თვითმფრინავი წარმოშობის ( (U ) და (W )) გავლით ხაზში ხვდება წარმოშობის გავლით ((U cap W) ).

მოდით (U subseteq W ) იყოს (V ) ქვე-სივრცე ( func {dim} U = k ) და ( func {dim} W = m ) და სადაც (k

მოდით, იყოს (B = { vect {v} _ {1}, წერტილები, vect {v} _ {n} } ) მაქსიმალური დამოუკიდებელი კომპლექტი ვექტორულ სივრცეში (V ). ანუ, (n ) ვექტორებზე მეტის ”(S ) მეტი სიმრავლე არ არის დამოუკიდებელი. აჩვენეთ, რომ (B ) არის საფუძველი (V ).

მოდით, (B = { vect {v} _ {1}, წერტილები, vect {v} _ {n} } ) იყოს მინიმალური გასაღების ნაკრები ვექტორული სივრცისთვის (V ). ეს არის ის, რომ (V ) ველის ვენაზე ნაკლები ვერ იქნება გაშლილი. აჩვენეთ, რომ (B ) არის საფუძველი (V ).

  1. მოდით (p (x) ) და (q (x) ) მოთავსდეს ( vectspace {P} _ {1} ) და ჩავთვალოთ, რომ (p (1) neq 0 ), ( q (2) neq 0 ) და (p (2) = 0 = q (1) ). აჩვენეთ, რომ ( {p (x), q (x) } ) არის ( vectspace {P} _ {1} ) - ის საფუძველი. [მინიშნება: თუ (rp (x) + sq (x) = 0 ), შეაფასეთ აქ ((x = 1 ), (x = 2 ).)

  2. მოდით, (B = {p_ {0} (x), p_ {1} (x), წერტილები, p_ {n} (x) } ) იყოს მრავალწევრების ნაკრები ( vectspace {P}) _ {n} ). ჩათვალეთ, რომ არსებობს ციფრები (a_ {0}, a_ {1}, წერტილები, a_ {n} ) ისეთი, რომ (p_ {i} (a_ {i}) neq 0 ) თითოეული (i ) მაგრამ (p_ {i} (a_ {j}) = 0 ) თუ (i ) განსხვავებულია (j ) - ისგან. აჩვენეთ, რომ (B ) არის საფუძველი ( vectspace {P} _ {n} ).

მოდით, იყოს ((V ) ნამდვილი რიცხვების ყველა უსასრულო თანმიმდევრობის სიმრავლე) ((a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, წერტილები) ). განისაზღვროს დამატება და სკალარული გამრავლება [(a_ {0}, a_ {1}, წერტილები) + (b_ {0}, b_ {1}, წერტილებით) = (a_ {0} + b_ {0}, a_ {1} + b_ {1}, წერტილები) ] და [r (a_ {0}, a_ {1}, წერტილები) = (ra_ {0}, {ra} _ {1}, წერტილები) ]

  1. აჩვენეთ, რომ (V ) არის ვექტორული სივრცე.

  2. აჩვენეთ, რომ (V ) არ არის სასრული განზომილებიანი.

  3. [მათთვის, ვისაც აქვს გარკვეული გამოთვლა.] აჩვენეთ, რომ კონვერგენული მიმდევრობის ნაკრები (ანუ, ( displaystyle lim_ {n to infty} a_ {n} ) არსებობს) არის ქვე-სივრცე, ასევე უსასრულო განზომილების.

  1. ნაკრები ( {(1, 0, 0, 0, წერტილები), (0, 1, 0, 0, 0, წერტილები), )
    ((0, 0, 1, 0, 0, წერტილები), წერტილები } ) შეიცავს თვითნებური ზომის დამოუკიდებელ ქვეჯგუფებს.

მოდით (A ) იყოს (n ჯერ n ) რანგის მატრიცა (r ). თუ (U = {X mbox {in} vectspace {M} _ {nn} mid AX = 0 } ), აჩვენეთ ( func {dim} U = n (n - r) ) [მინიშნება: ივარჯიშეთ [მაგ: 6_3_34].]

მოდით, (U ) და (W ) ვიყოთ (V ) ქვე-სივრცეში.

  1. აჩვენეთ, რომ (U + W ) არის (V ) ქვე-სივრცე, რომელიც შეიცავს როგორც (U ) და (W ).

  2. აჩვენეთ, რომ ( func {span} { vect {u}, vect {w} } = RR vect {u} + RR vect {w} ) ნებისმიერი ვექტორისთვის ( vect { u} ) და ( vect {w} ).

  3. აჩვენეთ, რომ [ {{{Destination} & Func {span} { vect {u} _ {1}, წერტილები, vect {u} _ {m}, vect {w} _ {1} წერტილები, vect {w} _ {n} } & = func {span} { vect {u} _ {1}, წერტილები, vect {u} _ {m} } + func {span} { vect {w} _ {1}, წერტილები, vect {w} _ {n} } დასრულება {გასწორებული} ] ნებისმიერი ვექტორისთვის ( vect {u} _ { i} ) (U ) და ( vect {w} _ {j} ) in (W ).

  1. ( RR vect {u} + RR vect {w} = {r vect {u} + s vect {w} mid r, s mbox {in} RR } = func {span} { vect {u}, vect {w} } )

თუ (A ) და (B ) (m ჯერ n ) მატრიცაა, აჩვენეთ ( func {rank} (A + B) leq func {rank} A + func {წოდება } B ). [მინიშნება: თუ (U ) და (V ) შესაბამისად არის (A ) და (B ) სვეტის სივრცეები, აჩვენეთ, რომ (A + B ) სვეტის სივრცე შეიცავს ( U + V ) და ეს ( func {dim} (U + V) leq func {dim} U + func {dim} V ). (იხილეთ თეორემა [thm: 019692].)]