სტატიები

17.2: არაჰომოგენური ხაზოვანი განტოლებები


ახლა განვიხილავთ ფორმის მეორე რიგის განტოლებებს (a ddot y + b dot y + cy = f (t) ), (a ), (b ) და (c ) მუდმივით . ამრიგად, ჩვენ მხოლოდ მაგალითებს განვიხილავთ, რომელშიც (c not = 0 ).

დავუშვათ, რომ (y_1 (t) ) და (y_2 (t) ) გამოსავალია (a ddot y + b dot y + cy = f (t) ) და გაითვალისწინეთ ფუნქცია (h = y_1-y_2 ). ჩვენ ამ ფუნქციას ვცვლით დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარეს და ვამარტივებთ:

[a (y_1-y_2) '' + b (y_1-y_2) '+ c (y_1-y_2) = ay_1' '+ by_1' + cy_1 - (ay_2 '+ by_2' + cy_2) = f (t) -f (t) = 0. ]

ასე რომ, (h ) არის ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა (a ddot y + b dot y + cy = 0 ). მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიცით, როგორ ვიპოვოთ ყველა ასეთი (h), მაშინ მხოლოდ ერთი კონკრეტული გამოსავალით (y_2 ) შეგვიძლია გამოვხატოთ ყველა შესაძლო ამოხსნა (y_1 ), კერძოდ, (y_1 = h + y_2 ), სადაც ახლა (თ ) არის ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა. რა თქმა უნდა, ზუსტად ასე მივუახლოვდით პირველი რიგის ხაზოვან განტოლებას.

ამ დაკვირვების გამოსაყენებლად გვჭირდება მეთოდი, რომ ვიპოვოთ ერთი გამოსავალი (y_2 ). აღმოჩნდა, რომ ეს გარკვეულწილად რთულია, ვიდრე პირველი რიგის შემთხვევა, მაგრამ თუ (f (t) ) გარკვეული მარტივი ფორმაა, ჩვენ შეგვიძლია გამოსავალი ვიპოვოთ გაურკვეველი კოეფიციენტების მეთოდი, ზოგჯერ უფრო ახირებულად ეწოდება გონივრული გამოცნობის მეთოდი.

მაგალითი ( PageIndex {1} ):

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ( ddot y- dot y-6y = 18t ^ 2 + 5 ).

გამოსავალი

ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნაა (Ae ^ {3t} + Be ^ {- 2t} ). ჩვენ ვხვდებით, რომ არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს (f (t) ), კერძოდ, კვადრატული (y = at ^ 2 + bt + c ). ამ ვარაუდის ჩანაცვლება ჩვენს მიერ მიღებულ დიფერენციალურ განტოლებაში

[ ddot y- dot y-6y = 2a- (2at + b) -6 (at ^ 2 + bt + c) = -6at ^ 2 + (- 2a-6b) t + (2a-b-6c) . ]

ჩვენ გვინდა, რომ ეს ტოლი იყოს (18t ^ 2 + 5 ), ამიტომ გვჭირდება

[ eqalign {-6a & = 18 cr -2a-6b & = 0 cr 2a-b-6c & = 5 cr} ]

ეს არის სამი განტოლების სისტემა სამ უცნობში და ძნელი ამოხსნა არ არის: (a = -3 ), (b = 1 ), (c = -2 ). ამრიგად, დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაა (Ae ^ {3t} + Be ^ {- 2t} -3t ^ 2 + t-2 ).

ასე რომ, "გონივრული ვარაუდი" არის იგივე ფორმის ფუნქცია, როგორც (f (t) ), მაგრამ განუსაზღვრელი (ან უკეთესი, ჯერ კიდევ არ არის დადგენილი) კოეფიციენტები. ეს მუშაობს ყოველთვის, როდესაც (f (t) ) მრავალხმიანობა.

მაგალითი ( PageIndex {2} ):

განვიხილოთ საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა (m ddot y + ky = -mg ), (y (0) = 2 ), ( dot y (0) = 50 ). მარცხენა მხარე წარმოადგენს მასა-ზამბარის სისტემას, დემპინგის გარეშე, ანუ (b = 0 ). ერთგვაროვანი შემთხვევისგან განსხვავებით, ახლა ჩვენ განვიხილავთ მიზიდულობის გამო ძალას, (- მგ ), თუ ჩავთვლით, რომ გაზაფხული ვერტიკალურია დედამიწის ზედაპირზე, ისე რომ (g = 980 ). უფრო კონკრეტულად, ავიღოთ (m = 1 ) და (k = 100 ). ჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის (A cos (10t) + B sin (10t) ). არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნისთვის ჩვენ ვხვდებით, რომ უბრალოდ მუდმივია (y = a ), რადგან (- მგ = -980 ) არის მუდმივა. შემდეგ ( ddot y + 100y = 100a ) ასე რომ (a = -980 / 100 = -9.8 ). ამის შემდეგ სასურველი ზოგადი გამოსავალია (A cos (10t) + B sin (10t) -9.8 ). ჩვენ ვიღებთ საწყისი პირობების ჩანაცვლებას

[ eqalign {2 & = A-9.8 cr50 & = 10B cr} ]

ასე რომ, (A = 11.8 ) და (B = 5 ) და გამოსავალი არის (11.8 cos (10t) +5 sin (10t) -9.8 ).

ზოგადად, ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც (f (t) ) მსგავსი ფუნქცია აქვს წარმოებულები, რომლებიც ასევე (f (t) ) მსგავსია; აქამდე მაგალითებში, რადგან (f (t) ) იყო მრავალწევრი, ასევე იყო მისი წარმოებულები. მეთოდი იმუშავებს, თუ (f (t) ) ფორმა აქვს (p (t) e ^ { alpha t} cos ( beta t) + q (t) e ^ { alpha t} sin ( beta t) ), სადაც (p (t) ) და (q (t) ) მრავალწევრებია; როდესაც ( alpha = beta = 0 ) ეს არის უბრალოდ (p (t) ), მრავალწევრი. ყველაზე ზოგადი ფორმით არ არის მარტივი სათანადო საღი აზრის აღწერა; ჩვენ ვიცავთ რამდენიმე მაგალითს პროცესის საილუსტრაციოდ.

მაგალითი ( PageIndex {3} ):

იპოვნეთ ზოგადი გამოსავალი ( ddot y + 7 dot y + 10y = e ^ {3t} ). დამახასიათებელი განტოლებაა (r ^ 2 + 7r + 10 = (r + 5) (r + 2) ), ამიტომ ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა არის (Ae ^ {- 5t} + Be ^ {- 2t} ) არაადამიანური განტოლების განსაკუთრებული ამოხსნისთვის ვხვდებით (Ce ^ {3t} ). ჩანაცვლებას მივიღებთ

[9Ce ^ {3t} + 21Ce ^ {3t} + 10Ce ^ {3t} = e ^ {3t} 40C. ]

როდესაც (C = 1/40 ) ეს უდრის (f (t) = e ^ {3t} ), ამიტომ გამოსავალი არის (Ae ^ {- 5t} + Be ^ {- 2t} + ( 1/40) ე ^ {3 ტ} ).

მაგალითი ( PageIndex {4} ):

იპოვნეთ ზოგადი გამოსავალი ( ddot y + 7 dot y + 10y = e ^ {- 2t} ). უკანასკნელი მაგალითის შემდეგ შეიძლება გამოვიცნოთ (Ce ^ {- 2t} ), მაგრამ რადგან ეს არის ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა, ის ვერ იმუშავებს. ამის ნაცვლად ვხვდებით (Cte ^ {- 2t} ). შემდეგ

[(-2Ce ^ {- 2t} -2Ce ^ {- 2t} + 4Cte ^ {- 2t}) + 7 (Ce ^ {- 2t} -2Cte ^ {- 2t}) + 10Cte ^ {- 2t} = e ^ {- 2t} (- 3C). ]

შემდეგ (C = -1 / 3 ) და გამოსავალია (Ae ^ {- 5t} + Be ^ {- 2t} - (1/3) te ^ {- 2t} ).

ზოგადად, თუ (f (t) = e ^ {kt} ) და (k ) დამახასიათებელი განტოლების ერთ-ერთი ფესვია, მაშინ ვცვლით (Cte ^ {kt} ) ნაცვლად ( Ce ^ {kt} ). თუ (k ) დამახასიათებელი განტოლების ერთადერთი ფესვია, მაშინ (Cte ^ {kt} ) არ იმუშავებს და უნდა გამოვიცნოთ (Ct ^ 2e ^ {kt} ).

მაგალითი ( PageIndex {5} ):

იპოვნეთ ზოგადი გამოსავალი ( ddot y-6 dot y + 9y = e ^ {3t} ). დამახასიათებელი განტოლებაა (r ^ 2-6r + 9 = (r-3) ^ 2 ), ამიტომ ჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნაა (Ae ^ {3t} + Bte ^ {3t} ). გამოიცანით (Ct ^ 2e ^ {3t} ) კონკრეტული ამოხსნისთვის, მივიღებთ

[(9Ct ^ 2e ^ {3t} + 6Cte ^ {3t} + 6Cte ^ {3t} + 2Ce ^ {3t}) - 6 (3Ct ^ 2e ^ {3t} + 2Cte ^ {3t}) + 9Ct ^ 2e ^ {3t} = e ^ {3t} 2C. ]

გამოსავალი არის (Ae ^ {3t} + Bte ^ {3t} + (1/2) t ^ 2e ^ {3t} ).

სხვადასხვა ფიზიკურ სისტემაში გავრცელებულია ფორმის (f (t) ) ფორმა (a cos ( omega t) + b sin ( omega t) ).

მაგალითი ( PageIndex {6} ):

იპოვნეთ ზოგადი გამოსავალი ( ddot y + 6 dot y + 25y = cos (4t) ). დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია (- 3 pm 4i ), ამიტომ ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა არის (e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) ) . კონკრეტული ამოხსნისთვის, ვხვდებით (C cos (4t) + D sin (4t) ). ჩვეულებრივ შეცვლა:

[ eqalign {(-16C cos (4t) & + - 16D sin (4t)) + 6 (-4C sin (4t) + 4D cos (4t)) + 25 (C cos (4t) + D sin (4 ტ)) კრ
& = (24D + 9C) cos (4t) + (- 24C + 9D) sin (4t). Cr} ]

იმისათვის, რომ ეს ტოლი იყოს ( cos (4t) ) ჩვენ გვჭირდება

[ eqalign {24D + 9C & = 1 cr 9D-24C & = 0 cr} ]

რომელიც იძლევა (C = 1/73 ) და (D = 8/219 ). სრული გამოსავალი არის

[e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) + (1/73) cos (4t) + (8/219) sin (4t). ]

ფუნქცია (e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) ) არის დამსხვრეული რხევა, როგორც მაგალითად 17.5.3, ხოლო ((1/73) cos (4t) ) + (8/219) sin (4t) ) არის მარტივი დაუმორჩილებელი რხევა. როგორც (t ) იზრდება, ჯამი (e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) ) უახლოვდება ნულს, ამიტომ გამოსავალი [e ^ {- 3t} ( A cos (4t) + B sin (4t)) + (1/73) cos (4t) + (8/219) sin (4t) [უფრო და უფრო ჰგავს მარტივ რხევას ((1 / 73) cos (4t) + (8/219) sin (4t) ) --- შეამჩნიეთ, რომ საწყისი პირობები არ აქვს მნიშვნელობა ამ გრძელვადიანი ქცევისთვის. დატენიანებულ ნაწილს ეწოდება ხსნარის გარდამავალი ნაწილი, და უბრალო რხევას ეწოდება ხსნარის სტაბილური მდგომარეობა. ფიზიკური მაგალითია მასა-გაზაფხულის სისტემა. თუ მასაზე ერთადერთი ძალა გამოწვეულია ზამბარით, მაშინ სისტემის ქცევა არის დამსხვრეული რხევა. თუკი მასა შეიტანება გარე ძალა, და თუ ძალა იცვლება ფორმის ((ა კოს ( ომეგა ტ) + ბ სინ ( ომეგა ტ) ) ფუნქციის შესაბამისად, მაშინ გრძელვადიანი ქცევა იქნება მარტივი რხევა, რომელიც განისაზღვრება ზოგადი ამოხსნის სტაბილური ნაწილის ნაწილით; მასის საწყისი პოზიცია არ იქნება მნიშვნელოვანი.

როგორც ექსპონენციალური ფორმა, ასეთი მარტივი გამოსაცნობი შეიძლება არ იმუშაოს.

მაგალითი ( PageIndex {4} ):

იპოვნეთ ზოგადი გამოსავალი ( ddot y + 16y = - sin (4t) ). დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია ( pm4i ), ამიტომ ჰომოგენური განტოლების ამოხსნა არის (A cos (4t) + B sin (4t) ). რადგან ორივე ( cos (4t) ) და ( sin (4t) ) ამონახსნებია ერთგვაროვანი განტოლებისა, (C cos (4t) + D sin (4t) ) ასევე არის არ შეიძლება იყოს არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა. ამის ნაცვლად, ჩვენ ვხვდებით (Ct cos (4t) + Dt sin (4t) ). შემდეგ შეცვალეთ:

[ eqalign {(-16Ct cos (4t) & - 16D sin (4t) + 8D cos (4t) -8C sin (4t))) + 16 (Ct cos (4t) + Dt sin (4t)) cr & = 8D cos (4t) -8C sin (4t). Cr} ]

ამრიგად (C = 1/8 ), (D = 0 ) და გამოსავალია (C cos (4t) + D sin (4t) + (1/8) t cos (4t) )

ზოგადად, თუ (f (t) = a cos ( ომეგა t) + b sin ( ომეგა t) ) და ( pm ომეგა i ) დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია, მაშინ ნაცვლად (C cos ( ომეგა t) + D sin ( ომეგა t) ) ვხვდებით (Ct cos ( ომეგა t) + Dt sin ( ომეგა t) ).


განუსაზღვრელი კოეფიციენტების არაჰომოგენური მეთოდი

ამ სტრატეგიის ერთ – ერთი მთავარი ინტერესი ის არის, რომ იგი ამცირებს საკითხს მრავალწევრის მათემატიკის საკითხამდე. ცვლადზე დაფუძნებული მათემატიკა ხშირად შეიძლება მოუწესრიგებელი აღმოჩნდეს, თუმცა პრობლემების უმრავლესობისთვის ეს მოიგო & # 8217t საშინლად შემაშფოთებელი იქნება. კიდევ ერთი ღირსეული რამ ამ სისტემის შესახებ არის ის, რომ შესაბამისი შეთანხმება არაორაზროვნად იქნება საჭირო, თუმცა ვიხილავთ საპასუხო შეთანხმების შესახებ ინფორმაციას ახლა და ისევ, ამიტომ ჩვენ & # 8217 დიდხანს ვხვდებით ამასაც. ამ სისტემას ორი უხერხულობა აქვს. დასაწყისისთვის, ის იმუშავებს ნამდვილად მცირე კლასის g (t) & # 8217 წლებისთვის. G (t) ის კლასი, რომლისთვისაც ტექნიკა მუშაობს, მოიცავს უფრო ძირითადი შესაძლებლობების პროცენტს, მიუხედავად ამისა, არსებობს უამრავი შესაძლებლობები, რომელთათვისაც დაუდგენელი კოეფიციენტები მუშაობენ & # 8217. მეორე, ის დიდწილად სასარგებლოა თანმიმდევრული კოეფიციენტის დიფერენციალური მათემატიკური დებულებებისათვის.

ტექნიკა მართლაც მარტივია. ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის g (t) - ზე გადატანა და სპეკულაცია იმის თაობაზე, თუ რა ტიპის YP (t) ტოვებს კოეფიციენტს (-ებს) განუსაზღვრელი (და, შესაბამისად, სისტემის დასახელება). შეაერთეთ ვარაუდი დიფერენციალურ მათემატიკურ დებულებაში და შეამოწმეთ, შეგვიძლია თუ არა კოეფიციენტების შეფასების ფოკუსირება. იმ შემთხვევაში, თუ შეგვიძლია კოეფიციენტების მნიშვნელობების ფოკუსირება, ჩვენ ეფექტურად ვიფიქრეთ, თუ არა შესაძლებლობა, რომ შეგვეძლოს კოეფიციენტების თვისებების აღმოჩენა, მაშინ არასწორედ ვფიქრობთ.

მოდით გადავიდეთ მაგალითზე:

აქ საქმე იმაშია, რომ იპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, თუმცა პირველი, რასაც ჩვენ ვაპირებთ, არის ამ დიფერენციალური განტოლების დამატებითი ამოხსნის პოვნა. შეგახსენებთ, რომ დამატებითი გადაწყვეტა მოდის გადაჭრისგან,

ამ დიფერენციალური განტოლებისა და მისი ფესვების დამახასიათებელი განტოლებაა.

დამატებითი გამოსავალი არის,

ტექნიკა მართლაც მარტივია. ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის g (t) - ზე გადატანა და სპეკულაცია იმის თაობაზე, თუ რა ტიპის YP (t) ტოვებს კოეფიციენტს (-ებს) განუსაზღვრელი (და, შესაბამისად, სისტემის დასახელება). შეაერთეთ ვარაუდი დიფერენციალურ მათემატიკურ დებულებაში და შეამოწმეთ, შეგვიძლია თუ არა კოეფიციენტების შეფასების ფოკუსირება. იმ შემთხვევაში, თუ შეგვიძლია კოეფიციენტების მნიშვნელობების ფოკუსირება, ჩვენ ეფექტურად ვიფიქრეთ, თუ არა შესაძლებლობა, რომ შეგვეძლოს კოეფიციენტების თვისებების აღმოჩენა, მაშინ არასწორედ ვფიქრობთ.

ამჟამად, როგორ უნდა გავაგრძელოთ კონკრეტული შეთანხმება. როგორც უკვე ვთქვით, ამ საქმის დასაწყისში უნდა გაკეთდეს ვარაუდი ამ დიფერენციალური მათემატიკური დებულების კონკრეტული პასუხის ტიპის შესახებ. მას შემდეგ, რაც g (t) არის ექსპონენციალური და ჩვენ ვხვდებით, რომ ექსპონენციალები განცალკევების პროცესში უბრალოდ არასდროს ჩნდებიან ან ქრებიან, როგორც ჩანს, კონკრეტული მოწყობის შესაძლო ტიპი იქნება.

ახლა, მხოლოდ ის, რაც უნდა გავაკეთოთ, არის ორი დერივატის გაკეთება, დიფერენციალური განტოლების ჩასმა და ვნახოთ, შეგვიძლია თუ არა განვსაზღვროთ რა უნდა იყოს.

დიფერენციალურ განტოლებაში ჩართვა იძლევა

ასე რომ, იმისათვის, რომ ჩვენი ვარაუდი გამოსავალი იყოს, ავირჩიოთ ისე რომ ტოლობის ნიშნის ორივე მხარეს გამოსახულების კოეფიციენტები ერთნაირია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა ავირჩიოთ ამიტომ,

კარგი, კოეფიციენტის მნიშვნელობა ვიპოვნეთ. ეს ნიშნავს, რომ სწორად გამოვიცანით. დიფერენციალური განტოლების განსაკუთრებული გამოსავალია

შემდგომი გაგრძელების დაწყებამდე კვლავ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ დავიწყეთ ზემოთ შეთანხმება შესაბამისი შეთანხმების აღმოჩენის გზით. მეორეს მხრივ, ეს არ არის განუსაზღვრელი კოეფიციენტების ტექნიკა, რადგან ჩვენ & # 8217 ყველაფერს ვხედავთ, ამ კონტროლის ქვეშ, სანამ სპეციფიკურ შეთანხმებაზე ვიფიქრებთ, შეგვიძლია დაგვზოგოს დიდი შრომა და / ან შაკიკი. . პირველ რიგში შესაბამისი შეთანხმების აღმოჩენა, ძირითადად, ღირსეული მიდრეკილებაა.

ჩვენ ვიცით, რომ ზოგადი გამოსავალი იქნება ფორმა,

ამ გზით, ჩვენ გვჭირდება ზოგადი პასუხი არაჰომოგენური დიფერენციალური შედარებისთვის. ინტეგრალური შეთანხმების და სპეციფიკური შეთანხმების გათვალისწინებით, რომელიც წინა შემთხვევაში აღმოვაჩინეთ, მივიღებთ თანმხლებ ზოგად შეთანხმებას და მის წარმოებულს.

ახლა გამოიყენეთ პირველადი პირობები ამაზე.

ამ სისტემის გადაჭრა იძლევა 1 = 2 და 2 = 1. რეალური გადაწყვეტა არის მაშინ.

ხანის აკადემიის რამდენიმე ბმული მოცემულია თეორიის გარკვევაში:


ინტერვალის დიფერენციალური განტოლებების არაერთგვაროვანი ხაზოვანი სისტემის ამოხსნა

უმეტეს პროგრამულ პრობლემებში, შეყვანის პარამეტრების ზუსტი მნიშვნელობები უცნობია, მაგრამ შეიძლება განისაზღვროს ინტერვალი, რომელშიც მოცემულია ეს მნიშვნელობები. ასეთ პრობლემებში სისტემის დინამიკა აღწერილია ინტერვალის მნიშვნელობით დიფერენციალური განტოლებით. ამ კვლევაში წარმოგიდგენთ ინტერვალის დიფერენციალურ განტოლებათა არაჰომოგენური სისტემების ახალ მიდგომას. ჩვენ განვიხილავთ ხაზოვან დიფერენციალურ განტოლებებს რეალური კოეფიციენტებით, მაგრამ ინტერვალის საწყისი მნიშვნელობებით და ფორსირების ტერმინებით, რომლებიც რეალური ფუნქციების ერთობლიობაა. თითოეული იძულებითი ტერმინისთვის, ჩვენ ჩავთვლით, რომ ეს რეალური ფუნქციები ხაზობრივად უნდა განაწილდეს ორ მოცემულ რეალურ ფუნქციას შორის. ჩვენ ვეძებთ გადაწყვეტილებებს არა როგორც ინტერვალის ღირებულების ფუნქციების ვექტორი, როგორც ყოველთვის, არამედ როგორც რეალური ვექტორული ფუნქციების ერთობლიობა. ჩვენ ვამუშავებთ მეთოდს ამოხსნის მოსაძიებლად და არსებობისა და უნიკალურობის თეორემის დასადგენად. ჩვენ განვსაზღვრავთ ჩვენს მიდგომასა და გადაწყვეტის მეთოდს საილუსტრაციო მაგალითის საშუალებით. გარდა ამისა, ჩვენ ვაჩვენებთ შემოთავაზებული მიდგომის უპირატესობებს დიფერენციალური ჩართვის მიდგომასა და განზოგადებული დიფერენცირებადი მიდგომის მიმართ.

ეს არის სააბონენტო შინაარსის გადახედვა, თქვენი დაწესებულების საშუალებით წვდომა.


17.2: არაჰომოგენური ხაზოვანი განტოლებები

ახლა მოკლედ უნდა მივმართოთ არაერთგვაროვან სისტემებს. აქ ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორივე მეთოდი, რომლებიც მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებების თავში გადავხედეთ. როგორც ვნახავთ, განუსაზღვრელი კოეფიციენტები თითქმის იდენტურია სისტემებში გამოყენებისას, ხოლო პარამეტრების ვარიაციას უნდა ჰქონდეს მიღებული ახალი ფორმულა, მაგრამ სინამდვილეში ოდნავ ადვილი იქნება სისტემებზე გამოყენებისას

გაურკვეველი კოეფიციენტები

განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი სისტემებისთვის თითქმის იდენტურია მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების შემთხვევისა. ერთადერთი განსხვავება იმაშია, რომ კოეფიციენტები ახლა ვექტორებად ქცევაა საჭირო.

გადავხედოთ მაგალითს.

ჩვენ უკვე გვაქვს დამატებითი გადაწყვეტა, რადგან ეს ნაწილი გადავწყვიტეთ რეალურ საკუთრების ღირებულების განყოფილებაში. Ეს არის,

კონკრეტული ამოხსნის ფორმის გამოცნობა იმუშავებს ზუსტად ისევე, როგორც ეს მოხდა მაშინ, როდესაც ამ მეთოდს პირველად ვუყურებდით. ჩვენ გვაქვს წრფივი მრავალწევრი და ამიტომ ჩვენი ვარაუდი უნდა იყოს წრფივი მრავალწევრი. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ "კოეფიციენტები" უნდა იყოს ვექტორები მუდმივების ნაცვლად. კონკრეტულ გამოსავალს ექნება ფორმა,

ასე რომ, უნდა გამოვყოთ ვარაუდი

სისტემაში ჩართვის დაწყებამდე მოდით, ოდნავ გავამარტივოთ აღნიშვნა, რომ დაგვეხმაროთ ჩვენს მუშაობაში. ჩვენ დავწერთ სისტემას,

ეს შემდეგ სამუშაოებს ოდნავ გაგიმარტივებთ. ახლა კი, მოდით, სისტემაში ჩავრთოთ ყველაფერი.

[ დაიწყოს vec a & = A მარცხენა ( მარჯვნივ) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t მარცხენა ( მარჯვნივ) + მარცხნივ ( მარჯვნივ) დასრულება]

ახლა ჩვენ კოეფიციენტები თანაბრად უნდა დავაყენოთ. ამის გაკეთება იძლევა,

ახლა მხოლოდ ( vec a ) უცნობია პირველ განტოლებაში, ასე რომ, სისტემის ამოსახსნელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ გაუსისეული აღმოფხვრა. ჩვენ ამ სამუშაოს გადავცემთ თქვენს შემოწმებას.

ახლა რომ ვიცით ( vec a ) შეგვიძლია გადავჭრათ მეორე განტოლება ( vec b ).

მას შემდეგ, რაც ორივე განტოლების ამოხსნა შევძელით, განსაკუთრებული გამოსავალია,

ზოგადი გამოსავალი არის,

როგორც ხედავთ, დაუდგენელი კოეფიციენტები თითქმის იგივეა, რაც პირველად ვნახეთ. თუმცა, ”მუდმივების” გადაჭრის საქმეში ცოტა არეულობაა.

პარამეტრების ცვალებადობა

ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ახალი ფორმულა სისტემების პარამეტრების ცვალებადობისთვის. ამ დროს წარმოება გაცილებით მარტივი იქნება, ვიდრე მაშინ, როდესაც პირველად ვნახეთ პარამეტრების ცვალებადობა.

პირველი მოდით, (X (t) ) იყოს მატრიცა, რომლის (i ^ < ტექსტი)> ) სვეტი არის (i ^ < ტექსტი> ) სისტემის ხაზოვანი დამოუკიდებელი გადაწყვეტა,

ახლა შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ (X (t) ) იქნება შემდეგი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

ეს სხვა არაფერია, თუ არა ორიგინალური სისტემა მატრიცათი ორიგინალური ვექტორის ადგილას.

ჩვენ ვცდილობთ ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი

[ vec x '= A vec x + vec g მარცხნივ (t მარჯვნივ) ]

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ფორმის გადაწყვეტა,

[< vec x_P> = X მარცხნივ (t მარჯვნივ) , vec v მარცხნივ (t მარჯვნივ) ]

სადაც უნდა დავადგინოთ ვექტორი ( vec v მარცხენა (t მარჯვნივ) ). ამისათვის ჩვენ უნდა ჩავრთოთ არაერთგვაროვანი სისტემაში. ნუ დაივიწყებთ პროდუქტის სპეციალურ გამოსაყენებლად, როდესაც ამოიცნობთ სისტემაში.

[X ', vec v + X , vec v' = A , X , vec v + vec g ]

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ჩამოვტოვეთ საგნების ( მარცხენა (t მარჯვნივ) ) ნაწილი, რომ ნოტაცია ოდნავ გამარტივდეს. ახლა გამოიყენება ( eqref)) შეგვიძლია ეს ოდნავ გადავწეროთ.

[ დაიწყოსX ', vec v + X , vec v' & = X ', vec v + vec g X , vec v' & = vec g დასრულება]

იმის გამო, რომ ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ (X ) წრფივი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებების გამოყენებით, ვიცით, რომ ( det (X) ) უნდა იყოს არა ნულოვანი, ეს კი ნიშნავს, რომ შეგვიძლია ვიპოვოთ (X ) ინვერსიული. ასე რომ, ორივე მხარე გავამრავლოთ (X ) - ის შებრუნებით.

ახლა მხოლოდ ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ ორივე მხარე ( vec v მარცხნივ (t მარჯვნივ) ).

[, vec v მარცხნივ (t მარჯვნივ) = int <<> vec g , dt >> ]

როგორც მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ინტეგრაციის ნებისმიერი მუდმივი.განსაკუთრებული გამოსავალი არის,

მოდით ვიმუშაოთ სწრაფი მაგალითით.

ამ სისტემის დამატებითი გამოსავალი ვიპოვნეთ საკუთარი განსაკუთრებული მნიშვნელობის განყოფილებაში. Ეს არის,

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ მატრიცის შებრუნებული ნაწილი. ჩვენ ვნახეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მატრიცების ინვერსიები მეორე ხაზოვანი ალგებრის მიმოხილვის განყოფილებაში და პროცესი აქ იგივეა, მიუხედავად იმისა, რომ მუდმივი ჩანაწერები არ გვაქვს. დეტალებს გადავამოწმებთ.

ახლა გავაკეთოთ გამრავლება ინტეგრალში.

გახსოვდეთ, რომ მატრიცის ან ვექტორის ინტეგრირებისთვის თქვენ უბრალოდ აერთიანებთ ინდივიდუალურ ჩანაწერებს.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ კონკრეტული გამოსავალი.

ზოგადი გამოსავალი არის,

ასე რომ, ზოგიერთი ნამუშევარი შეიძლება ცოტა არეული იყოს, მაგრამ საერთოდ არც ისე ცუდი.

ჩვენ ვნახეთ აქ არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ორი მეთოდი და მიუხედავად იმისა, რომ მუშაობა შეიძლება ცოტა არეული იყოს, ისინი არც ისე ცუდია. რა თქმა უნდა, ჩვენ აქ არაერთგვაროვანი ნაწილიც საკმაოდ მარტივად ვინახეთ. უფრო რთულ პრობლემებს მნიშვნელოვანი სამუშაოები ექნება.


ხაზოვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნა

მიუხედავად იმისა მათემატიკა აქვს თავდადებული ბრძანება LinearSolve [A, b] ვექტორული განტოლების ამოხსნისთვის Ნაჯახი = , ჩვენ შევაჯამეთ ინფორმაცია, რომელიც აქამდე მივიღეთ ორი წინა განყოფილებიდან (გაუსის ლიკვიდაცია და გაუსი - ჟორდანიას ლიკვიდაცია).

ხაზოვანი სისტემა განტოლებები უცნობი x1, x2, . , x გამოხატულია როგორც

დასკვნა: თუკი & lt , სისტემა Ნაჯახი = 0 აქვს ნულოვანი ხსნარი.

მაგალითი: 2 × 3 განტოლების სისტემის ამოხსნა

თეორემა: დაე იყოს m & timesn მატრიცა და იყავი -ვექტორი. წრფივი ვექტორული განტოლება Ნაჯახი = აქვს გამოსავალი თუ და მხოლოდ მაშინ ორთოგონალურია ყველა გამოსავალზე y (ასე რომ, მისი წერტილოვანი პროდუქტი & sdot y = 0 არის ნულოვანი) ერთგვაროვანი განტოლების * y = 0სად & ast არის n & Timesm მატრიცა, რომლისგანაც მიიღება ტრანსპოზიციითა და რთული კონიუგატის მიღებით. გავიხსენოთ რომ * ეწოდება adjoint matrix to .

  • (გადაჭარბებული შემთხვევა) თუკი & ge , შემდეგ ხაზოვანი სისტემა Ნაჯახი = შეესაბამება მინიმუმ ერთ ვექტორს in & reals მ.
  • (განუსაზღვრელი შემთხვევა) თუკი & ლე , შემდეგ თითოეული ვექტორისთვის სწორხაზოვან სისტემაში Ნაჯახი = ან არათანმიმდევრულია ან უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი აქვს.

თეორემა: ან & ჯერ ხაზოვანი სისტემა Ნაჯახი = ცვლადებში x1, x2, . , x თანმიმდევრულია (ანუ მას აქვს გამოსავალი) ყველასთვის & isin & reals m თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შემცირებული ეშელონის ფორმაა აქვს კვარცხლბეკები.

დავუშვათ, რომ შემცირებული რიგის ეშელონის ფორმა (ჩვენ ვიყენებთ შემცირებულ ფორმას ეშელონის ფორმის ნაცვლად მარტივად, რადგან ამას მნიშვნელობა არ აქვს) გაზრდილი მატრიცის აქვს კვარცხლბეკები. Შემდეგ -მე რიგი ფორმისაა


Agarwal, R., Bohner, M., Grace, S., O’Regan, D. .: დისკრეტული რხევების თეორია. გამომცემლობის კორპორაცია Hindawi (2005)

Arino, O., Pituk, M .: უფრო მეტი წრფივი დიფერენციალური სისტემები მცირე შეფერხებებით. ჯ. ტოლი 170, 381–407 (2001)

Atkinson, F.V., Haddock, J.B .: კრიტერიუმები ფუნქციური დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნების ასიმპტოტური მდგრადობისთვის. ჯ. მათემატიკა. ანალური აპლიკაცია 91, 410–423 (1983)

ბელმანი, რ., კუკი, კ.: დიფერენციალური სხვაობის განტოლებები. Academic Press, Boston (1993)

ბერეკეტოღლუ, ჰ., კარაკოჩი, ფ .: ასიმპტოტური მუდმივა იმპულსური დაგვიანების დიფერენციალური განტოლებისთვის. დინ სინდისი აპლიკაცია 17, 71–84 (2008)

ბერეკეტოღლუ, ჰ., პიტუკი, მ.: ასიმპტოტური მუდმივა არაჰომოგენური ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებებისათვის უსაზღვრო შეფერხებებით დისკრეტული კონტინ. დინ სინდისი (დამატება ტომი) 100–107 (2003)

დიბლიკი, ჯ .: განტოლების ამონახსნების ასიმპტოტური წარმოდგენა y ′ ()=β()[y()−y(τ())]. ჯ. მათემატიკა. ანალური აპლიკაცია 217, 210–215 (1998)

Diekmann, O., van Gils, S.A., Verduyn Lunel, S.M., Wather, H.-O .: შეფერხების განტოლებები: ფუნქციური-, კომპლექსური და არაწრფივი ანალიზი. Springer, New York (1995)

მძღოლი, რ.დ .: ჩვეულებრივი და შეფერხებული დიფერენციალური განტოლებები. Springer, New York (1977)

Elaydi, S .: შესავალი სხვაობის განტოლებაში. Springer, New York (1996)

El'sgol’ts, L.E .: დიფერენციალური განტოლების თეორიის შესავალი გადახრილი არგუმენტით. ჰოლდენის დღე, სან ფრანცისკო (1966)

El'sgol’ts, L.E., Norkin, S.B .: შესავალი დიფერენციალური განტოლებების თეორიისა და გამოყენების შესახებ გადახრილი არგუმენტით. აკადემიური პრესა, ნიუ იორკი (1973)

გოპალამია, კ .: სტაბილურობა და რყევა მოსახლეობის დინამიკის დიფერენციალურ განტოლებაში. კლაუვერ აკადემიკოსი, დორდრეხტი (1992)

Gyori, I., Ladas, G .: შეფერხების დიფერენციალური განტოლებების რხევების თეორია. კლარენდონი, ოქსფორდი (1991)

ჰეილი, ჯ.: ფუნქციური დიფერენციალური განტოლებების თეორია. სპრინგერი, ნიუ იორკი (1977)

Jaros, J., Stavroulakis, I.P .: განსხვავების განტოლების რხევებისთვის საჭირო და საკმარისი პირობები რამდენიმე შეფერხებით. უტილი. Მათემატიკა. 45, 187–195 (1994)

Karakoc, F., Bereketoglu, H .: ზოგიერთი შედეგი ხაზოვანი იმპულსური შეფერხების დიფერენციალური განტოლებებისათვის. დინ გაგრძელება დისკრეტული იმპულსები. სინდისი (გამოჩნდება)

Kelley, W.G., Peterson, A.C .: სხვაობის განტოლებები: შესავალი პროგრამებთან. აკადემიური პრესა, ნიუ იორკი (1991)

კოლმანოვსკი, ვ.ბ., ნოსოვი, ვ.რ .: ფუნქციური დიფერენციალური განტოლებების სტაბილურობა. აკადემიური პრესა, ნიუ იორკი (1986)

კოპლატაძე, რ., კვინიკაძე, გ., სტავრულაკი, ი. პ .: მეორე რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლების რხევა გადახრილი არგუმენტებით. ადვ. Მათემატიკა. სამეცნიერო აპლიკაცია 12, 217–226 (2002)

კრისტინი, თ.: შენიშვნა წრფივი ფუნქციური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების კონვერგენციის შესახებ. ჯ. მათემატიკა. ანალური აპლიკაცია 145, 17–25 (1990)

Kuang, Y .: შეაჩერე დიფერენციალური განტოლებები პროგრამების გამოყენებით პოპულაციის დინამიკაში. Academic Press, Boston (1993)

Lakshmikhantham, V., Trigiante, D. .: სხვაობის განტოლების თეორია: რიცხვითი მეთოდები და პროგრამები. აკადემიური პრესა, ნიუ იორკი (1988)

მაკდონალდი, ნ .: ბიოლოგიური შეფერხების სისტემები: ხაზოვანი სტაბილურობის თეორია. კემბრიჯის უნივერსიტეტის პრესა, კემბრიჯი (1989)

მურაკამი, კ.: ასიმპტოტური მდგრადობა დაგვიანებული დიფერენციალური განტოლების სისტემებისთვის. არაწრფივი ანალიზი. 30, 4595–4606 (1997)


47 მეორე რიგის ხაზოვანი განტოლებები

დიფერენციალურ განტოლებებთან მუშაობისას, როგორც წესი, მიზანი არის გამოსავალი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ ფუნქცია (ან ფუნქციები), რომელიც დააკმაყოფილებს დიფერენციალურ განტოლებას. ტექნიკა, რომელსაც ამ ამოხსნების მოსაძებნად ვიყენებთ, განსხვავდება, დიფერენციალური განტოლების ფორმის მიხედვით, რომელთანაც ჩვენ ვმუშაობთ. მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებებს აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, რომლებიც დაგვეხმარება განვსაზღვროთ რომელი ამოხსნის მეთოდი გამოვიყენოთ. ამ ნაწილში ჩვენ განვიხილავთ ამ მახასიათებლებს და მათთან დაკავშირებულ ტერმინოლოგიას.

ერთგვაროვანი ხაზოვანი განტოლებები

განვიხილოთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება

ყურადღება მიაქციეთ ამას y და მისი წარმოებულები შედარებით მარტივი ფორმით ჩანს. ისინი გამრავლებულია ფუნქციების მიხედვით x, მაგრამ თვითონ არ არიან ამაღლებული რომელიმე ძალაუფლებამდე და არც მრავლდებიან ერთად. როგორც დიფერენციალური განტოლებების შესავალში განიხილება, ნათქვამია, რომ პირველი რიგის განტოლებები მსგავსი მახასიათებლებით ხაზოვანია. იგივე ითქმის მეორე რიგის განტოლებებზე. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ამ დიფერენციალური განტოლების ყველა ტერმინი ერთსაც მოიცავს y ან მისი რომელიმე წარმოებული. არ არსებობს ტერმინები, რომლებიც მოიცავს მხოლოდ x. მსგავსი განტოლებები, რომელშიც ყველა ტერმინი შეიცავს y ან მისი რომელიმე წარმოებული, ჰომოგენურს უწოდებენ.

ყველა დიფერენციალური განტოლება არ არის ერთგვაროვანი. განვიხილოთ დიფერენციალური განტოლება

ტერმინი ტოლობის ნიშნის მარჯვენა მხარეს არ შეიცავს y ან მისი რომელიმე წარმოებული. ამიტომ, ეს დიფერენციალური განტოლება არაერთგვაროვანია.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება წრფივია, თუ ის შეიძლება დაიწეროს ფორმით

სად და არის რეალური ღირებულების ფუნქციები და იდენტურად არ არის ნული. თუკი - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ყველა ღირებულებისთვის x- ამბობენ, რომ განტოლება არის ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება. თუკი გარკვეული ღირებულებისთვის ამბობენ, რომ განტოლება არის არაერთგვაროვანი წრფივი განტოლება.

ეწვიეთ ამ ვებ – გვერდს მეორე რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებების შესახებ მეტი ინფორმაციის მისაღებად.

ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებები, და მისი წარმოებულები შეიძლება აიყვანონ მხოლოდ პირველ ძალაზე და ისინი არ შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთზე. პირობები ან განტოლება გააკეთე არაწრფივი. ფუნქციები და მისი წარმოებულები, როგორიცაა ან ანალოგიურად აკრძალულია წრფივი დიფერენციალური განტოლებები.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებები ყოველთვის არ უნდა იყოს მოცემული სტანდარტული ფორმით (ფორმაში ნაჩვენებია განმარტებაში). შეიძლება სასარგებლო იყოს მათი ამ ფორმით გადაწერა, რომ გადავწყვიტოთ სწორხაზოვანია თუ ხაზოვანი განტოლება ერთგვაროვანია.

ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებებიდან თითოეული კლასიფიცირეთ როგორც ხაზოვანი ან არაწრფივი. თუ განტოლება წრფივია, კიდევ უფრო განსაზღვრეთ არის ჰომოგენური თუ არაერთგვაროვანი.

  1. ეს განტოლება არაწრფივია ვადა
  2. ეს განტოლება წრფივია. არ არსებობს ტერმინი, რომელიც მოიცავს ძალაუფლებას ან ფუნქციას და კოეფიციენტები არის ყველა ფუნქცია განტოლება უკვე დაწერილია სტანდარტული ფორმით და იდენტურად ნულოვანია, ამიტომ განტოლება ერთგვაროვანია.
  3. ეს განტოლება არაწრფივია. გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში, x არის დამოკიდებული ცვლადი და არის დამოუკიდებელი ცვლადი. მეორე ტერმინი მოიცავს პროდუქტის და ასე რომ, განტოლება არაწრფივია.
  4. ეს განტოლება წრფივია. მას შემდეგ განტოლება არ არის ერთგვაროვანი.
  5. ეს განტოლება არაწრფივია, ვადა
  6. ეს განტოლება წრფივია. მისი სტანდარტული ფორმით გადაწერა იძლევა

ეწვიეთ ვებსაიტს, სადაც განხილულია მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებებიდან თითოეული კლასიფიცირეთ როგორც ხაზოვანი ან არაწრფივი. თუ განტოლება წრფივია, კიდევ უფრო განსაზღვრეთ არის ჰომოგენური თუ არაერთგვაროვანი.

საჭიროების შემთხვევაში სტანდარტული ფორმით დაწერეთ განტოლება. შეამოწმეთ უფლებამოსილების ან ფუნქციების და მისი წარმოებულები.

მოგვიანებით, ამ განყოფილებაში ვნახავთ დიფერენციალური განტოლებების კონკრეტული ტიპების ამოხსნის რამდენიმე ტექნიკას. სანამ ამას მივალთ, მოდით განვიხილოთ, თუ როგორ იქცევიან წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნები. ხშირ შემთხვევაში, დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გამოსავალი შეიძლება იყოს, განათლებული გამოცნობების გაკეთებაზე. იმის ცოდნა, თუ როგორ იქცევიან სხვადასხვა ტიპის გადაწყვეტილებები სასარგებლო იქნება.

განვიხილოთ ხაზოვანი, ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება

ამ განტოლების გადახედვისას, შეამჩნიეთ, რომ კოეფიციენტის ფუნქციები მრავალწევრებია, რომელთა უფრო მაღალი სიმძლავრეა ასოცირდება უმაღლესი რიგის წარმოებულებთან აჩვენე რომ არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

დაე შემდეგ და დიფერენციალური განტოლების ჩანაცვლება ვხედავთ ამას

აჩვენე რომ არის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

გამოთვალეთ წარმოებულები და ჩაანაცვლეთ ისინი დიფერენციალურ განტოლებაში.

მიუხედავად იმისა, რომ დიფერენციალური განტოლების უბრალოდ ამოხსნის მოძებნა მნიშვნელოვანია, მათემატიკოსებსა და ინჟინრებს ხშირად სჭირდებათ გადაჭარბებული აღმოჩენა ერთი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ყველა დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვსურს ვიპოვოთ ზოგადი გამოსავალი. ისევე, როგორც პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების შემთხვევაში, ზოგადი ამოხსნა (ან ამოხსნების ოჯახი) დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების მთელ რიგს იძლევა. მნიშვნელოვანი განსხვავება პირველი რიგის და მეორე რიგის განტოლებებს შორის არის ის, რომ, მეორე რიგის განტოლებებთან ერთად, ჩვენ, როგორც წესი, გვჭირდება განტოლების ორი განსხვავებული ამოხსნის მოძებნა, ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად. თუ ორ ამონახსნს ვიპოვით, ამ გადაწყვეტილებების ნებისმიერი ხაზოვანი კომბინაცია ასევე გამოსავალია. ამ ფაქტს ვაცხადებთ შემდეგ თეორემად.

თუკი და არის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნები, შემდეგ ფუნქცია

სად და მუდმივებია, ასევე გამოსავალია.

ამ სუპერპოზიციის პრინციპის თეორემის მტკიცებულება სავარჯიშოდ დარჩა.

განვიხილოთ დიფერენციალური განტოლება

Იმის გათვალისწინებით, რომ და ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნებია გამოსავალია.

ამრიგად, არის გამოსავალი.

განვიხილოთ დიფერენციალური განტოლება

Იმის გათვალისწინებით, რომ და ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნებია გამოსავალია.

ფუნქციის დიფერენცირება და ჩანაცვლება დიფერენციალურ განტოლებაში.

სამწუხაროდ, მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტის მოსაძებნად საკმარისი არ არის იპოვოთ ორი ამოხსნა და შემდეგ დააკავშიროთ ისინი. განვიხილოთ დიფერენციალური განტოლება

ორივე და არის გამოსავალი (შეამოწმეთ ეს). თუმცა, არის არა ზოგადი გამოსავალი. ეს გამოხატვა არ ითვალისწინებს დიფერენციალური განტოლების ყველა ამოხსნას. კერძოდ, იგი ვერ აღრიცხავს ფუნქციას რაც ასევე დიფერენციალური განტოლების ამოხსნაა.

გამოდის, რომ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად უნდა გამოვნახოთ ორი წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნა. ჩვენ ამ ტერმინოლოგიას აქ განვსაზღვრავთ.

ფუნქციების ერთობლიობა ამბობენ, რომ ხაზოვანია დამოკიდებული, თუ არსებობს მუდმივები არა ყველა ნულოვანი, ისეთი, რომ ყველასთვის x ინტერესის ინტერვალის განმავლობაში. ამბობენ, რომ ფუნქციონალური ერთობლიობა, რომელიც არ არის წრფივად დამოკიდებული, ხაზობრივად დამოუკიდებელია.

ამ თავში, როგორც წესი, ჩვენ ვცდილობთ ხაზოვანი დამოუკიდებლობის მხოლოდ ორი ფუნქციის კომპლექტს, რაც საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ ეს განმარტება. პრაქტიკული თვალსაზრისით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ორი ფუნქცია სწორხაზოვნად არის დამოკიდებული, თუ რომელიმე მათგანი იდენტურად ნულია, ან თუ ისინი ერთმანეთის მუდმივი ჯერადები არიან.

პირველ რიგში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ თუ ფუნქციები აკმაყოფილებენ ადრე მოცემულ პირობებს, მაშინ ისინი ხაზობრივად არიან დამოკიდებულნი. თუ რომელიმე ფუნქცია იდენტურად ნულოვანია - ვთქვათ, —მაშინ აირჩიე და და ხაზოვანი დამოკიდებულების პირობა დაკმაყოფილებულია. თუ, მეორე მხრივ, არც ერთი არც ის იდენტურად ნულოვანია, მაგრამ ზოგისთვის შემდეგ აირჩიე და და ისევ, მდგომარეობა დაკმაყოფილებულია.

შემდეგ, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ თუ ორი ფუნქცია წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ან ერთი იდენტურად ნულია, ან ისინი ერთმანეთის მუდმივი ჯერადები არიან. ვივარაუდოთ და ხაზოვანი დამოუკიდებელია. შემდეგ არის მუდმივები, და არა ორივე ნულოვანი, ისეთი

ყველასთვის x ინტერესის ინტერვალის განმავლობაში. შემდეგ,

ახლა, მას შემდეგ რაც ჩვენ აღვნიშნეთ ეს და ორივე ვერ იქნება ნული, ჩათვალე შემდეგ, არსებობს ორი შემთხვევა: ან ან თუკი შემდეგ

ასე რომ, ერთ – ერთი ფუნქცია იდენტურად ნულოვანია. ახლა ჩათვალეთ შემდეგ,

და ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციები ერთმანეთის მუდმივი ჯერადია.

ორი ფუნქცია, და ამბობენ, რომ წრფივად არის დამოკიდებული, თუ რომელიმე მათგანი იდენტურად ნულოვანია, ან თუ ზოგისთვის და ყველასთვის x ინტერესის ინტერვალის განმავლობაში. ამბობენ, რომ ფუნქციები, რომლებიც არაა წრფივად დამოკიდებული ხაზოვანი დამოუკიდებელი.

დაადგინეთ, ფუნქციების შემდეგი წყვილი წრფივი დამოკიდებულებაა თუ ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

  1. ამიტომ ფუნქციები ხაზობრივად არის დამოკიდებული.
  2. მუდმივი არ არის ისეთივე როგორც ამიტომ ფუნქციები ხაზობრივად დამოუკიდებელია.
  3. მუდმივი არ არის ისეთივე როგორც ამიტომ ფუნქციები ხაზობრივად დამოუკიდებელია. არ დაიბნა ის ფაქტი, რომ ექსპონენტები მუდმივი ერთმანეთის ჯერადები არიან. ორი ექსპონენციალური ფუნქციით, თუ მაჩვენებლები ტოლი არ არიან, ფუნქციები ხაზობრივად დამოუკიდებელია.
  4. მუდმივი არ არის ისეთივე როგორც ამიტომ ფუნქციები ხაზობრივად დამოუკიდებელია.

დაადგინეთ, ფუნქციების შემდეგი წყვილი ხაზოვანი დამოკიდებულებაა თუ ხაზოვანი დამოუკიდებლობა:

ფუნქციები ერთმანეთის მუდმივი ნამრავლია?

თუ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ორი წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნის პოვნა შეგვიძლია, მაშინ მათი გაერთიანება შეგვიძლია ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად. ეს შედეგი ოფიციალურად არის ნათქვამი შემდეგ თეორემაში.

თუკი და არის წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნები მეორე რიგის, წრფივი, ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის, მაშინ ზოგადი ამოხსნა მოცემულია

სად და მუდმივებია.

როდესაც ვამბობთ, რომ ფუნქციების ოჯახი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაა, ვგულისხმობთ იმას, რომ (1) ამ ფორმის ყველა გამოთქმა არის ამოხსნა და (2) დიფერენციალური განტოლების ყველა ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს ამ ფორმით, რაც ამას ქმნის თეორემა ძალიან ძლიერი. თუ დიფერენციალური განტოლების ორი წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნის პოვნა შეგვიძლია, ეფექტურად აღმოვაჩინეთ ყველა დიფერენციალური განტოლების ამოხსნები - საკმაოდ საყურადღებო დებულება. ამ თეორემის მტკიცებულება ამ ტექსტის ფარგლებს მიღმაა.

თუკი და არის გამოსავალი რა არის ზოგადი გამოსავალი?

Ჩაინიშნე და არ არიან ერთმანეთის მუდმივი ჯერადები, ამიტომ ისინი ხაზობრივად დამოუკიდებლები არიან. შემდეგ, დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაა

თუკი და არის გამოსავალი რა არის ზოგადი გამოსავალი?

ჯერ შეამოწმეთ სწორხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

მეორე რიგის განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით

ახლა, როდესაც ჩვენ უკეთესი შეგრძნება გვაქვს ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებების მიმართ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ფორმის მეორე რიგის განტოლებების ამოხსნაზე.

სად და მუდმივებია.

მას შემდეგ, რაც ყველა კოეფიციენტი მუდმივია, გამოსავალი ალბათ იქნება ფუნქციები წარმოებულებთან, რომლებიც მუდმივად მრავლდებიან. გასაუქმებლად გვჭირდება ყველა ტერმინი და თუ დერივატივის გამოყენებით შემოიტანთ ტერმინს, რომელიც არ არის თავდაპირველი ფუნქციის მუდმივი ჯერადი, ძნელია იმის დანახვა, თუ როგორ გაუქმდება ეს ტერმინი ექსპონენციალურ ფუნქციებს აქვთ დერივატები, რომლებიც ორიგინალი ფუნქციის მუდმივი ნამრავლია, მოდით ვნახოთ რა მოხდება, როდესაც ვცდილობთ ფორმის ამოხსნას სად (მცირე ბერძნული ასო lambda) არის გარკვეული მუდმივა.

თუკი შემდეგ და ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებაში (სურათი), მივიღებთ

მას შემდეგ არასოდეს არის ნული, ეს გამოთქმა შეიძლება ნულის ტოლი იყოს ყველასთვის x მხოლოდ იმ შემთხვევაში თუ

ჩვენ ამას ვუწოდებთ დიფერენციალური განტოლების დამახასიათებელ განტოლებას.

დიფერენციალური განტოლების დამახასიათებელი განტოლება არის

დამახასიათებელი განტოლება ძალზე მნიშვნელოვანია ამ ფორმის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნებისას. ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ დამახასიათებელი განტოლება ფაქტორინგით ან კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ეს იძლევა სამ საქმეს. დამახასიათებელ განტოლებას აქვს (1) მკაფიო რეალური ფესვები (2) ერთი, განმეორებითი რეალური ფესვი ან (3) რთული კონიუგირებული ფესვები. თითოეულ ამ საქმეს ცალკე განვიხილავთ.

მკაფიო რეალური ფესვები

თუ დამახასიათებელ განტოლებას მკაფიო რეალური ფესვები აქვს და შემდეგ და არის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ამოხსნები (სურათი) და ზოგადი ამოხსნა მოცემულია

სად და მუდმივებია.

მაგალითად, დიფერენციალური განტოლება აქვს ასოცირებული დამახასიათებელი განტოლება ეს ფაქტორები შევიდა რომელსაც აქვს ფესვები და ამიტომ, ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტაა

ერთჯერადი განმეორებითი რეალური ფესვი

საქმე ცოტა უფრო რთულია, თუ დამახასიათებელ განტოლებას განმეორებითი რეალური ფესვი აქვს, ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიცით არის გამოსავალი (ნახაზი), მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი გამოსავალია და გვჭირდება ორი წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნა ზოგადი ამოხსნის დასადგენად. შეიძლება ცდუნება გვქონდეს, შეამოწმოთ ფორმის ფუნქცია სად არის გარკვეული, მაგრამ ეს არ იქნება ხაზოვანი დამოუკიდებლად ამიტომ, შევეცადოთ როგორც მეორე გამოსავალი. პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ფორმულით,

მაგრამ, განმეორებითი ფესვია, ასე რომ და ამრიგად, თუ ჩვენ გვაქვს

ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებაში (სურათი), ჩვენ ვხედავთ ამას

ეს იმაზე მეტყველებს არის გამოსავალი (სურათი). მას შემდეგ და ხაზოვანია დამოუკიდებელი, როდესაც დამახასიათებელ განტოლებას განმეორებითი ფესვი აქვს ზოგადი გამოსავალი (სურათი) მოცემულია

სად და მუდმივებია.

მაგალითად, დიფერენციალური განტოლება აქვს ასოცირებული დამახასიათებელი განტოლება ეს ფაქტორები შევიდა რომელსაც განმეორებითი ფესვი აქვს ამიტომ, ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტაა

რთული კონიუგირებული ფესვები

მესამე შემთხვევა, რომელიც უნდა გავითვალისწინოთ არის როდის ამ შემთხვევაში, როდესაც კვადრატულ ფორმულას ვიყენებთ, ვიღებთ უარყოფითი რიცხვის კვადრატულ ფესვს. უნდა გამოვიყენოთ წარმოსახვითი რიცხვი იპოვონ ფესვები, რომლებიც ფორმას იღებს და რთული რიცხვი ეწოდება კონიუგირება საქართველოს ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ როდის ჩვენი დამახასიათებელი განტოლების ფესვები ყოველთვის არის რთული კონიუგატები.

ეს ცოტა პრობლემას გვიქმნის. თუ იგივე პროცესს მივყვებით, გამოვიყენეთ მკაფიო რეალური ფესვებისთვის - დამახასიათებელი განტოლების ფესვების გამოყენებით, როგორც კოეფიციენტები ექსპონენციალური ფუნქციების ექსპონენტებში - მივიღებთ ფუნქციებს და როგორც ჩვენი გადაწყვეტილებები. ამასთან, ამ მიდგომასთან დაკავშირებით პრობლემები არსებობს. პირველი, ეს ფუნქციები იღებს რთულ (წარმოსახვით) ღირებულებებს და ამ ფუნქციების სრული განხილვა ამ ტექსტის ფარგლებს სცილდება. მეორე, მაშინაც კი, თუ კომფორტულად ღირებული ფუნქციები გვეუფლებოდა, ამ კურსში ჩვენ არ მივმართავთ ამგვარი ფუნქციების დერივატის იდეას. თუ შესაძლებელია, გვსურს ვიპოვოთ ორი წრფივი დამოუკიდებელი რეალური ღირებულება დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები. ამ განვითარების მიზნებისათვის, ჩვენ ვაპირებთ ფუნქციების მანიპულირებას და დიფერენცირებას და თითქოს ისინი ნამდვილი მნიშვნელობის ფუნქციები იყვნენ. ამ კონკრეტული ფუნქციებისათვის ეს მიდგომა მოქმედებს მათემატიკურად, მაგრამ იცოდეთ, რომ არსებობს სხვა შემთხვევებიც, როდესაც რთული მნიშვნელობის ფუნქციები არ იცავს იგივე წესებს, როგორც რეალური მნიშვნელობის ფუნქციებს. თქვენ, ვინც დაინტერესებულია კომპლექსური მნიშვნელობის ფუნქციების უფრო ღრმა განხილვით, უნდა გაეცნოთ რთული ანალიზის ტექსტს.

ფესვების საფუძველზე დამახასიათებელი განტოლების, ფუნქციების და დიფერენციალური განტოლების ხაზოვანი დამოუკიდებელი ამოხსნებია. და ზოგადი გამოსავალი მოცემულია

გამოიყენეთ რამდენიმე ჭკვიანი არჩევანი და ცოტათი ალგებრული მანიპულირებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ორი წრფივი დამოუკიდებელი, რეალური მნიშვნელობის ამოხსნა (სურათი) და გამოვხატოთ ჩვენი ზოგადი გადაწყვეტა ამ თვალსაზრისით.

ჩვენ ადრე გვქონდა რთული ექსპონატების მქონე ექსპონენციალური ფუნქციები. ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი, რომელიც ჩვენ გამოვსახეთ ამ ექსპონენციალური ფუნქციების სინუსებისა და კოსინუსების თვალსაზრისით, იყო ეილერის ფორმულა, რომელიც გვეუბნება, რომ

ყველა რეალური რიცხვისთვის

დავუბრუნდეთ ზოგად გადაწყვეტილებას, ჩვენ გვაქვს

ეილერის ფორმულის იდენტობებთან ერთად გამოყენება და ვიღებთ

ახლა, თუ ვირჩევთ მეორე ტერმინი არის ნულოვანი და მივიღებთ

როგორც რეალური მნიშვნელობის ამოხსნა (სურათი). ანალოგიურად, თუ ვირჩევთ და პირველი ტერმინი არის ნულოვანი და მივიღებთ

როგორც მეორე, წრფივად დამოუკიდებელი, რეალური მნიშვნელობის ამოხსნა (სურათი).

ამის საფუძველზე ვხედავთ, რომ თუ დამახასიათებელ განტოლებას აქვს რთული კონიუგირებული ფესვები მაშინ ზოგადი გამოსავალი (სურათი) მოცემულია

სად და მუდმივებია.

მაგალითად, დიფერენციალური განტოლება აქვს ასოცირებული დამახასიათებელი განტოლება კვადრატული ფორმულით, დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია ამიტომ, ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტაა

შედეგების შეჯამება

ჩვენ შეგვიძლია გადავწყვიტოთ მეორე რიგის, წრფივი, ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით ასოცირებული მახასიათებელი განტოლების ფესვების მოძიებით. ზოგადი ამოხსნის ფორმა იცვლება, იმისდა მიხედვით, აქვს თუ არა დამახასიათებელ განტოლებას მკაფიო, რეალური ფესვები ერთი, განმეორებითი რეალური ფესვი ან რთული კონიუგირებული ფესვები. სამი შემთხვევა შეჯამებულია (ნახაზი).

დამახასიათებელი განტოლების შემთხვევების რეზიუმე
დამახასიათებელი განტოლების ფესვები დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა
მკაფიო რეალური ფესვები, და განმეორებითი რეალური ფესვი, რთული კონიუგირებული ფესვები

  1. დიფერენციალური განტოლების ფორმით ჩაწერა
  2. იპოვნეთ შესაბამისი მახასიათებელი განტოლება
  3. ან დაასახელეთ დამახასიათებელი განტოლება ან გამოიყენეთ კვადრატული ფორმულა ფესვების მოსაძებნად.
  4. განსაზღვრეთ ზოგადი ამოხსნის ფორმა იმის მიხედვით, აქვს თუ არა დამახასიათებელ განტოლებას მკაფიო, რეალური ფესვები ერთი, განმეორებითი რეალური ფესვი ან რთული კონიუგირებული ფესვები.

იპოვნეთ შემდეგი დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი ამოხსნა. გაეცით თქვენი პასუხები, როგორც ფუნქციები x.

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ეს განტოლება უკვე მოცემულია სტანდარტული ფორმით (ნაბიჯი 1).

    დამახასიათებელი განტოლებაა (ნაბიჯი 2). ეს ფაქტორები შევიდა ასე რომ დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია და (ნაბიჯი 3). მაშინ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაა

იპოვნეთ შემდეგი დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი გადაწყვეტა:

იპოვნეთ დამახასიათებელი განტოლების ფესვები.

საწყისი ღირებულების პრობლემები და სასაზღვრო პრობლემები

ჯერჯერობით ვიპოვნეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნები. ამასთან, ფიზიკური სისტემების აღსაწერად ხშირად იყენებენ დიფერენციალურ განტოლებებს და ამ ფიზიკურ სისტემას სწავლულმა ადამიანმა ჩვეულებრივ იცის რამე ამ სისტემის მდგომარეობის შესახებ დროის ერთ ან მეტ მომენტში. მაგალითად, თუ მუდმივი კოეფიციენტის დიფერენციალური განტოლება წარმოადგენს, თუ რამდენადაა შეკუმშული მოტოციკლის ამორტიზატორები, შეიძლება ვიცოდეთ, რომ მხედარი რბოლას დაწყებისას თავის მოტოციკლზე ზის, დრო ეს ნიშნავს, რომ სისტემა წონასწორობაზე იმყოფება და ამორტიზატორის შეკუმშვა არ იცვლება, ასე რომ ამ ორი საწყისი პირობითა და დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ კონკრეტული დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე საწყის პირობებს. ეს პროცესი ცნობილია როგორც საწყისი ღირებულების პრობლემის გადაჭრა. (შეგახსენებთ, რომ დიფერენციალური განტოლებების შესავალში განვიხილეთ საწყისი მნიშვნელობის პრობლემები.) გაითვალისწინეთ, რომ მეორე რიგის განტოლებებს აქვთ ორი თვითნებური მუდმივა ზოგად ამოხსნაში და ამიტომ ორი საწყისი პირობა გვჭირდება საწყისი მნიშვნელობის პრობლემის გადაჭრისთვის.

ზოგჯერ ჩვენ ვიცით სისტემის მდგომარეობა ორ სხვადასხვა დროს. მაგალითად, შეიძლება ვიცოდეთ და ამ პირობებს სასაზღვრო პირობებს უწოდებენ, ხოლო დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პოვნას, რომელიც დააკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს, ეწოდება საზღვრის მნიშვნელობის პრობლემის გადაჭრას.

მათემატიკოსები, მეცნიერები და ინჟინრები დაინტერესებულნი არიან იმის გაგებაში, თუ რა პირობებში აქვს თავდაპირველი მნიშვნელობის პრობლემას ან საზღვრის მნიშვნელობის პრობლემას უნიკალური გადაწყვეტა. მართალია ამ თემის სრული მკურნალობა ამ ტექსტის ფარგლებს სცილდება, მაგრამ კარგია იმის ცოდნა, რომ მუდმივი კოეფიციენტის, მეორე რიგის განტოლებების კონტექსტში, საწყისი მნიშვნელობის პრობლემებს გარანტირებული აქვს უნიკალური ამოხსნა, რადგან ორი თავდაპირველი პირობებია გათვალისწინებული. თუმცა, სასაზღვრო ღირებულებების პრობლემები კარგად არ იქცევა. მაშინაც კი, როდესაც ორი სასაზღვრო პირობაა ცნობილი, შეიძლება შეგვხვდეს სასაზღვრო მნიშვნელობის პრობლემები უნიკალური ამოხსნებით, მრავალი ამოხსნით ან საერთოდ ამოხსნით.

გადაჭრის შემდეგი საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა:

ჩვენ უკვე გადავწყვიტეთ ეს დიფერენციალური განტოლება (სურათი) ა. და იპოვა ზოგადი გამოსავალი

Როდესაც ჩვენ გვაქვს და თავდაპირველი პირობების გამოყენება, ჩვენ გვაქვს

შემდეგ ამ გამონათქვამის ჩანაცვლება მეორე განტოლებაში, ამას ვხედავთ

Ისე, და საწყისი მნიშვნელობის პრობლემის გადაჭრა არის

ამოხსენით საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა

გამოიყენეთ საწყისი პირობები მნიშვნელობების დასადგენად და

გადაჭარეთ შემდეგი საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა და ამოხსენით გრაფიკი:

ჩვენ უკვე გადავწყვიტეთ ეს დიფერენციალური განტოლება (სურათი) b. და იპოვა ზოგადი გამოსავალი

Როდესაც ჩვენ გვაქვს და თავდაპირველი პირობების გამოყენებით, ვიღებთ

ამიტომ, და საწყისი მნიშვნელობის პრობლემის გადაწყვეტა ნაჩვენებია შემდეგ გრაფაში.

გადაჭარეთ შემდეგი საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა და ამოხსენით გრაფიკი:


გამოიყენეთ საწყისი პირობები მნიშვნელობების დასადგენად და

შემდეგი საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა აყალიბებს ობიექტის პოზიციას, რომელსაც მასა აქვს მიმაგრებული ზამბარაზე. გაზაფხულის მასის სისტემები დეტალურად არის განხილული პროგრამებში. დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა იძლევა მოცემული დროის მასის პოზიციას ნეიტრალური (წონასწორობის) პოზიციის მიმართ (მეტრებში). (გაითვალისწინეთ, რომ ამ ტიპის გაზაფხულის მასის სისტემებისთვის ჩვეულებრივია დაღმავალი მიმართულების პოზიტიური განსაზღვრა.)

ამოხსენით საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა და ამოხსენით გრაფიკი. რა მდგომარეობაშია მასა დროში წმ რამდენად სწრაფად მოძრაობს მასა დროში წმ რა მიმართულებით?

(ნახაზი) ​​გ. ჩვენ ვიპოვეთ ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტა

Როდესაც ჩვენ გვაქვს და თავდაპირველი პირობების გამოყენებით, ვიღებთ

ამრიგად, და საწყისი მნიშვნელობის პრობლემის გადაწყვეტაა

ეს ამოხსნა წარმოდგენილია შემდეგ გრაფაში. თავის დროზე მასა არის პოზიციაზე წონასწორობის ქვემოთ.

დროის სიჩქარის გამოსათვლელად ჩვენ უნდა ვიპოვოთ წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს ისე

შემდეგ თავის დროზე მასა ზემოთ მოძრაობს 0.3679 მ / წმ-ზე.

დავუშვათ შემდეგი საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა აყალიბებს მასის პოზიციას (ფუტებში) გაზაფხულის მასის სისტემაში მოცემულ ნებისმიერ დროს. ამოხსენით საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა და ამოხსენით გრაფიკი. რა მდგომარეობაშია მასა დროში წმ რამდენად სწრაფად მოძრაობს დროულად წმ რა მიმართულებით?



თავის დროზე მასა წონასწორობის ქვემოთ 0,0367 ფუტია. თავის დროზე მასა ქვევით მოძრაობს 0.1490 ფუტი / წმ სიჩქარით.

გამოიყენეთ საწყისი პირობები მნიშვნელობების დასადგენად და

(ნახაზი) ​​ვ. ჩვენ გადავწყვიტეთ დიფერენციალური განტოლება და იპოვა ზოგადი გამოსავალი თუ შესაძლებელია, გადაწყვიტეთ საზღვრის მნიშვნელობის პრობლემა, თუ საზღვრის პირობები შემდეგია:

  1. აქ მოცემული პირველი სასაზღვრო პირობის გამოყენებით ვიღებთ ასე რომ, გამოსავალი ფორმისაა როდესაც ჩვენ ვიყენებთ მეორე საზღვრის პირობას, მივიღებთ ყველა ღირებულებისთვის სასაზღვრო პირობები არ არის საკმარისი მნიშვნელობის დასადგენად ასე რომ, ამ სასაზღვრო მნიშვნელობის პრობლემას უსასრულოდ მრავალი გამოსავალი აქვს. ამრიგად, არის გამოსავალი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის
  2. აქ მოცემული პირველი სასაზღვრო პირობის გამოყენებით ვიღებთ მეორე სასაზღვრო პირობის გამოყენება იძლევა ისე ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს უნიკალური გამოსავალი:
  3. აქ მოცემული პირველი სასაზღვრო პირობის გამოყენებით ვიღებთ ამასთან, მეორე სასაზღვრო პირობის გამოყენება იძლევა ისე ჩვენ არ შეგვიძლია ამ საზღვრის მნიშვნელობის პრობლემას გამოსავალი არ აქვს.

ძირითადი ცნებები

  • მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც წრფივი ან არაწრფივი, ჰომოგენური ან არაერთგვაროვანი.
  • ჰომოგენური მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად უნდა გამოვნახოთ ორი წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნა. თუკი და არის წრფივი დამოუკიდებელი ამოხსნები მეორე რიგის, წრფივი, ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის, მაშინ ზოგადი ამოხსნა მოცემულია

ძირითადი განტოლებები

  • ხაზოვანი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება
  • მეორე რიგის განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით

ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებებიდან თითოეული კლასიფიცირეთ როგორც ხაზოვანი ან არაწრფივი. თუ განტოლება წრფივია, განსაზღვრეთ არის ერთგვაროვანი თუ არა ჰომოგენური.

ყოველი შემდეგი პრობლემისთვის გადაამოწმეთ, რომ მოცემული ფუნქცია არის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა. გამოიყენეთ გრაფიკული პროგრამა, რომ აღწეროთ კონკრეტული გადაწყვეტილებები რამდენიმე მნიშვნელობისთვის 1 და 2. რა საერთო აქვთ ამოხსნებს?

[T]

[T]

[T]

[T]

იპოვნეთ წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

ამოხსენით საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა.

გადაჭერი საზღვრის მნიშვნელობის პრობლემა, თუ ეს შესაძლებელია.

იპოვნეთ დიფერენციალური განტოლება ზოგადი ამოხსნით, რომელიც არის

იპოვნეთ დიფერენციალური განტოლება ზოგადი ამოხსნით, რომელიც არის

შემდეგი დიფერენციალური განტოლებებისგან თითოეული:

  1. ამოხსენით საწყისი მნიშვნელობის პრობლემა.
  2. [T] გამოიყენეთ გრაფიკული პროგრამა კონკრეტული ამოხსნის დასადგენად.





(სუპერპოზიციის პრინციპი) დაამტკიცეთ, რომ თუ და არის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები, შემდეგ ფუნქცია სად და მუდმივებია, ასევე გამოსავალია.

დაამტკიცეთ, რომ თუ ა, ბ, და პოზიტიური მუდმივებია, მაშინ ყველა რიგის ამონახსნები მეორე რიგის ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის მიუახლოვდეს ნულს, როგორც (მინიშნება: განვიხილოთ სამი შემთხვევა: ორი განსხვავებული ფესვი, განმეორებითი რეალური ფესვები და რთული კონიუგირებული ფესვები.)

ტერმინების ლექსიკონი

საზღვარი განაპირობებს სისტემის მდგომარეობას სხვადასხვა დროს მოცემულ პირობებს, მაგალითად, ზამბარის მასის სისტემის პოზიცია ორ სხვადასხვა დროს სასაზღვრო მნიშვნელობის პრობლემასთან დიფერენციალური განტოლება ასოცირებული სასაზღვრო პირობების მახასიათებელი განტოლების განტოლებით დიფერენციალური განტოლებისთვის ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება, რომელიც შეიძლება დაიწეროს ფორმით მაგრამ ყველა ღირებულებისთვის არაჰომოგენური წრფივი განტოლება მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება, რომელიც შეიძლება დაიწეროს ფორმით მაგრამ გარკვეული ღირებულებისთვის ხაზობრივად დამოკიდებულია ფუნქციების ერთობლიობაზე რისთვისაც არსებობს მუდმივები არა ყველა ნულოვანი, ისეთი ყველასთვის x ინტერესის ინტერვალში ხაზოვანი დამოუკიდებელი ფუნქციების ერთობლიობა რისთვისაც არ არსებობს მუდმივები ისეთივე როგორც ყველასთვის x ინტერესის ინტერვალში

1 პასუხი 1

იმის გამო, რომ $ sin (x) $ და $ cos (x) $ ხსნიან ერთგვაროვან განტოლებას, თქვენ არ ცდილობთ $ y_p (x) = A cos (x) + B sin (x) $ ამოხსნებს ხელის მხარე არის $ sin (x) $ ან $ cos (x) $ -ის ჯერადი.

ამის ნაცვლად, თქვენ თვლით $ i $ ფესვის $ r $ სიმრავლეს $ r (r + i) ^ 2 (ri) ^ 2 $, ამ შემთხვევაში $ 2 $ და იყენებთ $ y_p (x) = Ax ^ m cos (x) + Bx ^ m sin (x) = Ax ^ 2 cos (x) + Bx ^ 2 sin (x) $ გამოთვლები შეიძლება შემაშფოთებელი იყოს, მაგრამ საბოლოოდ გადაწყვეტთ $ A $ და $ B $.

კიდევ ერთი რამ, რისი გაკეთებაც შეგიძლიათ, არის $ y_p (x) = Ax ^ 2e ^ სცადოთ$ და გადაჭერი $ A $. ამის რეალურ ნაწილში მოცემულია კონკრეტული გამოსავალი $ cos (x) $ მარჯვენა მხარეს, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი კონკრეტულ გადაწყვეტილებას $ sin (x) $. გამოთვლები ბევრად უფრო მარტივი იქნება. შენიშვნა $ A $ ამჯერად რთული რიცხვი იქნება.


მე -2 რიგის არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება

ვერავინ დაგეხმარებათ იმის გარკვევაში, რას აკეთებთ არასწორად, თუ არ დაგვანახვებთ იმას, რაც სინამდვილეში სცადეთ.

ყოველ შემთხვევაში, როგორც განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდის ალტერნატივა, შეგიძლიათ სცადოთ პარამეტრების ვარიაციის მეთოდი. იხილეთ, მაგალითად,
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx

კონკრეტული გადაწყვეტის მოძებნა განუსაზღვრელი კოეფიციენტით:

მიმაგრებული

ვერავინ დაგეხმარებათ იმის გარკვევაში, რას აკეთებთ არასწორად, თუ არ დაგვანახვებთ იმას, რაც სინამდვილეში სცადეთ.

ყოველ შემთხვევაში, როგორც განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდის ალტერნატივა, შეგიძლიათ სცადოთ პარამეტრების ვარიაციის მეთოდი. იხილეთ, მაგალითად,
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx

საკმაოდ სამართლიანი.
კონკრეტული განტოლების ჩემი სავარაუდო ფორმით დაწყებული:
y = e ^ (- 2t) * (At + B)
y '= - 2e ^ (- 2t) (At + B) + A * e ^ (- 2t)
y "= 4e ^ (- 2t) (At + B) -4Ae ^ (- 2t)

ამ ყველაფრის ჩართვა თავდაპირველ დიფერენციალურ განტოლებაში:
e ^ (- 2t) * (4At + 4B-4A-8At-8B + 4A + 4At + 4B) = e ^ (- 2t) * t
4At + 4B-4A-8At-8B + 4A + 4At + 4B = t + 0
საკითხი იმაშია, რომ ტერმინების მსგავსი არ შემიძლია, რადგან ყველაფერი გაუქმებულია, ის, რაც მითხრეს, არასდროს უნდა მოხდეს, თუ აქ მოცემულია მეორე რიგის მუდმივი კოეფიციენტის არაჰომოგენური განტოლების მარჯვენა მხარე. Რა მოხდა? არითმეტიკულ შეცდომას ვუშვებ თუ ჩემი ერთ-ერთი დაშვება არასწორია?

PS: მე მივიღე სწორი პასუხი პარამეტრების ცვალებადობით, რაც იმედგაცრუებას მანიჭებს, რომ ამის გამოყენება არ უნდა მომიწიოს ამ შემთხვევაში და არ მესმის, რატომ უნდა მოვიქცე.


17.2: არაჰომოგენური ხაზოვანი განტოლებები

მათემატიკური განტოლებების სამყარო

A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და მეცნიერთათვის, Chapman & amp Hall / CRC Press, 2006 წ

17. სხვაობის განტოლებები და სხვა ფუნქციური განტოლებები

  • 17.1. მთლიანი არგუმენტის სხვაობის განტოლებები
    • 17.1.1. მთელი რიგის არგუმენტის პირველი რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები
    • 17.1.2. მთელი რიგის არგუმენტის პირველი ხაზის არაწრფივი სხვაობის განტოლებები
    • 17.1.3. მეორე რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით
    • 17.1.4. მეორე რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები ცვლადი კოეფიციენტებით
    • 17.1.5. თვითნებური ბრძანების ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები მუდმივ კოეფიციენტებთან
    • 17.1.6. თვითნებური რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები ცვლადი კოეფიციენტებით
    • 17.1.7. თვითნებური ბრძანების არაწრფივი სხვაობის განტოლებები
    • 17.2.1. პირველი რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები
    • 17.2.2. მეორე რიგის ხაზოვანი სხვაობის განტოლებები მთელი განსხვავებებით
    • 17.2.3. ხაზოვანი ე რიგის სხვაობის განტოლებები მთელი განსხვავებების მქონე
    • 17.2.4. ხაზოვანი მე –2 რიგის სხვაობის განტოლებები თვითნებური განსხვავებებით
    • 17.3.1. ფუნქციების განმეორება და მათი თვისებები
    • 17.3.2. ხაზოვანი ჰომოგენური ფუნქციური განტოლებები
    • 17.3.3. ხაზოვანი არაჰომოგენური ფუნქციური განტოლებები
    • 17.3.4. ხაზოვანი ფუნქციური განტოლებები, შემცირებადი ხაზოვანი სხვაობის განტოლებებით მუდმივი კოეფიციენტებით
    • 17.4.1. არაწრფივი სხვაობის განტოლებები ერთ ცვლადთან
    • 17.4.2. საპასუხო (ციკლური) ფუნქციური განტოლებები
    • 17.4.3. არაწრფივი ფუნქციური განტოლებები შემცირებადი სხვაობის განტოლებებზე
    • 17.4.4. არაწრფივი ფუნქციური განტოლებების სიმძლავრის სერიის ამოხსნა
    • 17.5.1. დიფერენცირების მეთოდი პარამეტრში
    • 17.5.2. დიფერენცირების მეთოდი დამოუკიდებელ ცვლადებში
    • 17.5.3. დამოუკიდებელი არგუმენტების განსაკუთრებული მნიშვნელობების ჩანაცვლების მეთოდი
    • 17.5.4. არგუმენტების აღმოფხვრის მეთოდი ტესტური ფუნქციების მიხედვით
    • 17.5.5. ბილინარული ფუნქციური განტოლებები და არაწრფივი ფუნქციური განტოლებები შემცირებადი ბილინარული განტოლებებით

    EqWorld ვებ – გვერდზე წარმოდგენილია ვრცელი ინფორმაცია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების, ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების, ინტეგრალური განტოლებების, ფუნქციური განტოლებების და სხვა მათემატიკური განტოლებების სხვადასხვა კლასის ამოხსნების შესახებ.


    Უყურე ვიდეოს: ცვანციკას ონლაინ გაკვეთილები - განტოლების ამოხსნა (დეკემბერი 2021).